2: Аксіоми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59131

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Система аксіом з'являється вже в «Стихіях» Евкліда — найуспішнішому і впливовому підручнику, коли-небудь написаному.

Систематичне вивчення геометрії як аксіоматичних систем було викликано відкриттям неевклідової геометрії. Галузь математики, що виникає таким чином, називається «Основи геометрії».

Найпопулярніша система аксіом була запропонована в 1899 році Девідом Гільбертом. Це теж перша сувора система за сучасними мірками. Він містить двадцять аксіом у п'яти групах, шість «примітивних понять» та три «примітивні терміни»; вони не визначені термінами раніше визначених понять.

Пізніше було запропоновано ряд різних систем. Варто згадати систему Олександра Александрова [2], яка є дуже інтуїтивною і елементарною, систему Фрідріха Бахмана [3], засновану на концепції симетрії, і систему Альфреда Тарського [18] — мінімалістичну систему, призначену для аналізу з використанням математичної логіки.

Ми будемо використовувати іншу систему, яка дуже близька до тієї, яку запропонував Джордж Біркхофф [5]. Ця система базується на ключових спостереженнях (i) — (v), перелічених у розділі 1.1. Аксіоми використовують поняття метричного простору, ліній, кутів, трикутників, рівностей по модулю\(2\cdot \pi\) (\(\equiv\)), неперервності карт між метричними просторами та конгруентності трикутників (\(\cong\)). Все це обговорювалося на попередніх етапах.

Наша система побудована на метричних просторах. Зокрема, ми використовуємо дійсні числа як будівельний блок. Тому наш підхід не є чисто аксіоматичним - ми будуємо теорію на чомусь іншому; вона нагадує вступ до евклідової геометрії на основі моделі, про який йдеться на сторінці 10. Ми використовували цей підхід, щоб мінімізувати нудні частини, які неминучі в чисто аксіоматичних основах.