2.4: Прямий кут
Якщо∡AOB=π, ми говоримо, що∠AOB це прямий кут. Зверніть увагу, що за пропозицією 2.3.2, якщо∠AOB є прямим, то так є∠BOA.
Ми говоримо, що точкаO лежить між точкамиA іB, якщоO≠AO≠B, іO∈[AB].
AOBКут прямий, якщо і тільки якщоO лежить міжA іB.
- Доказ
-
За пропозицією 2.2.2 ми можемо припустити, щоOA=OB=1.
Частина «Якщо». ПрипустимоO брехня міжA іB. Набірα=∡AOB.
Застосовуючи Axiom IIIa, отримуємо полустрочку[OA′) таку, щоα=∡BOA′. За пропозицією 2.2.2 можна припустити, щоOA′=1. Відповідно до Аксіоми IV,
△AOB≅△BOA′.
Припустимо, щоf позначає відповідний рух площини;f тобто рух такеf(A)=B, щоf(O)=O, іf(B)=A′.
Тоді
O=f(O)∈f(AB)=(A′B).
Тому обидва рядки(AB) і(A′B) містятьB іO. За аксіомою II,(AB)=(A′B).
За визначенням прямої,(AB) містить рівно дві точкиA іB на відстані 1 відO. Так якOA′=1 іA′≠B, ми отримуємо, щоA=A′.
За аксіомою IIiB та пропозицією 2.3.1 ми отримуємо, що
2⋅α=∡AOB+∡BOA′==∡AOB+∡BOA≡equiv∡AOA==0
Тому, за вправою 1.8.1α, або 0, абоπ.
Оскільки[OA)≠[OB) ми маємо цеα≠0, див. Вправа 2.3.1. Тому,α=π.
«Тільки якщо» частина. Припустимо, що∡AOB=π. Розглянемо лінію(OA) і вибираємо точкуB′ на(OA) так, щобO лежала міжA іB′.
Зверху ми маємо це∡AOB′=π. Застосовуючи Axiom IIia, отримуємо це[OB)=[OB′). Зокрема,O лежить міжA іB.
ТрикутникABC називається виродженим якщоA,B, іC лежати на одній лінії. Наступний наслідок є лише переформулюванням теореми 2.4.1.
Трикутник вироджується тоді і тільки тоді, коли один з його кутів дорівнюєπ або 0. Більше того, у виродженому трикутнику кутові заходи 0, 0, іπ.
Вправа2.4.1
Показати, що три різні точкиA,O, іB лежать на одній лінії, якщо і тільки якщо
2⋅∡AOB≡0.
- Підказка
-
Застосувати пропозицію 2.3.1, теорему 2.4.1 та вправу 1.8.1.
Вправа2.4.2
CДозволятиA,B і бути три точки відмінні відO. Покажіть, щоB,O іC лежати на одному рядку, якщо і тільки якщо
2⋅∡AOB≡2⋅∡AOC.
- Підказка
-
Аксіома IIIб,2⋅∡BOC≡2⋅∡AOC−2⋅∡AOB=0. За вправою 1.8.1 він має на увазі, що∡BOC це або 0 абоπ. Залишається застосувати Exercsie 2.3.1 і Theorem 2.4.1 відповідно в цих двох випадках.
Вправа2.4.3
Показати, що існує невироджений трикутник.
- Відповідь
-
Закріпіть дві точкиA іB передбачені аксіомою I.
Виправте дійсне число0<α<π. За аксіомою IIia єC такий момент, що∡ABC=α. Використовуйте Proposition 2.2.1, щоб показати, що△ABC є невиродженим.