1.4: Ярлик для відстані

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59209

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Більшу частину часу ми вивчаємо лише одну метрику на просторі. Тому нам не потрібно буде кожного разу називати метрику.

З огляду на метричний простір\(\mathcal{X}\), відстань між точками\(A\) і\(B\) буде далі позначено

\(AB\)або\(d_{\mathcal{X}}(A,B)\);

останній використовується тільки в тому випадку, якщо нам потрібно підкреслити, що\(A\) і\(B\) є точками метричного простору\(\mathcal{X}\).

Наприклад, нерівність трикутника можна записати як

\(AC \le AB + BC\).

Для множення ми завжди будемо використовувати "\(\cdot\)«, тому не можна\(AB\) було сплутати з\(A \cdot B\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Показати, що нерівність

\(AB + PQ \le AP + AQ + BP + PQ\)

тримає будь-які чотири точки\(A, B, P, Q\) в метричному просторі.

Підказка: Підсумовуємо чотири нерівності трикутника.