15.4: Перспективна проекція

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 15.3: Космічна модель
- 15.5: Проективні перетворення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розглянемо дві площини $\Pi$ і $\Pi'$ в евклідовому просторі. Дозвольте $O$ бути точкою, яка не належить ні до $\Pi$ ні $\Pi'$ .

$2021-02-25 пнг$

Перспективна проекція від $\Pi$ до $\Pi'$ з центром на $O$ відображає точку $P\in \Pi$ на точку перетину $P'=\Pi'\cap (OP)$ .

Загалом, перспективна проекція - це не біекція між площинами. Дійсно, якщо лінія $(OP)$ паралельна $\Pi'$ (тобто якщо $(OP)\cap\Pi'=\emptyset$ ), то перспективна $P\in \Pi$ проекція не визначена. Також, якщо $(OP')\parallel \Pi$ для $P'\in \Pi'$ , то точка не $P'$ є зображенням перспективної проекції.

Наприклад, $O$ нехай є початком $(x,y,z)$ координатного простору і площин $\Pi$ і $\Pi'$ задаються рівняннями $z=1$ і $x=1$ відповідно. Тоді перспективна проекція від $\Pi$ до $\Pi'$ може бути записана в координатах як

$(x,y,1)\mapsto (1,\dfrac{y}{x},\dfrac{1}{x}).$

Дійсно, координати повинні бути пропорційними; точки на $\Pi$ мають одиницю $z$ -координату, а точки на $\Pi'$ мають одиницю $z$ -координату.

Перспективна проекція, відображає одну площину на іншу. Однак ми можемо ідентифікувати дві площини, закріпивши систему координат у кожній. У цьому випадку ми отримуємо частково визначену карту від літака до себе. Ми збережемо трансформацію перспективи назви для таких карт.

Для описаної проекції перспективи; ми можемо отримати карту

$\beta\:(x,y)\mapsto (\dfrac{1}{x},\dfrac{y}{x}).$

Ця карта не визначена на лінії $x=0$ . Також точки на цій лінії не є зображеннями точок під перспективною проекцією.

$\hat \Pi'$ Позначають $\hat \Pi$ і проективні завершення $\Pi$ і $\Pi'$ відповідно. Зауважте, що перспективна проекція є обмеженням композиції двох бієкцій, $\hat \Pi\leftrightarrow\Phi \leftrightarrow\hat \Pi'$ побудованих у попередньому розділі. За спостереженням 15.3.1 перспективна проекція може бути розширена до біекції, $\hat \Pi\leftrightarrow\hat \Pi'$ яка посилає лінії на лінії. (Аналогічна історія сталася і з інверсією. Інверсія не визначена в її центрі; крім того, центр не є зворотним будь-якій точці. Для вирішення цієї проблеми ми перейшли до зворотної площини, яка є евклідовою площиною, розширеною однією ідеальною точкою. Та ж стратегія працювала і для перспективної проекції $\Pi \to \Pi'$ , але цього разу нам потрібно додати ідеальну лінію.)

Наприклад, щоб визначити розширення перспективної проекції $\beta$ в 15.4.1, ми повинні зауважити, що

Олівець вертикальних ліній $x=a$ наноситься на себе.
Ідеальні точки, визначені олівцем ліній, $y=m \cdot x+ b$ зіставляються з точкою, $(0,m)$ а навпаки — точка $(0, m)$ відображається на ідеальній точці, визначеній олівцем ліній $y=m \cdot x+ b$ .