1.6: Напівлінії та відрізки

Припустимо, що існує лінія,$l$ що проходить через дві різні точки$P$ і$Q$. У цьому випадку ми могли б позначити$l$ як$(PQ)$. Там може бути більше одного рядка через$P$ і$Q$, але якщо ми пишемо$(PQ)$ ми припускаємо, що ми зробили вибір такого рядка.

Ми будемо позначати$[PQ)$ напіврядком, який починається з$P$ і містить$Q$. Формально кажучи,$[PQ)$ це$(PQ)$ підмножина якої відповідає$[0,\infty)$ під ізометрії$f: (PQ) \to \mathbb{R}$ такий, що$f(P) = 0$ і$f(Q) > 0$.

Підмножина лінії$(PQ)$ між$P$ і$Q$ називається відрізок між$P$$Q$ і і позначається$[PQ]$. Формально відрізок можна визначити як перетин двох напівліній:$[PQ] = [PQ) \cap [QP)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Покажіть, що

(а) якщо$X \in [PQ)$, то$QX = |PX - PQ|$;

(б) якщо$X \in [PQ]$, то$QX + XQ = PQ$.

Підказка

Виправте ізометрії$f: (PQ) \to \mathbb{R}$ таким чином, що$f(P) = 0$ і$f(Q) = q > 0$.

Припустимо, що$f(X) = x$. За визначенням напівлінії$X \in [PQ)$ якщо і тільки якщо$x \ge 0$. Показати, що останній тримає, якщо і тільки якщо$|x - q| = ||x| - |q||$. Звідси (а) випливає.

Щоб довести (б), зауважте, що$X \in [PQ]$ якщо і тільки якщо$0 \le x \le q$. Показати, що останній тримає, якщо і тільки якщо$|x - q| + |x| = |q|$.