7.6: Більше прикладів з гарними картинками
- Page ID
- 62786
Аналіз потоку зі складною потенційною функцією
\[\Phi (z) = i \log (z). \nonumber\]
Рішення
Множення на\(i\) перемикачі реальної і уявної частин\(\log (z)\) (зі зміною знака). У нас є
\[\Phi = -\theta + i \log (r). \nonumber\]
Лінії потоку - це криві\(\log (r)\) = константа, тобто кола з центром в\(z = 0\). Потік відбувається за годинниковою стрілкою, оскільки потенціал\(\phi = -\theta\) збільшується за годинниковою стрілкою (рис.\(\PageIndex{1}\)).
.svg)
Цей потік називається лінійним вихором. Ми можемо знайти\(F\) використання\(\Phi '\).
\[\Phi ' = \dfrac{i}{z} = \dfrac{y}{r^2} + i \dfrac{x}{r^2} = \phi_x - i\phi_y. \nonumber\]
Так
\[F = (\phi_x, \phi_y) = (y/r^2, -x/r^2). \nonumber\]
(На даний момент це має бути знайоме векторне поле.) Точок застою немає, але є особливість у зародження.
Аналіз потоку зі складною потенційною функцією
\[\Phi (z) = \log (z - 1) + \log (z + 1). \nonumber\]
Рішення
Це потік з лінійними джерелами на рівні\(\pm 1\) з кривими\(\psi = \text{Im} (\Phi)\) (рис.\(\PageIndex{2}\)).
.svg)
Ми можемо проаналізувати цей потік далі наступним чином.
- Біля кожного джерела потік виглядає як лінійне джерело.
- На\(y\) -осі потік знаходиться уздовж осі. Тобто\(y\) -вісь - це обтічність. Варто побачити три різні способи прийти до такого висновку.
Причина 1: За симетрії векторних полів, пов'язаних з кожним лінійним джерелом,\(x\) компоненти скасовуються, а об'єднане поле вказує вздовж\(y\) -осі.
Причина 2: Ми можемо писати
\[\Phi (z) = \log (z - 1) + \log (z + 1) = \log ((z - 1)(z + 1)) = \log (z^2 - 1). \nonumber\]
Так
\[\Phi '(z) = \dfrac{2z}{z^2 - 1}. \nonumber\]
На уявній осі
\[\Phi ' (iy) = \dfrac{2iy}{-y^2 - 1}. \nonumber\]
Таким чином,
\[F = (0, \dfrac{2y}{y^2 + 1}) \nonumber\]
яка знаходиться уздовж осі.
Причина 3: На уявній осі\(\Phi (iy) = \log (-y^2 - 1)\). Так як це має постійну уявну частину, вісь є обтічним.
Через вирізану гілку для\(\log (z)\) нас, мабуть, слід бути трохи обережнішими тут. Спочатку зауважте, що векторне поле\(F\) походить від\(\Phi ' = 2z/(z^2 - 1)\), яке не має розрізу гілки. Таким чином, ми не повинні мати проблеми. Тепер, коли\(z\) наближається до\(y\) -осі з тієї чи іншої сторони, аргумент\(\log (z^2 - 1)\) наближається або\(\pi\) або\(-\pi\). Тобто в якості таких меж уявна частина постійна. Таким чином, обтічність на\(y\) -осі є граничним випадком обтічних ліній біля осі.
З тих пір\(z = 0\),\(\Phi '(z) = 0\) коли, походження є точкою застою. Тут поля з двох джерел точно скасовують один одного.
Розглянемо потік зі складним потенціалом
\[\Phi (z) = z + \dfrac{Q}{2\pi} \log (z). \nonumber\]
Це поєднання рівномірного потоку вправо і джерела біля початку (рис.\(\PageIndex{2}\)). Він показує, що потік виглядає як джерело поблизу походження. Далі від початку потік перестає бути радіальним і висувається вправо рівномірним потоком.
.svg)
Оскільки компоненти\(\Phi '\) і\(F\) однакові за винятком знаків, ми можемо зрозуміти потік, розглядаючи
\[\Phi '(z) = 1 + \dfrac{Q}{2\pi z}.\]
\(z = 0\)Близько\(1/z\) сингулярності найважливіше і
\[\Phi ' \approx \dfrac{Q}{2\pi z}.\]
Отже, векторне поле виглядає лінійним джерелом. Далеко від походження\(1/z\) термін невеликий і\(\Phi ' (z) \approx 1\), тому поле виглядає як рівномірний потік.
Постановка\(\Phi '(z) = 0\) знаходимо одну точку застою
\[z = -\dfrac{Q}{2\pi}.\]
Це точка на\(x\) -осі, де потік від джерела точно врівноважує це від рівномірного потоку. Для більших значень джерела\(Q\) виштовхує рідину далі, перш ніж перевантажуватися рівномірним потоком. Саме тому і\(Q\) називається джерелом міцності.
Розглянемо потік зі складним потенціалом
\[\Phi (z) = \log (z - 2) - \log (z + 2). \nonumber\]
Це поєднання джерела\((\log (z - 2))\) в\(z = 2\) і раковини\((- \log (z + 2))\) на\(z = -2\) (рис.\(\PageIndex{3}\)).
.svg)