20.2: Багатокутні множини

Елементарний набір на площині являє собою набір одного з наступних трьох видів:

• одноточковий набір;
• сегмент;
• суцільний трикутник.

Безліч у площині називається багатокутним, якщо його можна представити як об'єднання скінченної колекції елементарних множин.

Зверніть увагу, що згідно з цим визначенням порожній$\emptyset$ множина є багатокутною множиною. Дійсно,$\emptyset$ це об'єднання порожньої колекції елементарних наборів.

Багатокутну множину називають виродженою, якщо вона може бути представлена як об'єднання скінченної кількості одноточкових множин і відрізків.

Якщо$X$ і$Y$ лежать по протилежних сторонам прямої$(AB)$, то об'єднання$\blacktriangle AXB\cup \blacktriangle BYA$ являє собою багатокутну множину, яка називається суцільним чотирикутником$AXBY$ і позначається$\blacksquare AXBY$. Зокрема, можна говорити про суцільні паралелограмах, прямокутники, квадрати.

Зазвичай багатокутний набір допускає багато презентацій як об'єднання скінченної колекції елементарних множин. Наприклад,$\square AXBY$ якщо паралелограм, то

$\blacksquare AXBY=\blacktriangle AXB\cup \blacktriangle AYB=\blacktriangle XAY\cup \blacktriangle XBY.$

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що твердий квадрат не вироджений.

Підказка

Припустимо навпаки: тобто суцільний квадрат$\mathcal{Q}$ може бути представлений як об'єднання скінченної колекції відрізків$[A_1B_1], \dots, [A_nB_n]$ і одноточкових множин$\{C_1\}, \dots, \{C_k\}$.

Зверніть увагу, що$\mathcal{Q}$ містить нескінченну кількість взаємно непаралельних сегментів. Тому ми можемо вибрати$[PQ]$ сегмент$\mathcal{Q}$, який не паралельний жодному з сегментів$[A_1B_1], \dots, [A_nB_n]$.

Звідси випливає, що$[PQ]$ має максимум одну спільну точку з кожним з наборів$[A_iB_i]$ і$\{C_i\}$. Оскільки$[PQ]$ містить нескінченну кількість точок, ми приходимо до протиріччя.

Вправа$\PageIndex{2}$

Показати, що коло не є багатокутним набором.

Підказка

По-перше, зауважте, що серед елементарних множин тільки одноточкові множини можуть бути підмножинами кола. Залишається відзначити, що будь-яке коло містить нескінченну кількість точок.

Претензія$\PageIndex{1}$

Для будь-яких двох багатокутних множин$\mathcal{P}$ і об'єднання$\mathcal{Q}$, а$\mathcal{P}\cup\mathcal{Q}$ також перетин також$\mathcal{P} \cap \mathcal{Q}$ є багатокутними множинами.

Доказ

Наведемо$\mathcal{P}$ і$\mathcal{Q}$ як об'єднання скінченної колекції елементарних множин$\mathcal{P}_1,\dots,\mathcal{P}_k$ і$\mathcal{Q}_1,\dots,\mathcal{Q}_n$ відповідно.

Зверніть увагу, що

$\mathcal{P}\cup\mathcal{Q} = \mathcal{P}_1 \cup \dots \cup \mathcal{P}_k \cup \mathcal{Q}_1 \cup \dots \cup \mathcal{Q}_n.$

Тому$\mathcal{P}\cup\mathcal{Q}$ є багатокутним.

Відзначимо, що$\mathcal{P}\cap \mathcal{Q}$ це об'єднання наборів$\mathcal{P}_i\cap \mathcal{Q}_j$ для всіх$i$ і$j$. Тому для того, щоб показати, що$\mathcal{P}\cap \mathcal{Q}$ є багатокутним, досить показати,$\mathcal{P}_i\cap \mathcal{Q}_j$ що кожен багатокутник для будь-якої пари$i$,$j$.

Діаграма повинна запропонувати ідею для доказу останнього твердження у випадку, якщо$\mathcal{P}_i$ і$\mathcal{Q}_j$ є суцільними трикутниками. Інші випадки простіші; формальний доказ може бути побудований на Вправі 20.1.1.

Клас множин, який замкнутий щодо об'єднання та перетину, називається кільцем множин. Отже, у заяві вище зазначено, що багатокутні множини в площині утворюють кільце множин.