8.5: Сингулярності

Визначення: Сингулярна функція

Функція$f(z)$ є одниною в точці,$z_0$ якщо вона не є аналітичною в$z_0$

Визначення: Ізольована сингулярність

Для функції$f(z)$ сингулярність$z_0$ є ізольованою сингулярністю, якщо$f$ вона аналітична на видаленому диску$0 < |z - z_0| < r$ для деяких$r > 0$.

Приклад$\PageIndex{1}$

$f(z) = \dfrac{}{}$має ізольовані особливості в$z = 0$,$\pm i$.

Приклад$\PageIndex{2}$

$f(z) = e^{1/z}$має ізольовану сингулярність при$z = 0$.

Приклад$\PageIndex{3}$

$f(z) = \log (z)$має сингулярність в$z = 0$, але вона не ізольована, оскільки розріз гілки, починаючи з$z = 0$, необхідний для того, щоб мати область, де$f$ є аналітичною.

Приклад$\PageIndex{4}$

$f(z) = \dfrac{1}{\sin (\pi /z)}$має сингулярності в$z = 0$ і$z = 1/n$ для$n = \pm, \pm 2, ...$ Сингулярності в$\pm 1 /n$ ізольовані, але одна в$z = 0$ не ізольована.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Кожна околиця 0 містить нулі$1/n$ при великому$n$. (CC BY-NC; Уміти Кая)