15.9: Аксіоми

Зауважимо, що реальна проективна площина, описана вище, задовольняє наступному набору аксіом:

П-і. Будь-які дві різні точки лежать на унікальній лінії.
П-II. Будь-які дві різні лінії проходять через унікальну точку.
П-III. Існує щонайменше чотири точки, з яких немає трьох колінеарних.

Візьмемо ці три аксіоми як визначення проективної площини; тому реальна проективна площина, розглянута вище, стає її конкретним прикладом.

Існує приклад проективної площини, яка містить рівно 3 точки на кожній прямій. Це так звана площина Фано, яку ви можете побачити на схемі; вона містить$7$ точки та$7$ лінії. Це приклад скінченної проективної площини; тобто проективна площина з скінченно великою кількістю точок.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що будь-яка лінія в проективній площині містить щонайменше три точки.

Підказка

Нехай$A, B, C$, може$D$ бути точка, передбачена аксіомою P-III. З огляду на рядок$\ell$, можна припустити$A \not\in \ell$, що, інакше перемять мітки точок. Потім по аксіомі P-i і P-II, три лінії$(AB)$$(AC)$, і$(AD)$ перетинаються$\ell$ в різних точках. Зокрема,$\ell$ містить не менше трьох пунктів.

Розглянемо наступний подвійний аналог Axiom P-III:

P-III': Існує щонайменше чотири рядки, три з яких не є одночасними.

Вправа$\PageIndex{2}$

Покажіть, що аксіома P-III' еквівалентна аксіомі P-III. Тобто,

P-i, P-II та P-III означають P-III',

і

P-i, P-II та P-III' означають P-III.

Підказка

Нехай$A, B, C$, і$D$ бути точкою, передбаченою аксіомою P-III. Покажіть, що лінії$(AB), (BC), (CD)$, і$(DA)$ задовольняють аксіомі P-III'. Доказ зворотного аналогічний.

Вправа вище показує, що в аксіоматичній системі проективної площини лінії і точки мають однакові права. Насправді, можна перемикати всюди слова «точка» з «лінією», «проходити через» з «лежить», «колінеарно» з «одночасним» і ми отримуємо еквівалентний набір аксіом — аксіоми P-i і P-II перетворюються один в одного, і те ж саме відбувається з парою P-III і P-III'.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо, що одна з ліній в скінченній проективній площині містить точні$n+1$ точки.

1. Показати, що кожен рядок містить точні$n+1$ точки.
2. Показати, що площина містить точні$n^2+n+1$ точки.
3. Покажіть, що немає проективної площини з рівно 10 точками.
4. Показати, що в будь-якій скінченній проективній площині кількість точок збігається з кількістю ліній.

Підказка

$\ell$Дозволяти бути лінія з$n + 1$ точками на ньому.

За аксіомою P-III, заданої будь-якої лінії m, є точка,$P$ яка не лежить$\ell$ ні ні на ні на$m$.

За аксіомами P-i і P-II відбувається біджекція між лініями, що проходять через$P$ і точками на$\ell$. Зокрема, є саме$n + 1$ лінії, що проходять через$P$.

Таким же чином відбувається біекція між лініями, що проходять через$P$ і точками на$m$. Звідси (а) випливає. Закріпіть точку$X$. За аксіомою P-i будь-яка точка$Y$ на площині лежить в унікальній лінії, що проходить через$X$. З частини (a) кожен такий рядок містить$X$ і ще$n$ точку. Звідси випливає (б).

Щоб розв'язати (c), покажіть, що quation$n^2 + n + 1 = 10$ не допускає цілого розв'язку, а потім застосуйте частину (b).

Щоб вирішити (d), порахуйте кількість ліній, що перетинають задану пряму, використовуючи частину (a) і застосуйте (b).

Число$n$ в наведеній вище вправі називається порядком скінченної проективної площини. Наприклад, літак Фано має порядок$2$. Завершимо, констатуючи відому відкриту проблему в кінцевій геометрії.

Теорема$\PageIndex{1}$ Conjecture

Порядок будь-якої скінченної проективної площини - це ступінь простого числа.