20.6: Площа твердих паралелограмів

Теорема$\PageIndex{1}$

$\square ABCD$Дозволяти паралелограм в евклідовій площині,$a=AB$ і$h$ бути відстань між лініями$(AB)$ і$(CD)$. Тоді

$\text{area }(\blacksquare ABCD)=a\cdot h.$

Доказ

Нехай$A'$ і$B'$ позначають точки стопи$A$ і$B$ на лінії$(CD)$.

Зверніть увагу, що$ABB'A'$ це прямокутник зі сторонами$a$ і$h$. За теоремою 20.5.1

$$\text{area }(\blacksquare ABB'A')=h\cdot a.$$

Без втрати спільності можна вважати, що\(\blacksquare ABCA'\) містить\(\blacksquare ABCD\) і\(\blacksquare ABB'A'\). При цьому\(\blacksquare ABCA'\) допускається два підрозділи:

$\blacksquare ABCA'=\blacksquare ABCD\cup\blacktriangle AA'D=\blacksquare ABB'A'\cup\blacksquare BB'C.$

За пропозицією 20.4.2

$$\begin{aligned} \text{area }( \blacksquare ABCD)&+\text{area }(\blacktriangle AA'D)= \\ &= \text{area }(\blacksquare ABB'A')+ \text{area } (\blacktriangle BB'C). \end{aligned}$$

Зверніть увагу, що

Дійсно, оскільки$ABCD$ чотирикутники$ABB'A'$ і паралелограми, по Лемма 7.5.1, ми маємо що$AA'=BB'$$AD=BC$, і$DC=AB=A'B'$. Звідси випливає, що$A'D=B'C$. Застосовуючи умову конгруентності ССС, отримуємо 20.6.3.

Зокрема,

$$\text{area }(\blacktriangle BB'C)=\text{area } (\blacktriangle AA'D).$$

Віднімаючи 20.6.4 з 20.4.2, отримуємо, що

$$\text{area } (\blacksquare ABCD)=\text{area }(\blacksquare ABB'D).$$

Залишилося застосувати 20.6.1.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо$\square ABCD$$\square AB'C'D'$ і два паралелограма такі, що$B'\in[BC]$ і$D\in [C'D']$. Покажіть, що

$\text{area }(\blacksquare ABCD)=\text{area }(\blacksquare AB'C'D').$

Підказка

Припустимо, що$E$ позначає точку перетину ліній$(BC)$ і$(C'D')$.

Використовуйте Proposition,$\PageIndex{1}$ щоб довести наступні дві ідентичності:

$\begin{array} {l} {\text{area } (\blacksquare AB'ED) = \text{area } (\blacksquare ABCD),} \\ {\text{area } (\blacksquare AB'ED) = \text{area } (\blacksquare AB'C'D')} \end{array}$