8.3: Серія Тейлора

Попередній розділ показав, що степеневий ряд сходиться до аналітичної функції всередині його диска збіжності. Теорема Тейлора завершує історію, даючи зворотне: навколо кожної точки аналітичності аналітична функція дорівнює збіжному енергетичному ряду.

Теорема\(\PageIndex{1}\): Taylor's Theorem

Припустимо,\(f(z)\) це аналітична функція в області\(A\). Нехай\(z_0 \in A\). Потім,

\[f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n,\]

де серія сходиться на будь-якому диску,\(|z - z_0| < r\) що міститься в\(A\). Крім того, у нас є формули для коефіцієнтів

\[a_n = \dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!} = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} \ dz.\]

(Де будь-яка\(\gamma\) проста замкнута крива\(A\) навколо\(z_0\), з її внутрішньою частиною повністю\(A\).)

Ми називаємо серію силовою серією, що представляє\(f\) навколо\(z_0\).

Доказ

Доказ буде наведено нижче. Спочатку ми розглянемо деякі наслідки теореми Тейлора.

Слідство

Ряд степенів, що представляє аналітичну функцію навколо точки,\(z_0\) є унікальним. Тобто коефіцієнти однозначно визначаються функцією\(f(z)\).

Доказ

Теорема Тейлора дає формулу для коефіцієнтів.

Порядок нульового

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Припустимо,\(f(z)\) є аналітичним на\(f\) диску\(|z - z_0| < r\) і не однаково 0. Тоді є ціле число\(k \ge 0\) таке, що\(a_k \ne 0\) і\(f\) має ряд Тейлора навколо\(z_0\) заданої

\[\begin{align} f(z) &= (z - z_0)^k (a_k + a_{k + 1} (z - z_0) + ...) \\[4pt] &= (z - z_0)^k \sum_{n = k}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n - k}. \label{8.4.3} \end{align}\]

Доказ

Оскільки\(f(z)\) не однаково 0, не всі коефіцієнти Тейлора дорівнюють нулю. Отже, ми\(k\) приймаємо за індекс першого ненульового коефіцієнта.

Теорема\(\PageIndex{3}\): Zeros are Isolated

Якщо\(f(z)\) аналітичний, а не однаково нуль, то нулі\(f\) ізолюються. (Під ізольованими ми маємо на увазі, що ми можемо намалювати невеликий диск навколо будь-яких нулів, які не містять інших нулів.)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ізольований нуль при\(z_0\):\(f(z_0) = 0\), в\(f(z) \ne 0\) іншому місці диска. (CC BY-NC; Відповідальний)

Доказ

Припустимо\(f(z_0) = 0\). Запишіть\(f\) як у рівнянні 8.4.3. Існує два фактори:

\[(z - z_0)^k \nonumber\]

і

\[g(z) = a_k + a_{k + 1} (z - z_0) + ... \nonumber\]

Ясно\((z - z_0)^k \ne 0\), якщо\(z \ne z_0\). У нас\(g(z)\) є\(g(z_0) = a_k \ne 0\), так що не 0 на деякі невеликі околиці\(z_0\). Робиться висновок, що на цьому сусідстві добуток дорівнює тільки нулю\(z = z_0\), коли, тобто\(z_0\) є ізольованим 0.

Визначення: Порядок нуля

Ціле число\(k\) в Рівнянні\ ref {8.4.3} називається порядком нуля\(f\) at\(z_0\).

Зверніть увагу, якщо\(f(z_0) \ne 0\) тоді\(z_0\) дорівнює нулю порядку 0.