Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Пропорції

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58850

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У нашому обговоренні подібних трикутників важливу роль відіграє ідея пропорції. У цьому розділі ми розглянемо важливі властивості пропорцій.

    Пропорція - це рівняння, яке стверджує, що два дроби рівні. Наприклад,\(\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{12}\) це пропорція. Ми іноді говоримо «2 - це 6, як 4 - це»\(12\). Про це теж написано\(2: 6 = 4:12\). Крайні значення цієї пропорції - числа 2 і 12, а середні - цифри 6 і 4. Зверніть увагу, що продукт засобу\(6 \times 4=24\) такий же, як продукт крайнощів\(2 \times 12=24\).

    Теорема\(\PageIndex{1}\)

    Якщо\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) тоді\(a d= be\). І навпаки, якщо\(ad = bc\) тоді\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}.\) (Твір кошти дорівнює добутку крайнощів).

    ПРИКЛАДИ:

    • \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}\)і\(2 \times 12=6 \times 4\) обидва вірні.
    • \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}\)і\(2 \times 9=3 \times 6\) обидва вірні.
    • \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12}\)і\(1 \times 12=4 \times 4\) обидва хибні.

    Доказ теореми 1: Якщо\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) помножити обидві сторони рівняння на\(bd\):

    \[\dfrac{a}{\cancel{b}} (\cancel{b} d) = \dfrac{c}{\cancel{d}} (b \cancel{d})\]

    Отримуємо\(ad = bc\).

    І навпаки\(ad = bc\), якщо розділити обидві сторони рівняння на\(bd\):

    \[\dfrac{d\cancel{d}}{b\cancel{d}} = \dfrac{\cancel{b}c}{\cancel{b}d}\]

    Результат є\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).

    Наступна теорема показує, що ми можемо обмінюватися засобами або крайнощами або обома одночасно і все ще мати дійсну пропорцію:

    Теорема\(\PageIndex{2}\)

    Якщо одне з наведених нижче істинно, то всі вони вірні:

    1. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
    2. \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
    3. \(\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}\)
    4. \(\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}\)
    Доказ

    Якщо будь-яка з цих пропорцій вірна, коли\(ad = bc\) за теоремою\(\PageIndex{1}\). Решта пропорції потім можна отримати\(ad = bc\) від ділення, як в теоремі\(\PageIndex{1}\).

    Приклад:\(\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}, \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{12}, \dfrac{12}{6} = \dfrac{4}{2}, \dfrac{12}{4} = \dfrac{6}{2}\) все вірно тому, що\(2 \times 12=6 \times 4\).

    Процес перетворення пропорції\(\dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}\) в еквівалентне рівняння іноді\(2 \times 12 = 6 \times 4\) називають перехресним множенням. Ідея передається наступними позначеннями:

    clipboard_e244b0c95ebe1e9497ae4bc3d0e054e03.png

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайти\(x: \dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{20}\)

    Рішення

    За «перехресним множенням»

    \[\begin{array} {rcl} {3(20)} & = & {x(4)} \\ {60} & = & {4x} \\ {15} & = & {x} \end{array}\]

    Перевірка:

    \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\). \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\).

    Відповідь:\(x = 15\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайти\(x\):\(\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{2x + 2}{x + 1}\)

    Рішення

    \[\begin{array} {rcl} {(x - 1)(x + 1)} & = & {(x - 3)(2x + 2)} \\ {x^2 - 1} & = & {2x^2 - 4x - 6} \\ {0} & = & {x^2 - 4x - 5} \\ {0} & = & {(x - 5)(x + 1)} \\ {0} & = & {x - 5\ \ \ \ \ \ 0 = x + 1} \\ {5} & = & {x \ \ \ \ \ \ \ \ -1 = x} \end{array}\]

    Перевірка,\(x = 5\):

    \(\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{5 - 1}{5 - 3} = \dfrac{4}{2} = 2\). \(\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(5) + 2}{5 + 1} = \dfrac{12}{6} = 2\).

    Перевірка,\(x = -1\):

    \(\dfrac{x - 1}{x - 3} = \dfrac{-1 -1}{-1 - 3} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}\). \(\dfrac{2x + 2}{x + 1} = \dfrac{2(-1) + 2}{-1 + 1} = \dfrac{-2 + 2}{0} = \dfrac{0}{0}\).

    Оскільки\(\dfrac{0}{0}\) не визначено, ми відкидаємо цю відповідь.

    Відповідь:\(x = 5\).

    Проблеми

    1 - 12. Знайти\(x\):

    1. \(\dfrac{6}{x} = \dfrac{18}{3}\)

    2. \(\dfrac{4}{x} = \dfrac{2}{6}\)

    3. \(\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}\)

    4. \(\dfrac{x}{8} = \dfrac{9}{6}\)

    5. \(\dfrac{7}{1} = \dfrac{x}{3}\)

    6. \(\dfrac{10}{2} = \dfrac{25}{x}\)

    7. \(\dfrac{x + 5}{x} = \dfrac{5}{4}\)

    8. \(\dfrac{x - 6}{4} = \dfrac{5}{10}\)

    9. \(\dfrac{3 + x}{x} = \dfrac{3}{2}\)

    10. \(\dfrac{x}{x+3} = \dfrac{4}{x}\)

    11. \(\dfrac{3x - 3}{2x + 6} = \dfrac{x - 1}{x}\)

    12. \(\dfrac{3x - 6}{x - 2} = \dfrac{2x + 2}{x - 1}\)