2.1: Аксіоми

I. Евклідова площина є метричним простором з принаймні двома точками.

II. Існує одна і тільки одна лінія, яка містить будь-які дві задані різні точки\(P\) і\(Q\) в евклідовій площині.

III. Будь-який кут\(AOB\) в евклідовій площині визначає дійсне число в інтервалі\((-\pi, \pi]\). Це число називається кутовою мірою\(\angle AOB\) і позначається\(\measuredangle AOB\). Він задовольняє наступну умову:
(а) Задано півлінії\([OA)\) і\(\alpha \in (-\pi, \pi]\), існує унікальна напівлінія\([OB)\), така, що\(\measuredangle AOB = \alpha\).
(b) Для будь-яких точок\(A, B\), і\(C\), на відміну від\(O\) нас є
\[\measuredangle AOB + \measuredangle BOC \equiv \measuredangle AOC.\]
(c) Функція
\[\measuredangle: (A, O, B) \mapsto \measuredangle AOB\]
є безперервною в будь-якій трійці точок\((A, O, B)\), таких що\(O \ne A\) і\(O \ne B\) і \(\measuredangle AOB \ne \pi\).

IV. У евклідовій площині ми маємо\(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\) якщо і тільки якщо
\[A'B' = AB, A'C' = AC, \text{ and } \measuredangle C'A'B' = \pm \measuredangle CAB.\]

V., Якщо для двох трикутників\(ABC, AB'C'\) у евклідовій площині і для\(k > 0\) нас,
\[\begin{array} {rclcrcl} {B'} & \in & {[AB),} &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {C'} & \in & {[AC),} \\ {AB'} & = & {k \cdot AB,} &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {AC'} & = & {k \cdot AC,} \end{array}\]
то
\[B'C' = k \cdot BC, \measuredangle ABC = \measuredangle AB'C', \measuredangle ACB = \measuredangle AC'B'.\]

Відтепер ми не можемо використовувати жодної інформації про евклідову площину, яка не випливає з п'яти аксіом вище.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Показати, що існує (а) нескінченна множина точок, (б) нескінченний набір ліній на площині.

Підказка

За аксіомою I в площині є як мінімум дві точки. Тому за аксіомою II площина містить лінію. Щоб довести (а), залишається відзначити, що лінія - це нескінченна множина точок. Для доказу (б) застосовують додатково Аксіому III.