7.5: Фундаментальна теорема обчислення

Теорема$\PageIndex{1}$

(Фундаментальна теорема обчислення)

Припустимо$f$, інтегрується на$[a, b] .$ Якщо$F$ є безперервним$[a, b]$ і диференційованим на$(a, b)$ з$F^{\prime}(x)=f(x)$ для всіх$x \in(a, b),$ тоді

$$\int_{a}^{b} f=F(b)-F(a).$$

Доказ

$\epsilon>0,$Дано нехай$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ буде розділом,$[a, b]$ для якого

$$U(f, P)-L(f, P)<\epsilon .$$

Для$i=1,2, \ldots, n,$ нехай$t_{i} \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ будуть бали, за які

$$F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right).$$

Тоді

$$\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)=F(b)-F(a).$$

Але

$$L(f, P) \leq \sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \leq U(f, P),$$

тому

$$\left|F(b)-F(a)-\int_{a}^{b} f\right|<\epsilon .$$

Оскільки$\epsilon$ було довільним, ми робимо висновок, що

$$\int_{a}^{b} f=F(b)-F(a).$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

(Інтеграція по частинам)

Припустимо$g$,$f$ і інтегруються

на$[a, b] .$ Якщо$F$ і$G$ є безперервними$[a, b]$ і диференційованими на$(a, b)$ з$F^{\prime}(x)=f(x)$ і$G^{\prime}(x)=g(x)$ для всіх$x \in(a, b),$ тоді

$$\int_{a}^{b} F(x) g(x) d x=F(b) G(b)-F(a) G(a)-\int_{a}^{b} f(x) G(x) d x.$$

Доказ

За фундаментальною теоремою обчислення,

$$\int_{a}^{b}(F(x) g(x)+f(x) G(x)) d x=F(b) G(b)-F(a) G(a).$$

Q.E.D.

7.5.1 Інша фундаментальна теорема числення

Пропозиція$\PageIndex{3}$

$f$Припустимо,$F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ інтегрується на$[a, b]$ і визначається

$$F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t.$$

Потім$F$ рівномірно безперервно на$[a, b] .$

Доказ

Нехай$\epsilon>0$ буде дано і нехай$M>0$ буде таким, що$|f(x)| \leq M$ для всіх$x \in[a, b] .$ Тоді для будь-якого$x, y \in[a, b]$ з$x<y$ і$y-x<\frac{e}{M}$,

$$|F(y)-F(x)|=\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq M(y-x)<\epsilon .$$

Отже$F$, є рівномірно безперервним на$[a, b] . \quad$ Q.E.D.

Наступна теорема часто вважається частиною фундаментальної теореми числення.

Теорема$\PageIndex{4}$

Припустимо$f$, інтегрується на$[a, b]$ і безперервно$u \in(a, b) .$ при$F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ If визначається

$$F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t,$$

$F$то диференціюється при$u$ і$F^{\prime}(u)=f(u)$.

Доказ

Нехай$\epsilon>0$ дадуть і вибирають$\delta>0$ такі, що$|f(x)-f(u)|<\epsilon$ всякий раз, коли$|x-u|<\delta .$ тоді, якщо$0<h<\delta,$ ми маємо

$$\begin{aligned}\left|\frac{F(u+h)-F(u)}{h}-f(u)\right| &=\left|\frac{1}{h} \int_{u}^{u+h} f(t) d t-f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u}^{u+h}(f(t)-f(u)) d t\right| \\ &<\epsilon . \end{aligned}$$

Якщо$-\delta<h<0,$ тоді

$$\begin{aligned}\left|\frac{F(u+h)-F(u)}{h}-f(u)\right| &=\left|-\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t-f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t+f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t-\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(u) d t\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u}(f(t)-f(u)) d t\right| \\ &<\epsilon . \end{aligned}$$

Звідси

$$F^{\prime}(u)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(u+h)-F(u)}{h}=f(u) .$$

Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{5}$

Якщо$a<b$ і$f$ є безперервним,$[a, b],$ то існує функція,$F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ яка є$[a, b]$ безперервною на з$F^{\prime}(x)=f(x)$ для всіх.$x \in(a, b) .$

Доказ

Нехай

$$F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t .$$

Q.E.D.

Приклад$\PageIndex{1}$

Якщо

$$g(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{1+t^{4}} d t,$$

потім$g^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^{4}}$.

Пропозиція$\PageIndex{6}$

(Інтеграція шляхом заміщення)

Припустимо,$I$ це відкритий інтервал,$\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}, a<b,[a, b] \subset I,$ і$\varphi^{\prime}$ є безперервним на$[a, b] .$ Якщо$f: \varphi([a, b]) \rightarrow \mathbb{R}$ є безперервним, то

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u=\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x.$$

Доказ

Якщо$m$ і$M$ є мінімальним і максимальним значеннями, відповідно,$\varphi$ на$[a, b],$ потім$\varphi([a, b])=[m, M] .$ Якщо$m=M,$ тоді$\varphi(x)=m$ для всіх$x \in[a, b],$ і обох сторін$(7.5 .17)$ є$0 .$ Таким чином, ми можемо припустити,$m<M .$ нехай$F$ буде функція, яка є безперервною на $[m, M]$з$F^{\prime}(u)=f(u)$ для кожного$u \in(m, M) .$ Нехай$g=F \circ \varphi .$ тоді

$$g^{\prime}(x)=F^{\prime}(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)=f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x).$$

Так що якщо$\varphi(a) \leq \varphi(b)$,

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x &=g(b)-g(a) \\ &=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) \\ &=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u. \end{aligned}$$

Якщо$\varphi(a)>\varphi(b),$ тоді

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x &=g(b)-g(a) \\ &=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) \\ &=-(F(\varphi(a))-F(\varphi(b))) \\ &=-\int_{\varphi(b)}^{\varphi(a)} f(u) d u \\ &=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u. \end{aligned}$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{1}$

Оцінити

$$\int_{0}^{1} u \sqrt{u+1} d u$$

за допомогою (а) інтеграції частинами та (б) заміщення.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо$\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, диференційований на$\mathbb{R}$ і періодичний з періодом$1(\text { that is, } \varphi(x+1)=\varphi(x) \text { for every } x \in \mathbb{R}) .$ Показати, що для будь-якої безперервної функції$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,

$$\int_{0}^{1} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=0.$$

Теорема$\PageIndex{7}$

(Інтегральна теорема про середнє значення)

Якщо$f$ безперервно,$[a, b],$ то існує$c \in[a, b]$ таке, що

$$\int_{a}^{b} f=f(c)(b-a).$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Доведіть теорему про середнє значення інтеграла.

Теорема$\PageIndex{8}$

(Узагальнена теорема про середнє значення інтегралу)

Якщо$f$ і$g$ безперервні на$[a, b]$ і$g(x)>0$ для всіх,$x \in[a, b],$ то існує$c \in[a, b]$ таке, що

$$\int_{a}^{b} f g=f(c) \int_{a}^{b} g.$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Доведіть узагальнену теорему про середнє значення інтеграла.