4.1: Пропорції

У нашому обговоренні подібних трикутників важливу роль відіграє ідея пропорції. У цьому розділі ми розглянемо важливі властивості пропорцій.

Пропорція - це рівняння, яке стверджує, що два дроби рівні. Наприклад,$\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{12}$ це пропорція. Ми іноді говоримо «2 - це 6, як 4 - це»$12$. Про це теж написано$2: 6 = 4:12$. Крайні значення цієї пропорції - числа 2 і 12, а середні - цифри 6 і 4. Зверніть увагу, що продукт засобу$6 \times 4=24$ такий же, як продукт крайнощів$2 \times 12=24$.

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ тоді$a d= be$. І навпаки, якщо$ad = bc$ тоді$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}.$ (Твір кошти дорівнює добутку крайнощів).

ПРИКЛАДИ:

• $\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}$і$2 \times 12=6 \times 4$ обидва вірні.
• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$і$2 \times 9=3 \times 6$ обидва вірні.
• $\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12}$і$1 \times 12=4 \times 4$ обидва хибні.

Доказ теореми 1: Якщо$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ помножити обидві сторони рівняння на$bd$:

$$\dfrac{a}{\cancel{b}} (\cancel{b} d) = \dfrac{c}{\cancel{d}} (b \cancel{d})$$

Отримуємо$ad = bc$.

І навпаки$ad = bc$, якщо розділити обидві сторони рівняння на$bd$:

$$\dfrac{d\cancel{d}}{b\cancel{d}} = \dfrac{\cancel{b}c}{\cancel{b}d}$$

Результат є$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Наступна теорема показує, що ми можемо обмінюватися засобами або крайнощами або обома одночасно і все ще мати дійсну пропорцію:

Теорема$\PageIndex{2}$

Якщо одне з наведених нижче істинно, то всі вони вірні:

1. $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
2. $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$
3. $\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$
4. $\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}$

Доказ

Якщо будь-яка з цих пропорцій вірна, коли$ad = bc$ за теоремою$\PageIndex{1}$. Решта пропорції потім можна отримати$ad = bc$ від ділення, як в теоремі$\PageIndex{1}$.

Приклад:$\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}, \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{12}, \dfrac{12}{6} = \dfrac{4}{2}, \dfrac{12}{4} = \dfrac{6}{2}$ все вірно тому, що$2 \times 12=6 \times 4$.

Процес перетворення пропорції$\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}$ в еквівалентне рівняння іноді$2 \times 12 = 6 \times 4$ називають перехресним множенням. Ідея передається наступними позначеннями:

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайти$x: \dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{20}$

Рішення

За «перехресним множенням»

$$\begin{array} {rcl} {3(20)} & = & {x(4)} \\ {60} & = & {4x} \\ {15} & = & {x} \end{array}$$

Перевірка:

$\dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$. $\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}$.

Відповідь:$x = 15$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$x$:$\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{2x + 2}{x + 1}$

Рішення

$$\begin{array} {rcl} {(x - 1)(x + 1)} & = & {(x - 3)(2x + 2)} \\ {x^2 - 1} & = & {2x^2 - 4x - 6} \\ {0} & = & {x^2 - 4x - 5} \\ {0} & = & {(x - 5)(x + 1)} \\ {0} & = & {x - 5\ \ \ \ \ \ 0 = x + 1} \\ {5} & = & {x \ \ \ \ \ \ \ \ -1 = x} \end{array}$$

Перевірка,$x = 5$:

$\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{5 - 1}{5 - 3} = \dfrac{4}{2} = 2$. $\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(5) + 2}{5 + 1} = \dfrac{12}{6} = 2$.

Перевірка,$x = -1$:

$\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{-1 -1}{-1 - 3} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}$. $\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(-1) + 2}{-1 + 1} = \dfrac{-2 + 2}{0} = \dfrac{0}{0}$.

Оскільки$\dfrac{0}{0}$ не визначено, ми відкидаємо цю відповідь.

Відповідь:$x = 5$.

Проблеми

1 - 12. Знайти$x$:

1. $\dfrac{6}{x} = \dfrac{18}{3}$

2. $\dfrac{4}{x} = \dfrac{2}{6}$

3. $\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}$

4. $\dfrac{x}{8} = \dfrac{9}{6}$

5. $\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}$

6. $\dfrac{10}{2} = \dfrac{25}{x}$

7. $\dfrac{x + 5}{x} = \dfrac{5}{4}$

8. $\dfrac{x - 6}{4} = \dfrac{5}{10}$

9. $\dfrac{3 + x}{x} = \dfrac{3}{2}$

10. $\dfrac{x}{x+3} = \dfrac{4}{x}$

11. $\dfrac{3x - 3}{2x + 6} = \dfrac{x - 1}{x}$

12. $\dfrac{3x - 6}{x - 2} = \dfrac{2x + 2}{x - 1}$