7.2: Інтеграли

Визначення

Припустимо$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$,$a<b$ і обмежена. Ми говоримо, що$f$ є

$$\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.$$

Якщо$f$ інтегрується, то загальне значення верхнього і нижнього інтегралів називаємо$[a, b],$ інтегралом$f$ понад позначеного

$$\int_{a}^{b} f.$$

Тобто, якщо$f$ інтегрується на$[a, b]$,

$$\int_{a}^{b} f=\underline{\int_{a}^{b}} f=\overline{\int_{a}^{b}} f.$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.$$

Для будь-якого розділу у$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\},$ нас є

$$L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} 0\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=0$$

і

$$U(f, P)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=x_{n}-x_{0}=1.$$

Таким чином

$$\underline{\int_{0}^{1}} f=0$$

і

$$\overline{\int_{0}^{1}} f=1.$$

Отже$f$, не інтегрується на$[0,1]$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{q},} & {\text { if } x \text { is rational and } x=\frac{p}{q},} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational, }}\end{array}\right.$$

де$p$ і$q$ приймаються щодо простих цілих чисел з$q>0,$ і ми приймаємо,$q=1$ коли$x=0 .$ Показати, що$f$ інтегрується на$[0,1]$ і

$$\int_{0}^{1} f=0.$$

Вправа$\PageIndex{3}$

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$Дозволяти визначатися$f(x)=x$ і, для$n \in \mathbb{Z}^{+},$ нехай$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ бути розділом$[0,1]$ з

$$x_{i}=\frac{i}{n}, i=0,1, \ldots, n.$$

Покажіть, що

$$U(f, P)-L(f, P)=\frac{1}{n},$$

і, отже, зробити висновок, що$f$ інтегрується на$[0,1] .$ Показати, що

$$\int_{0}^{1} f=\frac{1}{2}.$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте$f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } x \in \mathbb{Q},} \\ {0,} & {\text { if } x \notin \mathbb{Q}.}\end{array}\right.$$

Показати,$f$ що не інтегрується на$[1,2]$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Припустимо,$f$ інтегрується на$[a, b],$ і, для деякого реального числа$m$ і$M, m \leq f(x) \leq M$ для всіх$x \in[a, b] .$ Показати, що

$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M(b-a).$$

7.2.1 Позначення та термінологія

Визначення інтеграла, описаного в цьому розділі, обумовлено Дарбу. Можна показати, що це еквівалентно інтегралу, визначеному Ріманом. Звідси функції, які інтегруються в сенсі цього обговорення, називаються інтегровними функціями Рімана, і ми називаємо інтеграл інтегралом Рімана. Це на відміну від інтеграла Лебега, частина більш загальної теорії інтеграції.

Ми іноді називаємо цей інтеграл певним інтегралом, на відміну від невизначеного інтеграла, останній є назвою, даною антидеривативу (функція, похідна якої дорівнює заданій функції).

Якщо$f$ інтегрується,$[a, b],$ то ми також позначимо

$$\int_{a}^{b} f$$

від

$$\int_{a}^{b} f(x) d x.$$

Змінна$x$ в останньому є «фіктивною» змінною; ми можемо так само добре писати

$$\int_{a}^{b} f(t) d t$$

або

$$\int_{a}^{b} f(s) d s.$$

Наприклад, якщо$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ визначається$f(x)=x^{2},$ тоді

$$\int_{0}^{1} f=\int_{0}^{1} x^{2} d x=\int_{0}^{1} t^{2} d t.$$