8.9: Поляки

Поляки відносяться до ізольованих сингулярностей. Отже, ми припускаємо,$f(z)$ що аналітичний$0 < |z - z_0| < r$ і має ряд Лорана

$$f(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.$$

Визначення: полюси

Якщо тільки скінченне число коефіцієнтів$b_n$ ненульові, ми говоримо, що$z_0$ це скінченний полюс$f$. У цьому випадку, якщо$b_k \ne 0$ і$b_n = 0$ для всіх,$n > k$ то ми говоримо$z_0$ це полюс порядку$k$.

• Якщо$z_0$ є полюсом порядку 1 ми говоримо, що це простий полюс$f$.
• Якщо$b_n$ нескінченне число з ненульових ми говоримо, що$z_0$ це істотна сингулярність або полюс нескінченного порядку$f$.
• Якщо$b_n$ все 0, то$z_0$ називається знімною сингулярністю. Тобто, якщо ми визначаємо,$f(z_0) = a_0$ то$f$ є аналітичним на диску$|z - z_0| < r$.

Термінологія може бути трохи заплутаною. Отже, уявіть, що я кажу вам,$f$ що визначено та аналітично на проколотому диску$0 < |z - z_0| < r$. Тоді, апріорі, ми припускаємо, що$f$ має сингулярність на$z_0$. Але, якщо після обчислення серії Лорана ми бачимо, що немає однини частини, ми можемо розширити визначення$f$ до повного диска, тим самим «видаливши сингулярність».

Ми можемо пояснити термін істотна сингулярність наступним чином. Якщо$f(z)$ має полюс порядку$k$ в$z_0$$(z - z_0)^k f(z)$ то аналітичний (має знімну сингулярність) при$z_0$. Отже,$f(z)$ сама по собі працювати не набагато складніше, ніж з аналітичною функцією. З іншого боку, якщо$z_0$ це суттєва сингулярність, то жоден алгебраїчний трюк не$f(z)$ зміниться на аналітичну функцію при$z_0$.

приклади поляків

Ми повернемося до багатьох прикладів з попередніх розділів.

Приклад$\PageIndex{1}$

раціональна функція

$$f(z) = \dfrac{1 + 2z^2}{z^3 + z^5} \nonumber$$

розширено до

$$f(z) = \left(\dfrac{1}{z^3} + \dfrac{1}{z}\right) - \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^{2n + 1}. \nonumber$$

Таким чином,$z = 0$ є полюс порядку 3.

Приклад$\PageIndex{2}$

Розглянемо

$$f(z) = \dfrac{z + 1}{z} = 1 + \dfrac{1}{z}. \nonumber$$

Таким чином,$z = 0$ є полюсом порядку 1, тобто простим полюсом.

Приклад$\PageIndex{3}$

Розглянемо

$$f(z) = \dfrac{z}{z^2 + 1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{z - i} + g(z), \nonumber$$

$g(z)$де аналітичний на$z = i$. Отже,$z = i$ являє собою простий жердину.

Приклад$\PageIndex{4}$

Функція

$$f(z) = \dfrac{1}{z(z - 1)} \nonumber$$

має ізольовані особливості при$z = 0$ і$z = 1$. Покажіть, що обидва є простими полюсами.

Рішення

По сусідству$z = 0$ ми можемо написати

$$f(z) = \dfrac{g(z)}{z}, \text{ where } g(z) = \dfrac{1}{z - 1}. \nonumber$$

Так$g(z)$ як аналітичний при 0,$z = 0$ є кінцевим полюсом. Так як$g(0) \ne 0$, полюс має порядок 1, тобто він простий. Так само, в сусідстві$z = 1$,

$$f(z) = \dfrac{h(z)}{z - 1}, \text{ where } h(z) = \dfrac{1}{z}. \nonumber$$

Так як$h$ є аналітичним при$z = 1$,$f$ має кінцевий полюс там. Так як$h(1) \ne 0$ це просто.

Приклад$\PageIndex{5}$

Розглянемо

$$e^{1/z} = 1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{2! z^2} + \dfrac{1}{3! z^3} + \ ... \nonumber$$

Отже,$z = 0$ є істотною особливістю.

Приклад$\PageIndex{6}$

$\log (z)$має сингулярність в$z = 0$. Оскільки сингулярність не ізольована, її не можна класифікувати як полюс або істотну сингулярність.

Залишки

Готуючись до обговорення теореми про залишок в наступній темі, наведемо тут визначення і приклад.

Зауважте, залишки мають відношення до ізольованих сингуляритів.

Визначення: Залишок

Розглянемо функцію$f(z)$ з ізольованою сингулярністю на$z_0$, тобто визначену на рядах Лорана$0 < |z - z_0| < r$ та з

$$f(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.$$

Залишок$f$ жиру$z_0$ є$b_1$. Це позначається

$$\text{Res}(f, z_0) \ \ \ \ or \ \ \ \ \text{Res}_{z = z_0} f = b_1.$$

Яке значення має залишок? Якщо$\gamma$ невелика, проста замкнута крива, яка йде проти годинникової стрілки,$z_0$ то

$$\int_{\gamma} f(z) = 2\pi i b_1.$$

Малюнок$\PageIndex{1}$:$\gamma$ досить маленький, щоб перебувати всередині$|z - z_0| < r$, і оточувати$z_0$. (CC BY-NC; Відповідаючи)

Це легко побачити, інтегруючи термін серії Лорана за терміном. Єдиний ненульовий інтеграл походить від цього терміна$b_1/z$.

Приклад$\PageIndex{7}$

Функція

$$f(z) = e^{1/(2z)} = 1 + \dfrac{1}{2z} + \dfrac{1}{2(2z)^2} + \ ... \nonumber$$

має ізольовану сингулярність на 0. З серії Laurent ми бачимо, що

$$\text{Res}(f, 0) = \dfrac{1}{2}. \nonumber$$