7.1: Верхній і нижній інтеграли
- Page ID
- 62406
За заданим замкнутим\([a, b] \subset \mathbb{R}\) інтервалом\(a<b,\) ми називаємо будь-яку\(b\) скінченну\([a, b]\) підмножини, яка включає в себе обидва\(a\) і розділ\([a, b]\).
Для зручності кожного разу, коли ми розглядаємо розділ\(P\) інтервалу,\([a, b]\) ми будемо індексувати елементи у зростаючому порядку, починаючи з\(0 .\) That is, if\(|P|=n+1\) і\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\},\) that
\[a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b.\]
Припустимо,\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) є розділом\([a, b]\) і\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) є обмеженим. Для\(i=1,2, \ldots, n,\) нехай
\[m_{i}=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}\]
і
\[M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.\]
Дзвонимо
\[L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\]
нижня сума\(f\) визначається\(P\) і
\[U(f, P)=\sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\]
верхня сума\(f\) визначається\(P .\)
Якщо\(P_{1}\) і\(P_{2}\) обидва розділи\([a, b]\) і\(P_{1} \subset P_{2},\) тоді ми\(P_{2}\) називаємо уточненням\(P_{1}\).
Якщо\(P_{1}\) і\(P_{2}\) обидва розділи,\([a, b],\) то ми\(P=P_{1} \cup P_{2}\) називаємо розділ загальним уточненням\(P_{1}\) і\(P_{2}\).
Припустимо,\(P_{1}=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) це розділ\([a, b], s \in(a, b)\),\(s \notin P_{1},\) і\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) обмежений. Якщо\(P_{2}=P_{1} \cup\{s\},\) тоді\(L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)\) і\(U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)\).
- Доказ
-
Припустимо\(x_{i-1}<s<x_{i}\) і нехай
\[\begin{aligned} w_{1} &=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq s\right\}, \\ W_{1} &=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq s\right\}, \\ w_{2} &=\inf \left\{f(x): s \leq x \leq x_{i}\right\}, \\ W_{2} &=\sup \left\{f(x): s \leq x \leq x_{i}\right\}, \\ m_{i} &=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}, \end{aligned}\]
і
\[M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.\]
Тоді\(w_{1} \geq m_{i}, w_{2} \geq m_{i}, W_{1} \leq M_{i},\) і\(W_{2} \leq M_{i} .\) звідси
\[\begin{aligned} L\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{1}\right) &=w_{1}\left(s-x_{i-1}\right)+w_{2}\left(x_{i}-s\right)-m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=w_{1}\left(s-x_{i-1}\right)+w_{2}\left(x_{i}-s\right)-m_{i}\left(s-x_{i-1}\right) \\ & \quad-m_{i}\left(x_{i}-s\right) \\ &=\left(w_{1}-m_{i}\right)\left(s-x_{i-1}\right)+\left(w_{2}-m_{i}\right)\left(x_{i}-s\right) \\ & \geq 0 \end{aligned}\]
і
\[\begin{aligned} U\left(f, P_{1}\right)-U\left(f, P_{2}\right)=& M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-W_{1}\left(s-x_{i-1}\right)-W_{2}\left(x_{i}-s\right) \\=& M_{i}\left(s-x_{i-1}\right)+M_{i}\left(x_{i}-s\right)-W_{1}\left(s-x_{i-1}\right) \\ &-W_{2}\left(x_{i}-s\right) \\=&\left(M_{i}-W_{1}\right)\left(s-x_{i-1}\right)+\left(M_{i}-W_{2}\right)\left(x_{i}-s\right) \\ \geq & 0. \end{aligned}\]
Таким чином\(L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)\) і\(U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)\). \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо\(P_{1}\) і\(P_{2}\) є\([a, b],\) розділами\(P_{2}\) з уточненням\(P_{1} .\)\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) If обмежений, то\(L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)\) і\(U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)\).
- Доказ
-
Пропозиція випливає відразу з багаторазового використання попередньої леми. \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо\(P_{2}\),\(P_{1}\) і є розділами\([a, b] .\)\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) If обмежені, то\(L\left(f, P_{1}\right) \leq U\left(f, P_{2}\right)\).
- Доказ
-
Результат випливає відразу з визначень, якщо в\(P_{1}=P_{2} .\) іншому випадку, нехай\(P\) буде загальне уточнення\(P_{1}\) і\(P_{2} .\) Тоді
\[L\left(f, P_{1}\right) \leq L(f, P) \leq U(f, P) \leq U\left(f, P_{2}\right).\]
Q.E.D.
Припустимо\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\),\(a<b\) і обмежена. Дзвонимо
\[\underline{\int_{a}^{b}} f=\sup \{L(f, P): P \text { is a partition of }[a, b]\}\]
нижній інтеграл\(f\) над\([a, b]\) і
\[\overline{\int_{a}^{b}} f=\inf \{U(f, P): P \text { is a partition of }[a, b]\}\]
верхній інтеграл\(f\) над\([a, b]\).
Зверніть увагу, що як нижній інтеграл, так і верхній інтеграл є кінцевими дійсними числами, оскільки нижні суми обмежені вище будь-якою верхньою сумою, а верхні суми обмежені нижче будь-якою нижньою сумою.
Припустимо\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\),\(a<b\) і обмежена. Тоді
\[\underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f.\]
- Доказ
-
\(P\)Дозволяти бути розділ\([a, b] .\) Тоді для будь-якого розділу\(Q\) у\([a, b],\) нас\(U(f, P)\) є\(L(f, Q) \leq U(f, P) .\) Отже, верхня межа для будь-якої нижньої суми, і так
\[\underline{\int_{a}^{b}} f \leq U(f, P).\]
Але це показує, що нижній інтеграл - це нижня межа для будь-якої верхньої суми. Звідси
\[\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} f.\]
Q.E.D.