7.5: Фундаментальна теорема обчислення
- Page ID
- 62397
(Фундаментальна теорема обчислення)
Припустимо\(f\), інтегрується на\([a, b] .\) Якщо\(F\) є безперервним\([a, b]\) і диференційованим на\((a, b)\) з\(F^{\prime}(x)=f(x)\) для всіх\(x \in(a, b),\) тоді
\[\int_{a}^{b} f=F(b)-F(a).\]
- Доказ
-
\(\epsilon>0,\)Дано нехай\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) буде розділом,\([a, b]\) для якого
\[U(f, P)-L(f, P)<\epsilon .\]
Для\(i=1,2, \ldots, n,\) нехай\(t_{i} \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right)\) будуть бали, за які
\[F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right).\]
Тоді
\[\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)=F(b)-F(a).\]
Але
\[L(f, P) \leq \sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \leq U(f, P),\]
тому
\[\left|F(b)-F(a)-\int_{a}^{b} f\right|<\epsilon .\]
Оскільки\(\epsilon\) було довільним, ми робимо висновок, що
\[\int_{a}^{b} f=F(b)-F(a).\]
Q.E.D.
(Інтеграція по частинам)
Припустимо\(g\),\(f\) і інтегруються
на\([a, b] .\) Якщо\(F\) і\(G\) є безперервними\([a, b]\) і диференційованими на\((a, b)\) з\(F^{\prime}(x)=f(x)\) і\(G^{\prime}(x)=g(x)\) для всіх\(x \in(a, b),\) тоді
\[\int_{a}^{b} F(x) g(x) d x=F(b) G(b)-F(a) G(a)-\int_{a}^{b} f(x) G(x) d x.\]
- Доказ
-
За фундаментальною теоремою обчислення,
\[\int_{a}^{b}(F(x) g(x)+f(x) G(x)) d x=F(b) G(b)-F(a) G(a).\]
Q.E.D.
7.5.1 Інша фундаментальна теорема числення
\(f\)Припустимо,\(F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) інтегрується на\([a, b]\) і визначається
\[F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t.\]
Потім\(F\) рівномірно безперервно на\([a, b] .\)
- Доказ
-
Нехай\(\epsilon>0\) буде дано і нехай\(M>0\) буде таким, що\(|f(x)| \leq M\) для всіх\(x \in[a, b] .\) Тоді для будь-якого\(x, y \in[a, b]\) з\(x<y\) і\(y-x<\frac{e}{M}\),
\[|F(y)-F(x)|=\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq M(y-x)<\epsilon .\]
Отже\(F\), є рівномірно безперервним на\([a, b] . \quad\) Q.E.D.
Наступна теорема часто вважається частиною фундаментальної теореми числення.
Припустимо\(f\), інтегрується на\([a, b]\) і безперервно\(u \in(a, b) .\) при\(F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) If визначається
\[F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t,\]
\(F\)то диференціюється при\(u\) і\(F^{\prime}(u)=f(u)\).
- Доказ
-
Нехай\(\epsilon>0\) дадуть і вибирають\(\delta>0\) такі, що\(|f(x)-f(u)|<\epsilon\) всякий раз, коли\(|x-u|<\delta .\) тоді, якщо\(0<h<\delta,\) ми маємо
\[\begin{aligned}\left|\frac{F(u+h)-F(u)}{h}-f(u)\right| &=\left|\frac{1}{h} \int_{u}^{u+h} f(t) d t-f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u}^{u+h}(f(t)-f(u)) d t\right| \\ &<\epsilon . \end{aligned}\]
Якщо\(-\delta<h<0,\) тоді
\[\begin{aligned}\left|\frac{F(u+h)-F(u)}{h}-f(u)\right| &=\left|-\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t-f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t+f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t-\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(u) d t\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u}(f(t)-f(u)) d t\right| \\ &<\epsilon . \end{aligned}\]
Звідси
\[F^{\prime}(u)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(u+h)-F(u)}{h}=f(u) .\]
Q.E.D.
Якщо\(a<b\) і\(f\) є безперервним,\([a, b],\) то існує функція,\(F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) яка є\([a, b]\) безперервною на з\(F^{\prime}(x)=f(x)\) для всіх.\(x \in(a, b) .\)
- Доказ
-
Нехай
\[F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t .\]
Q.E.D.
Якщо
\[g(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{1+t^{4}} d t,\]
потім\(g^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^{4}}\).
(Інтеграція шляхом заміщення)
Припустимо,\(I\) це відкритий інтервал,\(\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}, a<b,[a, b] \subset I,\) і\(\varphi^{\prime}\) є безперервним на\([a, b] .\) Якщо\(f: \varphi([a, b]) \rightarrow \mathbb{R}\) є безперервним, то
\[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u=\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x.\]
- Доказ
-
Якщо\(m\) і\(M\) є мінімальним і максимальним значеннями, відповідно,\(\varphi\) на\([a, b],\) потім\(\varphi([a, b])=[m, M] .\) Якщо\(m=M,\) тоді\(\varphi(x)=m\) для всіх\(x \in[a, b],\) і обох сторін\((7.5 .17)\) є\(0 .\) Таким чином, ми можемо припустити,\(m<M .\) нехай\(F\) буде функція, яка є безперервною на \([m, M]\)з\(F^{\prime}(u)=f(u)\) для кожного\(u \in(m, M) .\) Нехай\(g=F \circ \varphi .\) тоді
\[g^{\prime}(x)=F^{\prime}(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)=f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x).\]
Так що якщо\(\varphi(a) \leq \varphi(b)\),
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x &=g(b)-g(a) \\ &=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) \\ &=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u. \end{aligned}\]
Якщо\(\varphi(a)>\varphi(b),\) тоді
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x &=g(b)-g(a) \\ &=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) \\ &=-(F(\varphi(a))-F(\varphi(b))) \\ &=-\int_{\varphi(b)}^{\varphi(a)} f(u) d u \\ &=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u. \end{aligned}\]
Q.E.D.
Оцінити
\[\int_{0}^{1} u \sqrt{u+1} d u\]
за допомогою (а) інтеграції частинами та (б) заміщення.
Припустимо\(\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), диференційований на\(\mathbb{R}\) і періодичний з періодом\(1(\text { that is, } \varphi(x+1)=\varphi(x) \text { for every } x \in \mathbb{R}) .\) Показати, що для будь-якої безперервної функції\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\),
\[\int_{0}^{1} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=0.\]
(Інтегральна теорема про середнє значення)
Якщо\(f\) безперервно,\([a, b],\) то існує\(c \in[a, b]\) таке, що
\[\int_{a}^{b} f=f(c)(b-a).\]
Доведіть теорему про середнє значення інтеграла.
(Узагальнена теорема про середнє значення інтегралу)
Якщо\(f\) і\(g\) безперервні на\([a, b]\) і\(g(x)>0\) для всіх,\(x \in[a, b],\) то існує\(c \in[a, b]\) таке, що
\[\int_{a}^{b} f g=f(c) \int_{a}^{b} g.\]
Доведіть узагальнену теорему про середнє значення інтеграла.