2: Аксіоми

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.10: Конгруентні трикутники
- 2.1: Аксіоми

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Система аксіом з'являється вже в «Стихіях» Евкліда — найуспішнішому і впливовому підручнику, коли-небудь написаному.

Систематичне вивчення геометрії як аксіоматичних систем було викликано відкриттям неевклідової геометрії. Галузь математики, що виникає таким чином, називається «Основи геометрії».

Найпопулярніша система аксіом була запропонована в 1899 році Девідом Гільбертом. Це теж перша сувора система за сучасними мірками. Він містить двадцять аксіом у п'яти групах, шість «примітивних понять» та три «примітивні терміни»; вони не визначені термінами раніше визначених понять.

Пізніше було запропоновано ряд різних систем. Варто згадати систему Олександра Александрова [2], яка є дуже інтуїтивною і елементарною, систему Фрідріха Бахмана [3], засновану на концепції симетрії, і систему Альфреда Тарського [18] — мінімалістичну систему, призначену для аналізу з використанням математичної логіки.

Ми будемо використовувати іншу систему, яка дуже близька до тієї, яку запропонував Джордж Біркхофф [5]. Ця система базується на ключових спостереженнях (i) — (v), перелічених у розділі 1.1. Аксіоми використовують поняття метричного простору, ліній, кутів, трикутників, рівностей по модулю $2\cdot \pi$ ( $\equiv$ ), неперервності карт між метричними просторами та конгруентності трикутників ( $\cong$ ). Все це обговорювалося на попередніх етапах.

Наша система побудована на метричних просторах. Зокрема, ми використовуємо дійсні числа як будівельний блок. Тому наш підхід не є чисто аксіоматичним - ми будуємо теорію на чомусь іншому; вона нагадує вступ до евклідової геометрії на основі моделі, про який йдеться на сторінці 10. Ми використовували цей підхід, щоб мінімізувати нудні частини, які неминучі в чисто аксіоматичних основах.