Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.6: Напівлінії та відрізки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59179

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Припустимо, що існує лінія,\(l\) що проходить через дві різні точки\(P\) і\(Q\). У цьому випадку ми могли б позначити\(l\) як\((PQ)\). Там може бути більше одного рядка через\(P\) і\(Q\), але якщо ми пишемо\((PQ)\) ми припускаємо, що ми зробили вибір такого рядка.

    Ми будемо позначати\([PQ)\) напіврядком, який починається з\(P\) і містить\(Q\). Формально кажучи,\([PQ)\) це\((PQ)\) підмножина якої відповідає\([0,\infty)\) під ізометрії\(f: (PQ) \to \mathbb{R}\) такий, що\(f(P) = 0\) і\(f(Q) > 0\).

    Підмножина лінії\((PQ)\) між\(P\) і\(Q\) називається відрізок між\(P\)\(Q\) і і позначається\([PQ]\). Формально відрізок можна визначити як перетин двох напівліній:\([PQ] = [PQ) \cap [QP)\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Покажіть, що

    (а) якщо\(X \in [PQ)\), то\(QX = |PX - PQ|\);

    (б) якщо\(X \in [PQ]\), то\(QX + XQ = PQ\).

    Підказка

    Виправте ізометрії\(f: (PQ) \to \mathbb{R}\) таким чином, що\(f(P) = 0\) і\(f(Q) = q > 0\).

    Припустимо, що\(f(X) = x\). За визначенням напівлінії\(X \in [PQ)\) якщо і тільки якщо\(x \ge 0\). Показати, що останній тримає, якщо і тільки якщо\(|x - q| = ||x| - |q||\). Звідси (а) випливає.

    Щоб довести (б), зауважте, що\(X \in [PQ]\) якщо і тільки якщо\(0 \le x \le q\). Показати, що останній тримає, якщо і тільки якщо\(|x - q| + |x| = |q|\).