7.4: Властивості інтегралів

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Якщо$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ і$g: D \rightarrow \mathbb{R},$ тоді

$$\sup \{f(x)+g(x): x \in D\} \leq \sup \{f(x): x \in D\}+\sup \{g(x): x \in D\}$$

і

$$\inf \{f(x)+g(x): x \in D\} \geq \inf \{f(x): x \in D\}+\inf \{g(x): x \in D\}$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Доведіть попередню пропозицію.

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайдіть приклади, для яких нерівності в попередній пропозиції суворі.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Припустимо$g$,$f$ і обидва інтегруються на$[a, b] .$ Тоді$f+g$ інтегрується на$[a, b]$ і

$$\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g.$$

Доказ

$\epsilon>0,$Дано let$P_{1}$ і$P_{2}$ be розділи$[a, b]$ з

$$U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\frac{\epsilon}{2}$$

і

$$U\left(g, P_{2}\right)-L\left(g, P_{2}\right)<\frac{\epsilon}{2}.$$

Нехай$P=P_{1} \cup P_{2} .$ За попередньою пропозицією,

$$U(f+g, P) \leq U(f, P)+U(g, P)$$

і

$$L(f+g, P) \geq L(f, P)+L(g, P).$$

Звідси

$$\begin{aligned} U(f+g, P)-L(f+g, P) & \leq(U(f, P)+U(g, P))-(L(f, P)+L(g, P)) \\ &=(U(f, P)-L(f, P))+(U(g, P)-L(g, P)) \\ & \leq\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(g, P_{2}\right)-L(g, 2 P)\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon . \end{aligned}$$

Отже$f+g$, інтегрується на$[a, b]$.

Більш того,

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b}(f+g) & \leq U(f+g, P) \\ & \leq U(f, P)+U(g, P) \\ & \leq\left(\int_{a}^{b} f+\frac{\epsilon}{2}\right)+\left(\int_{a}^{b} g+\frac{\epsilon}{2}\right) \\ &=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g+\epsilon \end{aligned}$$

і

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b}(f+g) & \geq L(f+g, P) \\ & \geq L(f, P)+L(g, P) \\ & \geq\left(\int_{a}^{b} f-\frac{\epsilon}{2}\right)+\left(\int_{a}^{b} g-\frac{\epsilon}{2}\right) \\ &=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g-\epsilon . \end{aligned}$$

Оскільки$\epsilon>0$ було довільним, то випливає, що

$$\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g.$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо$g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$,$a<b$$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ і і обидва обмежені. Покажіть, що

$$\overline{\int_{a}^{b}}(f+g) \leq \overline{\int_{a}^{b}} f+\overline{\int_{a}^{b}} g.$$

Знайдіть приклад, для якого нерівність сувора.

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайдіть приклад, щоб показати, що$f+g$ може бути інтегрованим,$[a, b]$ навіть якщо$f$ ні ні$g$ інтегрується$[a, b]$.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Якщо$f$ інтегрується,$[a, b]$ а$\alpha \in \mathbb{R},$ потім$\alpha f$ інтегрується на$[a, b]$ і

$$\int_{a}^{b} \alpha f=\alpha \int_{a}^{b} f.$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Доведіть попередню пропозицію.

Теорема$\PageIndex{4}$

$a<b, f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$Припустимо, обмежений, і$c \in(a, b)$. Потім$f$ інтегрується,$[a, b]$ якщо і тільки якщо$f$ інтегрується на обох$[a, c]$ і$[c, b] .$

Доказ

Припустимо$f$, інтегрується на$[a, b] .$ заданий$\epsilon>0,$ нехай$Q$ бути розділом$[a, b]$ такого, що

$$U(f, Q)-L(f, Q)<\epsilon .$$

Нехай$P=Q \cup\{c\}, P_{1}=P \cap[a, c],$ і$P_{2}=P \cap[c, b] .$ тоді

$$\begin{aligned}\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)\right) &=\left(U\left(f, P_{1}\right)+U\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &-\left(L\left(f, P_{1}\right)+L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &=U(f, P)-L(f, P) \\ & \leq U(f, Q)-L(f, Q) \\ &<\epsilon . \end{aligned}$$

Таким чином, ми повинні мати обидва

$$U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\epsilon$$

і

$$U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)<\epsilon.$$

Отже$f$, інтегрується на обох$[a, c]$ і$[c, b]$.

