Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8: Серія Тейлор і Лоран

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62546

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Спочатку ми визначили аналітичну функцію як таку, де існувала похідна, визначена як межа коефіцієнтів. Ми продовжували доводити теорему Коші та інтегральну формулу Коші. Вони виявили деякі глибокі властивості аналітичних функцій, наприклад, існування похідних усіх порядків. Наша мета в цій темі - висловити аналітичні функції як нескінченний енергетичний ряд. Це призведе нас до серії Тейлора. Коли складна функція має ізольовану сингулярність в точці, ми замінимо ряд Тейлора на ряд Лорана. Не дивно, що ми виведемо ці ряди з інтегральної формули Коші. Хоча ми приходимо до представлень силових рядів після вивчення інших властивостей аналітичних функцій, вони будуть одним з наших основних інструментів у розумінні та обчисленні з аналітичними функціями.

    • 8.1: Геометрична серія
      Детальне розуміння геометричних рядів дозволить нам використовувати інтегральну формулу Коші, щоб зрозуміти уявлення степеневих рядів аналітичних функцій. Почнемо з визначення:
    • 8.2: Конвергенція силових рядів
      Коли ми включимо степені змінної z в ряд, ми будемо називати її силовим рядом. У цьому розділі ми викладемо основну теорему, яка нам потрібна про збіжність степеневих рядів. Технічні деталі будуть перенесені в додаток для зацікавленого читача.
    • 8.3: Серія Тейлора
      Попередній розділ показав, що степеневий ряд сходиться до аналітичної функції всередині його диска збіжності. Теорема Тейлора завершує історію, даючи зворотне: навколо кожної точки аналітичності аналітична функція дорівнює збіжному енергетичному ряду.
    • 8.4: Приклади серії Тейлора
      Унікальність серії Тейлора поряд з тим, що вони сходяться на будь-якому диску навколо z0, де функція є аналітичною, дозволяє нам використовувати безліч обчислювальних трюків, щоб знайти ряд і бути впевненим, що він сходиться.
    • 8.5: Сингулярності
      Функція f (z) є одниною в точці z0, якщо вона не є аналітичною в z0
    • 8.6: Додаток - Конвергенція
    • 8.7: Серія Лоран
      Ряд Лорана комплексної функції f (z) є поданням цієї функції як степеневого ряду, який включає в себе умови негативного ступеня. Він може бути використаний для вираження складних функцій у випадках, коли розширення серії Тейлора не може бути застосовано.
    • 8.8: Відступ до диференціальних рівнянь
    • 8.9: Поляки
      Поляки відносяться до ізольованих сингулярностей.

    Мініатюра: Серія Лорана визначається відносно певної точки\(c\) та шляху інтеграції\(γ\). Шляхи інтеграції повинні лежати в кільцевому кільці, позначеному тут червоним кольором, всередині якого f (z) голоморфний (аналітичний). (Громадське надбання; Pko через Вікіпедію)