2.2: Лінії та напівлінії

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Будь-які дві різні лінії перетинаються максимум в одній точці.

Доказ

Припустимо, що дві лінії l і m перетинаються в двох різних точках$P$ і$Q$. Застосовуючи Axiom II, отримуємо це$l = m$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо$A' \in [OA)$, і$A' \ne O$. Покажіть, що

$[OA) = [OA').$

Відповідь

За аксіомою II,$(OA) = (OA')$. Тому заява зводиться до наступного:

Припустімо,$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ це рух лінії, яка посилає,$0 \mapsto 0$ і одне додатне число до позитивного числа, то$f$ це карта ідентичності.

Останнє випливає з розділу 1.6.

Теорема$\PageIndex{2}$

Враховуючи$r \ge 0$ і$[OA)$ полустрочку є унікальне$A' \in [OA)$ таке, що$OA' = r$.

Доказ

Згідно з визначенням напівлінії, існує ізометрія

$f:[OA) \to [0, \infty),$

такий, що$f(O) = 0$. За визначенням ізометрії,$OA' = f(A')$ для будь-якого$A' \in [OA)$. Таким чином,$OA' = r$ якщо і тільки якщо$f(A') = r$.

Оскільки ізометрія повинна бути двооб'єктивною, випливає твердження.