Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4: Прямий кут

ЯкщоAOB=π, ми говоримо, щоAOB це прямий кут. Зверніть увагу, що за пропозицією 2.3.2, якщоAOB є прямим, то так єBOA.

Ми говоримо, що точкаO лежить між точкамиA іB, якщоOAOB, іO[AB].

Теорема2.4.1

AOBКут прямий, якщо і тільки якщоO лежить міжA іB.

Доказ

За пропозицією 2.2.2 ми можемо припустити, щоOA=OB=1.

2021-02-02 пнг

Частина «Якщо». ПрипустимоO брехня міжA іB. Набірα=AOB.

Застосовуючи Axiom IIIa, отримуємо полустрочку[OA) таку, щоα=BOA. За пропозицією 2.2.2 можна припустити, щоOA=1. Відповідно до Аксіоми IV,

AOBBOA.

Припустимо, щоf позначає відповідний рух площини;f тобто рух такеf(A)=B, щоf(O)=O, іf(B)=A.

2021-02-02 пнг

Тоді

O=f(O)f(AB)=(AB).

Тому обидва рядки(AB) і(AB) містятьB іO. За аксіомою II,(AB)=(AB).

За визначенням прямої,(AB) містить рівно дві точкиA іB на відстані 1 відO. Так якOA=1 іAB, ми отримуємо, щоA=A.

За аксіомою IIiB та пропозицією 2.3.1 ми отримуємо, що

2α=AOB+BOA==AOB+BOAequivAOA==0

Тому, за вправою 1.8.1α, або 0, абоπ.

Оскільки[OA)[OB) ми маємо цеα0, див. Вправа 2.3.1. Тому,α=π.

«Тільки якщо» частина. Припустимо, щоAOB=π. Розглянемо лінію(OA) і вибираємо точкуB на(OA) так, щобO лежала міжA іB.

Зверху ми маємо цеAOB=π. Застосовуючи Axiom IIia, отримуємо це[OB)=[OB). Зокрема,O лежить міжA іB.

ТрикутникABC називається виродженим якщоA,B, іC лежати на одній лінії. Наступний наслідок є лише переформулюванням теореми 2.4.1.

Слідство2.4.1

Трикутник вироджується тоді і тільки тоді, коли один з його кутів дорівнюєπ або 0. Більше того, у виродженому трикутнику кутові заходи 0, 0, іπ.

Вправа2.4.1

Показати, що три різні точкиA,O, іB лежать на одній лінії, якщо і тільки якщо

2AOB0.

Підказка

Застосувати пропозицію 2.3.1, теорему 2.4.1 та вправу 1.8.1.

Вправа2.4.2

CДозволятиA,B і бути три точки відмінні відO. Покажіть, щоB,O іC лежати на одному рядку, якщо і тільки якщо

2AOB2AOC.

Підказка

Аксіома IIIб,2BOC2AOC2AOB=0. За вправою 1.8.1 він має на увазі, щоBOC це або 0 абоπ. Залишається застосувати Exercsie 2.3.1 і Theorem 2.4.1 відповідно в цих двох випадках.

Вправа2.4.3

Показати, що існує невироджений трикутник.

Відповідь

Закріпіть дві точкиA іB передбачені аксіомою I.

Виправте дійсне число0<α<π. За аксіомою IIia єC такий момент, щоABC=α. Використовуйте Proposition 2.2.1, щоб показати, щоABC є невиродженим.