2.1: Аксіоми
I. Евклідова площина є метричним простором з принаймні двома точками.
II. Існує одна і тільки одна лінія, яка містить будь-які дві задані різні точкиP іQ в евклідовій площині.
III. Будь-який кутAOB в евклідовій площині визначає дійсне число в інтервалі(−π,π]. Це число називається кутовою мірою∠AOB і позначається∡AOB. Він задовольняє наступну умову:
(а) Задано півлінії[OA) іα∈(−π,π], існує унікальна напівлінія[OB), така, що∡AOB=α.
(b) Для будь-яких точокA,B, іC, на відміну відO нас є
∡AOB+∡BOC≡∡AOC.
(c) Функція
∡:(A,O,B)↦∡AOB
є безперервною в будь-якій трійці точок(A,O,B), таких щоO≠A іO≠B і ∡AOB≠π.
IV. У евклідовій площині ми маємо△ABC≅△A′B′C′ якщо і тільки якщо
A′B′=AB,A′C′=AC, and ∡C′A′B′=±∡CAB.
V., Якщо для двох трикутниківABC,AB′C′ у евклідовій площині і дляk>0 нас,
B′∈[AB), C′∈[AC),AB′=k⋅AB, AC′=k⋅AC,
то
B′C′=k⋅BC,∡ABC=∡AB′C′,∡ACB=∡AC′B′.
Відтепер ми не можемо використовувати жодної інформації про евклідову площину, яка не випливає з п'яти аксіом вище.
Вправа2.1.1
Показати, що існує (а) нескінченна множина точок, (б) нескінченний набір ліній на площині.
- Підказка
-
За аксіомою I в площині є як мінімум дві точки. Тому за аксіомою II площина містить лінію. Щоб довести (а), залишається відзначити, що лінія - це нескінченна множина точок. Для доказу (б) застосовують додатково Аксіому III.