1.9: Безперервність

Вимірювання кута також приймається безперервним. А саме наступна властивість вимірювання кута стане частиною аксіом:

Функція

\[\measuredangle: (A, O, B) \mapsto \measuredangle AOB\]

є безперервним в будь-якій трійці точок\((A, O, B)\) таких, що\(O \ne A\) і\(O \ne B\) і\(\measuredangle AOB \ne \pi\).

Щоб пояснити цю властивість, нам потрібно розширити поняття неперервності на функції між метричними просторами. Визначення є простим узагальненням стандартного визначення для реальних функцій.

Далі нехай\(\mathcal{X}\) і\(\mathcal{Y}\) буде два метричних пробілу, і\(d_{\mathcal{X}}, d_{\mathcal{Y}}\) бути їх метриками.

Карта\(f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) називається безперервною в точці,\(A \in \mathcal{X}\) якщо для будь-якої\(\varepsilon > 0\) є\(\delta > 0\), така, що

\(d_{\mathcal{X}} (A, A') < \delta \Rightarrow d_{\mathcal{Y}}(f(A), f(A')) < \varepsilon.\)

(Неофіційно це означає, що досить невеликі зміни\(A\) призводять до довільно малих змін\(f(A)\).)

Карта\(f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) називається безперервною, якщо вона безперервна в кожній точці\(A \in \mathcal{X}\).

Один і той же спосіб можна визначити безперервну карту з декількох змінних. Припустимо,\(f(A, B, C)\) це функція, яка повертає точку у просторі\(\mathcal{Y}\) для трійки точок\((A, B, C)\) у просторі\(\mathcal{X}\). Карта\(f\) може бути визначена лише для деяких трійок в\(\mathcal{X}\).

\(f(A, B, C)\)Припустімо, визначено. Потім, ми говоримо, що\(f\) є безперервним при трійці,\((A, B, C)\) якщо для будь-якого\(\varepsilon > 0\) є\(\delta > 0\) таке, що

\(d_{\mathcal{Y}} (f(A, B, C), f(A',B',C')) < \varepsilon.\)

якщо\(d_{\mathcal{X}} (A, A') < \delta, d_{\mathcal{X}} (B, B') < \delta\), і\(d_{\mathcal{X}} (C, C') < \delta\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(\mathcal{X}\)Дозволяти бути метричний простір.

(а)\(A \in \mathcal{X}\) Дозволяти бути фіксованою точкою. Показати, що функція
\[f(B):= d_{\mathcal{X}} (A, B)\]
є безперервною в будь-якій точці\(B\).

(b) Показати, що\(d_{\mathcal{X}} (A, B)\) є безперервним у будь-якій парі\(A, B \in \mathcal{X}\).

Підказка

(а). За нерівності трикутника,\(|f(A') - f(A)| \le d(A', A)\). Тому ми можемо взяти\(\delta = \varepsilon\).

(б). За нерівністю трикутника,

\[\begin{array} {rcl} {|f(A',B') - f(A, B)|} & \le & {|f(A',B') - F(A, B')| + |F(A, B') - F(A, B)|} \\ {} & \le & {d(A',A) + d(B',B).} \end{array}\]

Тому ми можемо взяти\(\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Дозволяти\(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\), і\(\mathcal{Z}\) бути метричні пробіли. Припустимо, що функції\(f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) і\(g: \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) є безперервними в будь-якій точці, і\(h = g \circ f\) є їх склад; тобто\(h(A) = g(f(A))\) для будь-якого\(A \in \mathcal{X}\). Покажіть, що\(h: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) є безперервним у будь-якій точці.

Підказка

Фіксуємо\(A \in \mathcal{X}\) і\(B \in \mathcal{Y}\) таке, що\(f(A) = B\).

Виправити\(\varepsilon > 0\). Оскільки\(g\) є безперервним при\(B\), є позитивне значення\(\delta_1\) таке, що

\(d_{\mathcal{Z}} (g(B'), g(B)) < \varepsilon\)якщо\(d_{\mathcal{Y}} (B', B) < \delta_1\).

Так\(f\) як безперервно при\(A\), є\(\delta_2 > 0\) таке, що

\(d_{\mathcal{Y}} (f(A'), f(A)) < \delta_1\)якщо\(d_{\mathcal{X}} (A', A) < \delta_2\).

З тих пір\(f(A) = B\), ми отримуємо, що

\(d_{\mathcal{Z}} (h(A'), h(A)) < \varepsilon\)якщо\(d_{\mathcal{X}} (A',A) < \delta_2\).

Звідси і результат.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Покажіть, що будь-яка карта, що зберігає відстань, є безперервною в будь-якій точці.