Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.4: Властивості інтегралів

  • Page ID
    62401
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

    Якщо\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) і\(g: D \rightarrow \mathbb{R},\) тоді

    \[\sup \{f(x)+g(x): x \in D\} \leq \sup \{f(x): x \in D\}+\sup \{g(x): x \in D\}\]

    і

    \[\inf \{f(x)+g(x): x \in D\} \geq \inf \{f(x): x \in D\}+\inf \{g(x): x \in D\}\]

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Доведіть попередню пропозицію.

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть приклади, для яких нерівності в попередній пропозиції суворі.

    Пропозиція\(\PageIndex{2}\)

    Припустимо\(g\),\(f\) і обидва інтегруються на\([a, b] .\) Тоді\(f+g\) інтегрується на\([a, b]\) і

    \[\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g.\]

    Доказ

    \(\epsilon>0,\)Дано let\(P_{1}\) і\(P_{2}\) be розділи\([a, b]\) з

    \[U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\frac{\epsilon}{2}\]

    і

    \[U\left(g, P_{2}\right)-L\left(g, P_{2}\right)<\frac{\epsilon}{2}.\]

    Нехай\(P=P_{1} \cup P_{2} .\) За попередньою пропозицією,

    \[U(f+g, P) \leq U(f, P)+U(g, P)\]

    і

    \[L(f+g, P) \geq L(f, P)+L(g, P).\]

    Звідси

    \[\begin{aligned} U(f+g, P)-L(f+g, P) & \leq(U(f, P)+U(g, P))-(L(f, P)+L(g, P)) \\ &=(U(f, P)-L(f, P))+(U(g, P)-L(g, P)) \\ & \leq\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(g, P_{2}\right)-L(g, 2 P)\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon . \end{aligned}\]

    Отже\(f+g\), інтегрується на\([a, b]\).

    Більш того,

    \[\begin{aligned} \int_{a}^{b}(f+g) & \leq U(f+g, P) \\ & \leq U(f, P)+U(g, P) \\ & \leq\left(\int_{a}^{b} f+\frac{\epsilon}{2}\right)+\left(\int_{a}^{b} g+\frac{\epsilon}{2}\right) \\ &=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g+\epsilon \end{aligned}\]

    і

    \[\begin{aligned} \int_{a}^{b}(f+g) & \geq L(f+g, P) \\ & \geq L(f, P)+L(g, P) \\ & \geq\left(\int_{a}^{b} f-\frac{\epsilon}{2}\right)+\left(\int_{a}^{b} g-\frac{\epsilon}{2}\right) \\ &=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g-\epsilon . \end{aligned}\]

    Оскільки\(\epsilon>0\) було довільним, то випливає, що

    \[\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g.\]

    Q.E.D.

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Припустимо\(g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\),\(a<b\)\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) і і обидва обмежені. Покажіть, що

    \[\overline{\int_{a}^{b}}(f+g) \leq \overline{\int_{a}^{b}} f+\overline{\int_{a}^{b}} g.\]

    Знайдіть приклад, для якого нерівність сувора.

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть приклад, щоб показати, що\(f+g\) може бути інтегрованим,\([a, b]\) навіть якщо\(f\) ні ні\(g\) інтегрується\([a, b]\).

    Пропозиція\(\PageIndex{3}\)

    Якщо\(f\) інтегрується,\([a, b]\) а\(\alpha \in \mathbb{R},\) потім\(\alpha f\) інтегрується на\([a, b]\) і

    \[\int_{a}^{b} \alpha f=\alpha \int_{a}^{b} f.\]

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Доведіть попередню пропозицію.

    Теорема\(\PageIndex{4}\)

    \(a<b, f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\)Припустимо, обмежений, і\(c \in(a, b)\). Потім\(f\) інтегрується,\([a, b]\) якщо і тільки якщо\(f\) інтегрується на обох\([a, c]\) і\([c, b] .\)

    Доказ

    Припустимо\(f\), інтегрується на\([a, b] .\) заданий\(\epsilon>0,\) нехай\(Q\) бути розділом\([a, b]\) такого, що

    \[U(f, Q)-L(f, Q)<\epsilon .\]

    Нехай\(P=Q \cup\{c\}, P_{1}=P \cap[a, c],\) і\(P_{2}=P \cap[c, b] .\) тоді

    \[\begin{aligned}\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)\right) &=\left(U\left(f, P_{1}\right)+U\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &-\left(L\left(f, P_{1}\right)+L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &=U(f, P)-L(f, P) \\ & \leq U(f, Q)-L(f, Q) \\ &<\epsilon . \end{aligned}\]

    Таким чином, ми повинні мати обидва

    \[U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\epsilon\]

    і

    \[U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)<\epsilon.\]

    Отже\(f\), інтегрується на обох\([a, c]\) і\([c, b]\).

