2.1: Аксіоми

I. Евклідова площина є метричним простором з принаймні двома точками.

II. Існує одна і тільки одна лінія, яка містить будь-які дві задані різні точки$P$ і$Q$ в евклідовій площині.

III. Будь-який кут$AOB$ в евклідовій площині визначає дійсне число в інтервалі$(-\pi, \pi]$. Це число називається кутовою мірою$\angle AOB$ і позначається$\measuredangle AOB$. Він задовольняє наступну умову:
(а) Задано півлінії$[OA)$ і$\alpha \in (-\pi, \pi]$, існує унікальна напівлінія$[OB)$, така, що$\measuredangle AOB = \alpha$.
(b) Для будь-яких точок$A, B$, і$C$, на відміну від$O$ нас є
$$\measuredangle AOB + \measuredangle BOC \equiv \measuredangle AOC.$$
(c) Функція
$$\measuredangle: (A, O, B) \mapsto \measuredangle AOB$$
є безперервною в будь-якій трійці точок$(A, O, B)$, таких що$O \ne A$ і$O \ne B$ і $\measuredangle AOB \ne \pi$.

IV. У евклідовій площині ми маємо$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ якщо і тільки якщо
$$A'B' = AB, A'C' = AC, \text{ and } \measuredangle C'A'B' = \pm \measuredangle CAB.$$

V., Якщо для двох трикутників$ABC, AB'C'$ у евклідовій площині і для$k > 0$ нас,
$$\begin{array} {rclcrcl} {B'} & \in & {[AB),} &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {C'} & \in & {[AC),} \\ {AB'} & = & {k \cdot AB,} &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & {AC'} & = & {k \cdot AC,} \end{array}$$
то
$$B'C' = k \cdot BC, \measuredangle ABC = \measuredangle AB'C', \measuredangle ACB = \measuredangle AC'B'.$$

Відтепер ми не можемо використовувати жодної інформації про евклідову площину, яка не випливає з п'яти аксіом вище.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що існує (а) нескінченна множина точок, (б) нескінченний набір ліній на площині.

Підказка

За аксіомою I в площині є як мінімум дві точки. Тому за аксіомою II площина містить лінію. Щоб довести (а), залишається відзначити, що лінія - це нескінченна множина точок. Для доказу (б) застосовують додатково Аксіому III.