1.3: Метричні пробіли
- Page ID
- 59202
Поняття метричного простору забезпечує суворий спосіб сказати: «ми можемо мати- впевнені відстані між точками». Тобто замість (i) на Розділі 1.1 ми можемо сказати «Евклідова площина - це метричний простір».
\(\mathcal{X}\)Дозволяти бути непорожнім набором і\(d\) бути функцією, яка повертає дійсне число\(d(A, B)\) для будь-якої пари\(A, B \in \mathcal{X}\). Потім\(d\) називається метрика на\(\mathcal{X}\) якщо для\(A, B, C \in \mathcal{X}\) такої, виконуються наступні умови:
(a) Позитивність:
\[d(A, B) \ge 0.\]
(б)\(A = B\) якщо і тільки якщо
\[d(A, B) = 0.\]
(c) Симетрія:
\[d(A, B) = d(B, A)\]
(d) Нерівність трикутника:
\[d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C).\]
Метричний простір - це набір з метрикою на ньому. Більш формально метричний простір - це пара,\((\mathcal{X}, d)\) де\(\mathcal{X}\) є множиною і\(d\) є метрикою на\(\mathcal{X}\).
Елементи\(\mathcal{X}\) називаються точками метричного простору. З огляду на дві точки\(A, B \in \mathcal{X}\), значення\(d(A, B)\) називається відстанню від\(A\) до\(B\).
\(\mathcal{X}\)Дозволяти бути довільним набором. Для будь-якого\(A, B \in \mathcal{X}\), встановіть\(d(A, B) = 0\) якщо\(A = B\) і\(d(A, B) = 1\) інакше. Метрика\(d\) називається дискретною метрикою на\(\mathcal{X}\).
Набір всіх дійсних чисел (\(\mathbb{R}\)) з метрикою,\(d\) визначеною
\[d(A, B) := |A - B|.\]
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Показати, що не\(d(A, B) = |A - B|^2\) є метрикою на\(\mathbb{R}\).
Метрики на літаку. Припустимо, що\(\mathbb{R}^2\) позначає безліч всіх пар\((x, y)\) дійсних чисел. Припустимо\(A = (x_A, y_A)\) і\(B = (x_B, y_B)\). Розглянемо наступні показники на\(\mathbb{R}^2\):
- Евклідова метрика, позначається\(d_2\) і визначається як
\[d_2(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}.\] - Метрика Манхеттена, позначається\(d_1\) і визначається як
\[d_1(A, B) = |x_A - x_B| + |y_A - y_B|.\] - Максимальна метрика, позначається\(d_{\infty}\) і визначається як
\[d_{\infty}(A, B) = \max \{|x_A - x_B|, |y_A - y_B|\}.\]
- Підказка
-
Перевірте нерівність трикутника для\(A = 0\),\(B = 1\) і\(C = 2\).
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Доведіть, що наступні функції є метриками на\(\mathbb{R}^2\):
(а)\(d_1\);
(б)\(d_2\);
(с)\(d_{\infty}\).
- Відповідь
-
Лише нерівність трикутника вимагає доказів - решта умов у визначенні 1.1 очевидні. Нехай\(A = x_A, y_A)\),\(B = (x_B, y_B)\), і\(C = (x_C, y_C)\). Набір
\(x_1 = x_B - x_A\),\(y_1 = y_B - y_A\),
\(x_2 = x_C - x_B\),\(y_2 = y_C - y_B\).(а). Нерівність
\[d_1(A, C) \le d_1(A, B) + d_1(B, C)\]
можна записати як
\[|x_1 + x_2| + |y_1 + y_2| \le |x_1| + |y_1| + |x_2| + |y_2|.\]
Останнє випливає з\(|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2|\) і\(|y_1 + y_2| \le |y_1| + |y_2|\).
(б). Нерівність
\[d_2(A, C) \le d_2 (A, B) + d_2(B, C)\]
можна записати як
\[\sqrt{(x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2} \le \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2}.\]
Візьміть квадрат лівої і правої сторін, спростіть, знову візьміть квадрат і знову спростіть. У вас повинно вийти наступне нерівність
\[0 \le (x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1)^2,\]
що еквівалентно 1.3.9 і, очевидно, вірно.
(c). Нерівність
\[d_{\infty} (A, C) \le d_{\infty} (A, B) + d_{\infty} (B, C)\]
можна записати як
\[\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.\]
Без втрати спільності ми можемо припустити, що
\[\max \{|x_1 + x_2|, |y_1 + y_2|\} = |x_1 + x_2|.\]
Далі,
\[|x_1 + x_2| \le |x_1| + |x_2| \le \max \{|x_1|, |y_1|\} + \max \{|x_2|, |y_2|\}.\]
Звідси випливає 1.3.13.