Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2: Лінії та напівлінії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59134

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

    Будь-які дві різні лінії перетинаються максимум в одній точці.

    Доказ

    Припустимо, що дві лінії l і m перетинаються в двох різних точках\(P\) і\(Q\). Застосовуючи Axiom II, отримуємо це\(l = m\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Припустимо\(A' \in [OA)\), і\(A' \ne O\). Покажіть, що

    \([OA) = [OA').\)

    Відповідь

    За аксіомою II,\((OA) = (OA')\). Тому заява зводиться до наступного:

    Припустімо,\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) це рух лінії, яка посилає,\(0 \mapsto 0\) і одне додатне число до позитивного числа, то\(f\) це карта ідентичності.

    Останнє випливає з розділу 1.6.

    Теорема\(\PageIndex{2}\)

    Враховуючи\(r \ge 0\) і\([OA)\) полустрочку є унікальне\(A' \in [OA)\) таке, що\(OA' = r\).

    Доказ

    Згідно з визначенням напівлінії, існує ізометрія

    \(f:[OA) \to [0, \infty),\)

    такий, що\(f(O) = 0\). За визначенням ізометрії,\(OA' = f(A')\) для будь-якого\(A' \in [OA)\). Таким чином,\(OA' = r\) якщо і тільки якщо\(f(A') = r\).

    Оскільки ізометрія повинна бути двооб'єктивною, випливає твердження.