Тепер припустимо,$f$ інтегрується на обох$[a, c]$ і$[c, b] .$ дано$\epsilon>0,$ нехай$P_{1}$ і$P_{2}$ бути розділами$[a, c]$ і$[c, b],$ відповідно, такі, що

$$U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\frac{\epsilon}{2}$$

і

$$U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)<\frac{\epsilon}{2}.$$

Нехай$P=P_{1} \cup P_{2}$. Потім$P$ робиться перегородка$[a, b]$ і

$$\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\left(U\left(f, P_{1}\right)+U\left(f, P_{2}\right)\right)-\left(L\left(f, P_{1}\right)+L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &=\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} \\ &=\epsilon . \end{aligned}$$

Таким$f$ чином, інтегрується на$[a, b]$. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{5}$

$f$Припустимо, інтегрується на$[a, b]$ і$c \in(a, b) .$ тоді

$$\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f.$$

Доказ

Якщо$P$ і$Q$ є розділами$[a, c]$ і$[c, b],$ відповідно, то

$$U(f, P)+U(f, Q)=U(f, P \cup Q) \geq \int_{a}^{b} f.$$

Таким чином

$$U(f, P) \geq \int_{a}^{b} f-U(f, Q),$$

тому

$$\int_{a}^{c} f= \overline{\int_{a}^{c}} f \geq \int_{a}^{b} f-U(f, Q) .$$

Звідси

$$U(f, Q) \geq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f,$$

тому

$$\int_{c}^{b} f= \overline{\int_{c}^{b}} f \geq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f.$$

Таким чином

$$\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f \geq \int_{a}^{b} f.$$

Аналогічно, якщо$P$ і$Q$ є перегородками$[a, c]$ і$[c, b],$ відповідно, то

$$L(f, P)+L(f, Q)=L(f, P \cup Q) \leq \int_{a}^{b} f.$$

Таким чином

$$L(f, P) \leq \int_{a}^{b} f-L(f, Q),$$

тому

$$\int_{a}^{c} f= \underline{\int_{a}^{c}} f \leq \int_{a}^{b} f-L(f, Q).$$

Звідси

$$L(f, Q) \leq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f,$$

тому

$$\int_{c}^{b} f= \underline{\int_{c}^{b}} f \leq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f.$$

Таким чином

$$\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f \leq \int_{a}^{b} f.$$

Звідси

$$\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f=\int_{a}^{b} f.$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо,$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ обмежена і$B$ є кінцевою підмножиною$(a, b) .$ Показати, що якщо$f$ є безперервним,$[a, b] \backslash B,$ то$f$ інтегрується на$[a, b]$.

Пропозиція$\PageIndex{6}$

Якщо$f$ інтегрується на$[a, b]$ з$f(x) \geq 0$ для всіх$x \in[a, b]$, то

$$\int_{a}^{b} f \geq 0.$$

Доказ

Результат випливає з того, що$L(f, P) \geq 0$ для будь-якої$P$ перегородки$[a, b]$. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{7}$

Припустимо$g$,$f$ і обидва інтегруються на$[a, b] .$ If, для всіх$x \in[a, b], f(x) \leq g(x),$ тоді

$$\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g.$$

Доказ

Оскільки$g(x)-f(x) \geq 0$ для всіх у$x \in[a, b],$ нас є, використовуючи Пропозиції 7.4.2, 7.4.3 та 7.4.6,

$$\int_{a}^{b} g-\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{b}(g-f) \geq 0.$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{8}$

Припустимо$f$, інтегрується на$[a, b], m \in \mathbb{R}, M \in \mathbb{R},$ і$m \leq f(x) \leq M$ для всіх$x \in[a, b] .$ Тоді

$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M(b-a).$$

Доказ

З попередньої пропозиції випливає, що

$$m(b-a)=\int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x=M(b-a).$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{7}$