    Тепер припустимо,\(f\) інтегрується на обох\([a, c]\) і\([c, b] .\) дано\(\epsilon>0,\) нехай\(P_{1}\) і\(P_{2}\) бути розділами\([a, c]\) і\([c, b],\) відповідно, такі, що

    \[U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\frac{\epsilon}{2}\]

    і

    \[U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)<\frac{\epsilon}{2}.\]

    Нехай\(P=P_{1} \cup P_{2}\). Потім\(P\) робиться перегородка\([a, b]\) і

    \[\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\left(U\left(f, P_{1}\right)+U\left(f, P_{2}\right)\right)-\left(L\left(f, P_{1}\right)+L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &=\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]

    Таким\(f\) чином, інтегрується на\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.

    Пропозиція\(\PageIndex{5}\)

    \(f\)Припустимо, інтегрується на\([a, b]\) і\(c \in(a, b) .\) тоді

    \[\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f.\]

    Доказ

    Якщо\(P\) і\(Q\) є розділами\([a, c]\) і\([c, b],\) відповідно, то

    \[U(f, P)+U(f, Q)=U(f, P \cup Q) \geq \int_{a}^{b} f.\]

    Таким чином

    \[U(f, P) \geq \int_{a}^{b} f-U(f, Q),\]

    тому

    \[\int_{a}^{c} f= \overline{\int_{a}^{c}} f \geq \int_{a}^{b} f-U(f, Q) .\]

    Звідси

    \[U(f, Q) \geq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f,\]

    тому

    \[\int_{c}^{b} f= \overline{\int_{c}^{b}} f \geq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f.\]

    Таким чином

    \[\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f \geq \int_{a}^{b} f.\]

    Аналогічно, якщо\(P\) і\(Q\) є перегородками\([a, c]\) і\([c, b],\) відповідно, то

    \[L(f, P)+L(f, Q)=L(f, P \cup Q) \leq \int_{a}^{b} f.\]

    Таким чином

    \[L(f, P) \leq \int_{a}^{b} f-L(f, Q),\]

    тому

    \[\int_{a}^{c} f= \underline{\int_{a}^{c}} f \leq \int_{a}^{b} f-L(f, Q).\]

    Звідси

    \[L(f, Q) \leq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f,\]

    тому

    \[\int_{c}^{b} f= \underline{\int_{c}^{b}} f \leq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f.\]

    Таким чином

    \[\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f \leq \int_{a}^{b} f.\]

    Звідси

    \[\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f=\int_{a}^{b} f.\]

    Q.E.D.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Припустимо,\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) обмежена і\(B\) є кінцевою підмножиною\((a, b) .\) Показати, що якщо\(f\) є безперервним,\([a, b] \backslash B,\) то\(f\) інтегрується на\([a, b]\).

    Пропозиція\(\PageIndex{6}\)

    Якщо\(f\) інтегрується на\([a, b]\) з\(f(x) \geq 0\) для всіх\(x \in[a, b]\), то

    \[\int_{a}^{b} f \geq 0.\]

    Доказ

    Результат випливає з того, що\(L(f, P) \geq 0\) для будь-якої\(P\) перегородки\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.

    Пропозиція\(\PageIndex{7}\)

    Припустимо\(g\),\(f\) і обидва інтегруються на\([a, b] .\) If, для всіх\(x \in[a, b], f(x) \leq g(x),\) тоді

    \[\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g.\]

    Доказ

    Оскільки\(g(x)-f(x) \geq 0\) для всіх у\(x \in[a, b],\) нас є, використовуючи Пропозиції 7.4.2, 7.4.3 та 7.4.6,

    \[\int_{a}^{b} g-\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{b}(g-f) \geq 0.\]

    Q.E.D.

    Пропозиція\(\PageIndex{8}\)

    Припустимо\(f\), інтегрується на\([a, b], m \in \mathbb{R}, M \in \mathbb{R},\) і\(m \leq f(x) \leq M\) для всіх\(x \in[a, b] .\) Тоді

    \[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M(b-a).\]

    Доказ

    З попередньої пропозиції випливає, що

    \[m(b-a)=\int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x=M(b-a).\]

    Q.E.D.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Покажіть, що

    \[1 \leq \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \leq 2.\]

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Припустимо\(f\), є безперервним на\([0,1],\)\((0,1)\) диференційованих,\(f(0)=0,\) і\(\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1\) для всіх\(x \in(0,1) .\) Показати, що

    \[-\frac{1}{2} \leq \int_{0}^{1} f \leq \frac{1}{2}.\]

