8.9: Поляки
- Page ID
- 62558
Поляки відносяться до ізольованих сингулярностей. Отже, ми припускаємо,\(f(z)\) що аналітичний\(0 < |z - z_0| < r\) і має ряд Лорана
\[f(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.\]
Якщо тільки скінченне число коефіцієнтів\(b_n\) ненульові, ми говоримо, що\(z_0\) це скінченний полюс\(f\). У цьому випадку, якщо\(b_k \ne 0\) і\(b_n = 0\) для всіх,\(n > k\) то ми говоримо\(z_0\) це полюс порядку\(k\).
- Якщо\(z_0\) є полюсом порядку 1 ми говоримо, що це простий полюс\(f\).
- Якщо\(b_n\) нескінченне число з ненульових ми говоримо, що\(z_0\) це істотна сингулярність або полюс нескінченного порядку\(f\).
- Якщо\(b_n\) все 0, то\(z_0\) називається знімною сингулярністю. Тобто, якщо ми визначаємо,\(f(z_0) = a_0\) то\(f\) є аналітичним на диску\(|z - z_0| < r\).
Термінологія може бути трохи заплутаною. Отже, уявіть, що я кажу вам,\(f\) що визначено та аналітично на проколотому диску\(0 < |z - z_0| < r\). Тоді, апріорі, ми припускаємо, що\(f\) має сингулярність на\(z_0\). Але, якщо після обчислення серії Лорана ми бачимо, що немає однини частини, ми можемо розширити визначення\(f\) до повного диска, тим самим «видаливши сингулярність».
Ми можемо пояснити термін істотна сингулярність наступним чином. Якщо\(f(z)\) має полюс порядку\(k\) в\(z_0\)\((z - z_0)^k f(z)\) то аналітичний (має знімну сингулярність) при\(z_0\). Отже,\(f(z)\) сама по собі працювати не набагато складніше, ніж з аналітичною функцією. З іншого боку, якщо\(z_0\) це суттєва сингулярність, то жоден алгебраїчний трюк не\(f(z)\) зміниться на аналітичну функцію при\(z_0\).
приклади поляків
Ми повернемося до багатьох прикладів з попередніх розділів.
раціональна функція
\[f(z) = \dfrac{1 + 2z^2}{z^3 + z^5} \nonumber\]
розширено до
\[f(z) = \left(\dfrac{1}{z^3} + \dfrac{1}{z}\right) - \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^{2n + 1}. \nonumber\]
Таким чином,\(z = 0\) є полюс порядку 3.
Розглянемо
\[f(z) = \dfrac{z + 1}{z} = 1 + \dfrac{1}{z}. \nonumber\]
Таким чином,\(z = 0\) є полюсом порядку 1, тобто простим полюсом.
Розглянемо
\[f(z) = \dfrac{z}{z^2 + 1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{z - i} + g(z), \nonumber\]
\(g(z)\)де аналітичний на\(z = i\). Отже,\(z = i\) являє собою простий жердину.
Функція
\[f(z) = \dfrac{1}{z(z - 1)} \nonumber\]
має ізольовані особливості при\(z = 0\) і\(z = 1\). Покажіть, що обидва є простими полюсами.
Рішення
По сусідству\(z = 0\) ми можемо написати
\[f(z) = \dfrac{g(z)}{z}, \text{ where } g(z) = \dfrac{1}{z - 1}. \nonumber\]
Так\(g(z)\) як аналітичний при 0,\(z = 0\) є кінцевим полюсом. Так як\(g(0) \ne 0\), полюс має порядок 1, тобто він простий. Так само, в сусідстві\(z = 1\),
\[f(z) = \dfrac{h(z)}{z - 1}, \text{ where } h(z) = \dfrac{1}{z}. \nonumber\]
Так як\(h\) є аналітичним при\(z = 1\),\(f\) має кінцевий полюс там. Так як\(h(1) \ne 0\) це просто.
Розглянемо
\[e^{1/z} = 1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{2! z^2} + \dfrac{1}{3! z^3} + \ ... \nonumber\]
Отже,\(z = 0\) є істотною особливістю.
\(\log (z)\)має сингулярність в\(z = 0\). Оскільки сингулярність не ізольована, її не можна класифікувати як полюс або істотну сингулярність.
Залишки
Готуючись до обговорення теореми про залишок в наступній темі, наведемо тут визначення і приклад.
Зауважте, залишки мають відношення до ізольованих сингуляритів.
Розглянемо функцію\(f(z)\) з ізольованою сингулярністю на\(z_0\), тобто визначену на рядах Лорана\(0 < |z - z_0| < r\) та з
\[f(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.\]
Залишок\(f\) жиру\(z_0\) є\(b_1\). Це позначається
\[\text{Res}(f, z_0) \ \ \ \ or \ \ \ \ \text{Res}_{z = z_0} f = b_1.\]
Яке значення має залишок? Якщо\(\gamma\) невелика, проста замкнута крива, яка йде проти годинникової стрілки,\(z_0\) то
\[\int_{\gamma} f(z) = 2\pi i b_1.\]
Це легко побачити, інтегруючи термін серії Лорана за терміном. Єдиний ненульовий інтеграл походить від цього терміна\(b_1/z\).
Функція
\[f(z) = e^{1/(2z)} = 1 + \dfrac{1}{2z} + \dfrac{1}{2(2z)^2} + \ ... \nonumber\]
має ізольовану сингулярність на 0. З серії Laurent ми бачимо, що
\[\text{Res}(f, 0) = \dfrac{1}{2}. \nonumber\]