Покажіть, що

$$1 \leq \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \leq 2.$$

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо$f$, є безперервним на$[0,1],$$(0,1)$ диференційованих,$f(0)=0,$ і$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1$ для всіх$x \in(0,1) .$ Показати, що

$$-\frac{1}{2} \leq \int_{0}^{1} f \leq \frac{1}{2}.$$

Вправа$\PageIndex{9}$

$f$Припустимо, інтегрується на$[a, b]$ і$F:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ визначається

$$F(x)=\int_{a}^{x} f.$$

Показати, що існує$\alpha \in \mathbb{R}$ таке, що для будь-якого$x, y \in(a, b)$ з$x<y$,

$$|F(y)-F(x)| \leq \alpha(y-x).$$

Пропозиція$\PageIndex{9}$

Припустимо$g$, інтегрується на$[a, b], g([a, b]) \subset[c, d],$ і$f:[c, d] \rightarrow \mathbb{R}$ є безперервним. Якщо$h=f \circ g,$ потім$h$ інтегрується на$[a, b]$.

Доказ

Нехай$\epsilon>0$ дадуть. Нехай

$$K>\sup \{f(x): x \in[c, d]\}-\inf \{f(x): x \in[c, d]\}$$

і вибирайте$\delta>0$ так, щоб$\delta<\epsilon$ і

$$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}$$

всякий раз, коли$|x-y|<\delta .$$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ Дозволяти бути розділом$[a, b]$ такого, що

$$U(g, P)-L(g, P)<\frac{\delta^{2}}{2 K}.$$

Для$i=1,2, \dots, n,$ нехай

$$m_{i}=\inf \left\{g(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},$$

$$M_{i}=\sup \left\{g(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},$$

$$w_{i}=\inf \left\{h(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},$$

і

$$W_{i}=\sup \left\{h(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.$$

Нарешті, нехай

$$I=\left\{i: i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n, M_{i}-m_{i}<\delta\right\}$$

і

$$J=\left\{i: i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n, M_{i}-m_{i} \geq \delta\right\}.$$

Зверніть увагу, що

$$\begin{aligned} \delta \sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) & \leq \sum_{i \in J}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ & \leq \sum_{i=1}^{n}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\delta^{2}}{2 K}, \end{aligned}$$

з чого випливає, що

$$\sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)<\frac{\delta}{2 K}.$$

Тоді

$$\begin{aligned} U(h, P)-L(h, P) &=\sum_{i \in I}\left(W_{i}-w_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+\sum_{i \in J}\left(W_{i}-w_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2(b-a)} \sum_{i \in I}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+K \sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\delta}{2} \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} \\ &=\epsilon . \end{aligned}$$

Таким$h$ чином, інтегрується на$[a, b]$. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{10}$

Припустимо$g$,$f$ і обидва інтегруються на$[a, b] .$ Тоді$f g$ інтегрується на$[a, b]$.

Доказ

Оскільки$f$ і обидва$g$ інтегруються, обидва$f+g$ і$f-g$ інтегруються. Отже, за попередньою пропозицією обидва$(f+g)^{2}$ і$(f-g)^{2}$ інтегруються. Таким чином

$$\left.\frac{1}{4}\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)\right)=f g$$

інтегрується на$[a, b]$. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{11}$

Припустимо$f$,$|f|$ інтегрується на$[a, b] .$ Тоді інтегрується на$[a, b]$ і

$$\left|\int_{a}^{b} f\right| \leq \int_{a}^{b}|f|.$$

Доказ

Інтегрівність$|f|$ випливає з$f,$ інтегровності безперервності$g(x)=|x|,$ та пропозиції$7.4 .9 .$ Для нерівності зверніть увагу, що

$$-|f(x)| \leq f(x) \leq|f(x)|$$

для всіх$x \in[a, b] .$ Звідси

$$-\int_{a}^{b}|f| \leq \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b}|f|,$$

з чого випливає результат. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{10}$

Або довести наступне твердження або показати, що це помилково, знайшовши контрприклад: Якщо$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ обмежений і$f^{2}$ інтегрується на,$[0,1],$ то$f$ інтегрується на$[0,1] .$

7.4.1 Розширені визначення

Визначення

Якщо$f$ інтегрується далі,$[a, b],$ то ми визначаємо

$$\int_{b}^{a} f=-\int_{a}^{b} f.$$

Більше того, якщо$f$ це функція, визначена в точці, яку$a \in \mathbb{R},$ ми визначаємо

$$\int_{a}^{a} f=0.$$

Визначення

Припустимо$f$, інтегрується на замкнутому інтервалі, що містить

точок$a, b,$ і$c .$ показати, що

$$\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f.$$