Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Аксіоми

I. Евклідова площина є метричним простором з принаймні двома точками.

II. Існує одна і тільки одна лінія, яка містить будь-які дві задані різні точкиP іQ в евклідовій площині.

III. Будь-який кутAOB в евклідовій площині визначає дійсне число в інтервалі(π,π]. Це число називається кутовою міроюAOB і позначаєтьсяAOB. Він задовольняє наступну умову:
(а) Задано півлінії[OA) іα(π,π], існує унікальна напівлінія[OB), така, щоAOB=α.
(b) Для будь-яких точокA,B, іC, на відміну відO нас є
AOB+BOCAOC.


(c) Функція
:(A,O,B)AOB

є безперервною в будь-якій трійці точок(A,O,B), таких щоOA іOB і AOBπ.

IV. У евклідовій площині ми маємоABCABC якщо і тільки якщо
AB=AB,AC=AC, and CAB=±CAB.

V., Якщо для двох трикутниківABC,ABC у евклідовій площині і дляk>0 нас,
B[AB),          C[AC),AB=kAB,          AC=kAC,


то
BC=kBC,ABC=ABC,ACB=ACB.

Відтепер ми не можемо використовувати жодної інформації про евклідову площину, яка не випливає з п'яти аксіом вище.

Вправа2.1.1

Показати, що існує (а) нескінченна множина точок, (б) нескінченний набір ліній на площині.

Підказка

За аксіомою I в площині є як мінімум дві точки. Тому за аксіомою II площина містить лінію. Щоб довести (а), залишається відзначити, що лінія - це нескінченна множина точок. Для доказу (б) застосовують додатково Аксіому III.