1.4: Геометрія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66207

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Геометричні фігури, а також площа і обсяги часто можуть бути важливими при вирішенні проблем.

Приклад 21

Вам цікаво, наскільки високе дерево, але не маєте ніякого способу піднятися на нього. Опишіть спосіб визначення висоти.

Є кілька підходів, які ми могли б взяти. Ми будемо використовувати один на основі трикутників, який вимагає, щоб це був сонячний день. Припустимо, дерево кидає тінь, скажімо, довжиною 15 футів. Тоді я можу попросити друга допомогти мені виміряти власну тінь. Припустимо, я висотою 6 футів і кидаю тінь 1,5 футів. Оскільки трикутник, утворений деревом і його тінню, має ті ж кути, що і трикутник, утворений мною і моєю тінню, ці трикутники називаються подібними трикутниками, і їх сторони будуть масштабуватися пропорційно. Іншими словами, співвідношення висоти до ширини буде однаковим у обох трикутників. Використовуючи це, ми можемо знайти висоту дерева, яку позначимо$h$:

Рішення

\[\frac{6 \mathrm{ft} \text { tall }}{1.5 \mathrm{ft} \text { shadow }}=\frac{h \mathrm{ft} \text { tall }}{15 \mathrm{ft} \text { shadow }}\nonumber \]

Помноживши обидві сторони на 15, отримуємо$h = 60$. Дерево має висоту близько 60 футів.

Можливо, буде корисно згадати деякі формули для площ і обсягів декількох основних фігур.

райони

Прямокутник

$прямокутник зі сторонами, позначені W і L$

Площа:$L \cdot W$

Периметр:$2 L+2 W$

Коло, радіус$r$

$Коло, з маркуванням радіуса, вимірюється від центру кола до краю$

Площа:$\pi r^{2}$

Окружність =$2 \pi r$

Обсяги

Прямокутна коробка

$прямокутна коробка зі сторонами з маркуванням W, H і L$

Обсяг:$L \cdot W \cdot H$

Циліндр

$круглий циліндр висотою H та круговою гранню з радіусом, маркованим r$

Обсяг:$\pi r^{2} H$

Приклад 22

Якщо для піци діаметром 12 дюймів потрібно 10 унцій тіста, скільки тіста потрібно для 16-дюймової піци?

Рішення

Щоб відповісти на це питання, потрібно розглянути, як буде масштабуватися вага тесту. Вага буде грунтуватися на обсязі тесту. Однак, оскільки обидві піци будуть приблизно однакової товщини, вага буде масштабуватися з площею верхньої частини піци. Ми можемо знайти площу кожної піци, використовуючи формулу площі кола$A=\pi r^{2}$:

Піца 12 «має радіус 6 дюймів, тому площа буде$\pi 6^{2}$ = близько 113 квадратних дюймів.

16-дюймова піца має радіус 8 дюймів, тому площа буде$\pi 8^{2}$ = близько 201 квадратних дюймів.

Зверніть увагу, що якби обидві піци були товщиною 1 дюйм, обсяги становили б 113 в ³ і 201 в ³ відповідно, які знаходяться в тому ж співвідношенні, що і площі. Як вже говорилося раніше, оскільки товщина однакова для обох піц, можна сміливо її ігнорувати.

Тепер ми можемо встановити пропорцію, щоб знайти вагу тіста для 16-дюймової піци:

$\frac{10 \text { ounces }}{113 \mathrm{in}^{2}}=\frac{x \text { ounces }}{201 \mathrm{in}^{2}}$Помножте обидві сторони на 201

$x=201 \cdot \frac{10}{113}=$близько 17,8 унцій тіста для піци 16».

Цікаво відзначити, що поки діаметр в$\frac{16}{12}=1.33$ рази більше, потрібне тісто, яке масштабується з площею, в$1.33^{2}=1.78$ рази більше.

Приклад 23

$два зефіру у формі круглих циліндрів перед сіткою. Перший - близько 3,5 одиниць ширини та 3,5 у висоту та позначені 25 калорій. Другий - близько 5,5 одиниць в ширину і 5 одиниць у висоту.$ Компанія виготовляє звичайний і джамбо зефір. Звичайний зефір має 25 калорій. Скільки калорій матиме зефір джамбо?

Ми очікуємо, що калорії масштабуватимуться з об'ємом. Оскільки зефір має циліндричну форму, ми можемо використовувати цю формулу, щоб знайти об'єм. З сітки на зображенні ми можемо оцінити радіус і висоту кожного зефіру.

Рішення

Звичайний зефір, як видається, має діаметр близько 3,5 одиниць, даючи радіус 1,75 одиниці, і висоту близько 3,5 одиниць. Обсяг приблизно$\pi(1.75)^{2}(3.5)=33.7 \text { units}^{3}$.

Зефір джамбо, здається, має діаметр близько 5,5 одиниць, даючи радіус 2,75 одиниць, і висоту близько 5 одиниць. Обсяг приблизно$\pi(2.75)^{2}(5)=118.8 \text { units}^{3}$.

Тепер ми могли б встановити пропорцію, або використовувати ставки. Звичайний зефір має 25 калорій на 33,7 кубічних одиниць об'єму. Зефір джамбо матиме:

$118.8 \text { units }^{3} \cdot \frac{25 \text { calories }}{33.7 \text { units }^{3}}=88.1 \text { calories }$

Цікаво відзначити, що в той час як діаметр і висота приблизно в 1,5 рази більше для зефіру джамбо, обсяг і калорії приблизно в$1.5^{3}=3.375$ рази більше.

Спробуйте зараз 5

Веб-сайт говорить, що вам знадобиться 48 п'ятдесят фунтових мішків піску, щоб заповнити пісочницю, яка вимірює 8 футів на 8 футів на 1 фут. Скільки мішків вам потрібно для пісочниці 6 футів на 4 фути на 1 фут?

Відповідь

Оригінальна пісочниця має обсяг$64 \mathrm{ft}^{3}$. Менша пісочниця має обсяг$24 \mathrm{ft}^{3}$.

$\frac{48 \mathrm{bags}}{64 \mathrm{ft}^{3}}=\frac{x \mathrm{bags}}{24 \mathrm{ft}^{3}}$призводить до$x= 18$ мішків.