1.9: Безперервність

Вимірювання кута також приймається безперервним. А саме наступна властивість вимірювання кута стане частиною аксіом:

Функція

$$\measuredangle: (A, O, B) \mapsto \measuredangle AOB$$

є безперервним в будь-якій трійці точок$(A, O, B)$ таких, що$O \ne A$ і$O \ne B$ і$\measuredangle AOB \ne \pi$.

Щоб пояснити цю властивість, нам потрібно розширити поняття неперервності на функції між метричними просторами. Визначення є простим узагальненням стандартного визначення для реальних функцій.

Далі нехай$\mathcal{X}$ і$\mathcal{Y}$ буде два метричних пробілу, і$d_{\mathcal{X}}, d_{\mathcal{Y}}$ бути їх метриками.

Карта$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ називається безперервною в точці,$A \in \mathcal{X}$ якщо для будь-якої$\varepsilon > 0$ є$\delta > 0$, така, що

$d_{\mathcal{X}} (A, A') < \delta \Rightarrow d_{\mathcal{Y}}(f(A), f(A')) < \varepsilon.$

(Неофіційно це означає, що досить невеликі зміни$A$ призводять до довільно малих змін$f(A)$.)

Карта$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ називається безперервною, якщо вона безперервна в кожній точці$A \in \mathcal{X}$.

Один і той же спосіб можна визначити безперервну карту з декількох змінних. Припустимо,$f(A, B, C)$ це функція, яка повертає точку у просторі$\mathcal{Y}$ для трійки точок$(A, B, C)$ у просторі$\mathcal{X}$. Карта$f$ може бути визначена лише для деяких трійок в$\mathcal{X}$.

$f(A, B, C)$Припустімо, визначено. Потім, ми говоримо, що$f$ є безперервним при трійці,$(A, B, C)$ якщо для будь-якого$\varepsilon > 0$ є$\delta > 0$ таке, що

$d_{\mathcal{Y}} (f(A, B, C), f(A',B',C')) < \varepsilon.$

якщо$d_{\mathcal{X}} (A, A') < \delta, d_{\mathcal{X}} (B, B') < \delta$, і$d_{\mathcal{X}} (C, C') < \delta$.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\mathcal{X}$Дозволяти бути метричний простір.

(а)$A \in \mathcal{X}$ Дозволяти бути фіксованою точкою. Показати, що функція
$$f(B):= d_{\mathcal{X}} (A, B)$$
є безперервною в будь-якій точці$B$.

(b) Показати, що$d_{\mathcal{X}} (A, B)$ є безперервним у будь-якій парі$A, B \in \mathcal{X}$.

Підказка

(а). За нерівності трикутника,$|f(A') - f(A)| \le d(A', A)$. Тому ми можемо взяти$\delta = \varepsilon$.

(б). За нерівністю трикутника,

$$\begin{array} {rcl} {|f(A',B') - f(A, B)|} & \le & {|f(A',B') - F(A, B')| + |F(A, B') - F(A, B)|} \\ {} & \le & {d(A',A) + d(B',B).} \end{array}$$

Тому ми можемо взяти$\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Дозволяти$\mathcal{X}, \mathcal{Y}$, і$\mathcal{Z}$ бути метричні пробіли. Припустимо, що функції$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ і$g: \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$ є безперервними в будь-якій точці, і$h = g \circ f$ є їх склад; тобто$h(A) = g(f(A))$ для будь-якого$A \in \mathcal{X}$. Покажіть, що$h: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$ є безперервним у будь-якій точці.

Підказка

Фіксуємо$A \in \mathcal{X}$ і$B \in \mathcal{Y}$ таке, що$f(A) = B$.

Виправити$\varepsilon > 0$. Оскільки$g$ є безперервним при$B$, є позитивне значення$\delta_1$ таке, що

$d_{\mathcal{Z}} (g(B'), g(B)) < \varepsilon$якщо$d_{\mathcal{Y}} (B', B) < \delta_1$.

Так$f$ як безперервно при$A$, є$\delta_2 > 0$ таке, що

$d_{\mathcal{Y}} (f(A'), f(A)) < \delta_1$якщо$d_{\mathcal{X}} (A', A) < \delta_2$.

З тих пір$f(A) = B$, ми отримуємо, що

$d_{\mathcal{Z}} (h(A'), h(A)) < \varepsilon$якщо$d_{\mathcal{X}} (A',A) < \delta_2$.

Звідси і результат.

Вправа$\PageIndex{3}$

Покажіть, що будь-яка карта, що зберігає відстань, є безперервною в будь-якій точці.