1.3: Метричні пробіли

Поняття метричного простору забезпечує суворий спосіб сказати: «ми можемо мати- впевнені відстані між точками». Тобто замість (i) на Розділі 1.1 ми можемо сказати «Евклідова площина - це метричний простір».

Визначення

$\mathcal{X}$Дозволяти бути непорожнім набором і$d$ бути функцією, яка повертає дійсне число$d(A, B)$ для будь-якої пари$A, B \in \mathcal{X}$. Потім$d$ називається метрика на$\mathcal{X}$ якщо для$A, B, C \in \mathcal{X}$ такої, виконуються наступні умови:

(a) Позитивність:

$$d(A, B) \ge 0.$$

(б)$A = B$ якщо і тільки якщо

$$d(A, B) = 0.$$

(c) Симетрія:

$$d(A, B) = d(B, A)$$

(d) Нерівність трикутника:

$$d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C).$$

Метричний простір - це набір з метрикою на ньому. Більш формально метричний простір - це пара,$(\mathcal{X}, d)$ де$\mathcal{X}$ є множиною і$d$ є метрикою на$\mathcal{X}$.

Елементи$\mathcal{X}$ називаються точками метричного простору. З огляду на дві точки$A, B \in \mathcal{X}$, значення$d(A, B)$ називається відстанню від$A$ до$B$.

Приклад$\PageIndex{1}$ Discrete metric

$\mathcal{X}$Дозволяти бути довільним набором. Для будь-якого$A, B \in \mathcal{X}$, встановіть$d(A, B) = 0$ якщо$A = B$ і$d(A, B) = 1$ інакше. Метрика$d$ називається дискретною метрикою на$\mathcal{X}$.

Приклад$\PageIndex{2}$ Real line

Набір всіх дійсних чисел ($\mathbb{R}$) з метрикою,$d$ визначеною

$$d(A, B) := |A - B|.$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що не$d(A, B) = |A - B|^2$ є метрикою на$\mathbb{R}$.

Метрики на літаку. Припустимо, що$\mathbb{R}^2$ позначає безліч всіх пар$(x, y)$ дійсних чисел. Припустимо$A = (x_A, y_A)$ і$B = (x_B, y_B)$. Розглянемо наступні показники на$\mathbb{R}^2$:

• Евклідова метрика, позначається$d_2$ і визначається як
  $$d_2(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}.$$
• Метрика Манхеттена, позначається$d_1$ і визначається як
  $$d_1(A, B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|.$$
• Максимальна метрика, позначається$d_{\infty}$ і визначається як
  $$d_{\infty}(A, B) = \max \{|x_A - x_B|, |y_A - y_B|\}.$$

Підказка

Перевірте нерівність трикутника для$A = 0$,$B = 1$ і$C = 2$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Доведіть, що наступні функції є метриками на$\mathbb{R}^2$:

(а)$d_1$;
(б)$d_2$;
(с)$d_{\infty}$.

Відповідь

Лише нерівність трикутника вимагає доказів - решта умов у визначенні 1.1 очевидні. Нехай$A = x_A, y_A)$,$B = (x_B, y_B)$, і$C = (x_C, y_C)$. Набір

$x_1 = x_B - x_A$,$y_1 = y_B - y_A$,
$x_2 = x_C - x_B$,$y_2 = y_C - y_B$.

(а). Нерівність

$$d_1(A, C) \le d_1(A, B) + d_1(B, C)$$

можна записати як

$$|x_1 + x_2| + |y_1 + y_2| \le |x_1| + |y_1| + |x_2| + |y_2|.$$

Останнє випливає з$|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2|$ і$|y_1 + y_2| \le |y_1| + |y_2|$.

(б). Нерівність

$$d_2(A, C) \le d_2 (A, B) + d_2(B, C)$$

можна записати як

$$\sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2} \le \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2}.$$

Візьміть квадрат лівої і правої сторін, спростіть, знову візьміть квадрат і знову спростіть. У вас повинно вийти наступне нерівність

$$0 \le (x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1)^2,$$

що еквівалентно 1.3.9 і, очевидно, вірно.

(c). Нерівність

$$d_{\infty} (A, C) \le d_{\infty} (A, B) + d_{\infty} (B, C)$$

можна записати як

$$\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.$$

Без втрати спільності ми можемо припустити, що

$$\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} = |x_1 + x_2|.$$

Далі,

$$|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2| \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.$$

Звідси випливає 1.3.13.