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    \(f\)Припустимо, інтегрується на\([a, b]\) і\(F:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) визначається

    \[F(x)=\int_{a}^{x} f.\]

    Показати, що існує\(\alpha \in \mathbb{R}\) таке, що для будь-якого\(x, y \in(a, b)\) з\(x<y\),

    \[|F(y)-F(x)| \leq \alpha(y-x).\]

    Пропозиція\(\PageIndex{9}\)

    Припустимо\(g\), інтегрується на\([a, b], g([a, b]) \subset[c, d],\) і\(f:[c, d] \rightarrow \mathbb{R}\) є безперервним. Якщо\(h=f \circ g,\) потім\(h\) інтегрується на\([a, b]\).

    Доказ

    Нехай\(\epsilon>0\) дадуть. Нехай

    \[K>\sup \{f(x): x \in[c, d]\}-\inf \{f(x): x \in[c, d]\}\]

    і вибирайте\(\delta>0\) так, щоб\(\delta<\epsilon\) і

    \[|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}\]

    всякий раз, коли\(|x-y|<\delta .\)\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) Дозволяти бути розділом\([a, b]\) такого, що

    \[U(g, P)-L(g, P)<\frac{\delta^{2}}{2 K}.\]

    Для\(i=1,2, \dots, n,\) нехай

    \[m_{i}=\inf \left\{g(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},\]

    \[M_{i}=\sup \left\{g(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},\]

    \[w_{i}=\inf \left\{h(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},\]

    і

    \[W_{i}=\sup \left\{h(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.\]

    Нарешті, нехай

    \[I=\left\{i: i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n, M_{i}-m_{i}<\delta\right\}\]

    і

    \[J=\left\{i: i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n, M_{i}-m_{i} \geq \delta\right\}.\]

    Зверніть увагу, що

    \[\begin{aligned} \delta \sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) & \leq \sum_{i \in J}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ & \leq \sum_{i=1}^{n}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\delta^{2}}{2 K}, \end{aligned}\]

    з чого випливає, що

    \[\sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)<\frac{\delta}{2 K}.\]

    Тоді

    \[\begin{aligned} U(h, P)-L(h, P) &=\sum_{i \in I}\left(W_{i}-w_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+\sum_{i \in J}\left(W_{i}-w_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2(b-a)} \sum_{i \in I}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+K \sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\delta}{2} \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]

    Таким\(h\) чином, інтегрується на\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.

    Пропозиція\(\PageIndex{10}\)

    Припустимо\(g\),\(f\) і обидва інтегруються на\([a, b] .\) Тоді\(f g\) інтегрується на\([a, b]\).

    Доказ

    Оскільки\(f\) і обидва\(g\) інтегруються, обидва\(f+g\) і\(f-g\) інтегруються. Отже, за попередньою пропозицією обидва\((f+g)^{2}\) і\((f-g)^{2}\) інтегруються. Таким чином

    \[\left.\frac{1}{4}\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)\right)=f g\]

    інтегрується на\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.

    Пропозиція\(\PageIndex{11}\)

    Припустимо\(f\),\(|f|\) інтегрується на\([a, b] .\) Тоді інтегрується на\([a, b]\) і

    \[\left|\int_{a}^{b} f\right| \leq \int_{a}^{b}|f|.\]

    Доказ

    Інтегрівність\(|f|\) випливає з\(f,\) інтегровності безперервності\(g(x)=|x|,\) та пропозиції\(7.4 .9 .\) Для нерівності зверніть увагу, що

    \[-|f(x)| \leq f(x) \leq|f(x)|\]

    для всіх\(x \in[a, b] .\) Звідси

    \[-\int_{a}^{b}|f| \leq \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b}|f|, \]

    з чого випливає результат. \(\quad\)Q.E.D.

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Або довести наступне твердження або показати, що це помилково, знайшовши контрприклад: Якщо\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) обмежений і\(f^{2}\) інтегрується на,\([0,1],\) то\(f\) інтегрується на\([0,1] .\)

    7.4.1 Розширені визначення

    Визначення

    Якщо\(f\) інтегрується далі,\([a, b],\) то ми визначаємо

    \[\int_{b}^{a} f=-\int_{a}^{b} f.\]

    Більше того, якщо\(f\) це функція, визначена в точці, яку\(a \in \mathbb{R},\) ми визначаємо

    \[\int_{a}^{a} f=0.\]

    Визначення

    Припустимо\(f\), інтегрується на замкнутому інтервалі, що містить

    точок\(a, b,\) і\(c .\) показати, що

    \[\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f.\]