7.2: Інтеграли
- Page ID
- 62402
Припустимо\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\),\(a<b\) і обмежена. Ми говоримо, що\(f\) є
\[\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.\]
Якщо\(f\) інтегрується, то загальне значення верхнього і нижнього інтегралів називаємо\([a, b],\) інтегралом\(f\) понад позначеного
\[\int_{a}^{b} f.\]
Тобто, якщо\(f\) інтегрується на\([a, b]\),
\[\int_{a}^{b} f=\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.\]
Визначте\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.\]
Для будь-якого розділу у\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\},\) нас є
\[L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} 0\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=0\]
і
\[U(f, P)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=x_{n}-x_{0}=1.\]
Таким чином
\[\underline{\int_{0}^{1}} f=0\]
і
\[\overline{\int_{0}^{1}} f=1.\]
Отже\(f\), не інтегрується на\([0,1]\).
Визначте\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{q},} & {\text { if } x \text { is rational and } x=\frac{p}{q},} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational, }}\end{array}\right.\]
де\(p\) і\(q\) приймаються щодо простих цілих чисел з\(q>0,\) і ми приймаємо,\(q=1\) коли\(x=0 .\) Показати, що\(f\) інтегрується на\([0,1]\) і
\[\int_{0}^{1} f=0.\]
\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\)Дозволяти визначатися\(f(x)=x\) і, для\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) нехай\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) бути розділом\([0,1]\) з
\[x_{i}=\frac{i}{n}, i=0,1, \ldots, n.\]
Покажіть, що
\[U(f, P)-L(f, P)=\frac{1}{n},\]
і, отже, зробити висновок, що\(f\) інтегрується на\([0,1] .\) Показати, що
\[\int_{0}^{1} f=\frac{1}{2}.\]
Визначте\(f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.\]
Показати,\(f\) що не інтегрується на\([1,2]\).
Припустимо,\(f\) інтегрується на\([a, b],\) і, для деякого реального числа\(m\) і\(M, m \leq f(x) \leq M\) для всіх\(x \in[a, b] .\) Показати, що
\[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M(b-a).\]
7.2.1 Позначення та термінологія
Визначення інтеграла, описаного в цьому розділі, обумовлено Дарбу. Можна показати, що це еквівалентно інтегралу, визначеному Ріманом. Звідси функції, які інтегруються в сенсі цього обговорення, називаються інтегровними функціями Рімана, і ми називаємо інтеграл інтегралом Рімана. Це на відміну від інтеграла Лебега, частина більш загальної теорії інтеграції.
Ми іноді називаємо цей інтеграл певним інтегралом, на відміну від невизначеного інтеграла, останній є назвою, даною антидеривативу (функція, похідна якої дорівнює заданій функції).
Якщо\(f\) інтегрується,\([a, b],\) то ми також позначимо
\[\int_{a}^{b} f\]
від
\[\int_{a}^{b} f(x) d x.\]
Змінна\(x\) в останньому є «фіктивною» змінною; ми можемо так само добре писати
\[\int_{a}^{b} f(t) d t\]
або
\[\int_{a}^{b} f(s) d s.\]
Наприклад, якщо\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) визначається\(f(x)=x^{2},\) тоді
\[\int_{0}^{1} f=\int_{0}^{1} x^{2} d x=\int_{0}^{1} t^{2} d t.\]