2.5: Вертикальні кути

Пара кутів$AOB$ і$A'OB'$ називається вертикальною, якщо точка$O$ лежить між$A$$A'$$B$ і між ними і$B'$ одночасно.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Вертикальні кути мають рівні міри.

Доказ

Припустимо, що кути$AOB$ і$A'OB'$ вертикальні. Зверніть увагу, що$\angle AOA'$ і$\angle BOB'$ є прямими. Тому,$\measuredangle AOA' = \measuredangle BOB' = \pi$.

Звідси випливає, що

$$\begin{array} {rcl} {0} & = & {\measuredangle AOA' - \measuredangle BOB' \equiv} \\ {} & equiv & {\measuredangle AOB + \measuredangle BOA' - \measuredangle BOA' - \measuredangle A'OB' \equiv} \\ {} & \equiv & {\measuredangle AOB - \measuredangle A'OB'.} \end{array}$$

Так як$-\pi < \measuredangle AOB \le \pi$ і$-\pi < \measuredangle A'OB' \le \pi$, ми отримуємо, що$\measuredangle AOB = \measuredangle A'OB'$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо,$O$ це середина для обох сегментів$[AB]$ і$[CD]$. Доведіть, що$AC = BD$.

Підказка

Застосовуючи пропозицію 2.5.1, ми отримуємо це$\measuredangle AOC = \measuredangle BOD$. Залишилося застосувати Аксіому IV.