7.1: Верхній і нижній інтеграли

Визначення

За заданим замкнутим$[a, b] \subset \mathbb{R}$ інтервалом$a<b,$ ми називаємо будь-яку$b$ скінченну$[a, b]$ підмножини, яка включає в себе обидва$a$ і розділ$[a, b]$.

Для зручності кожного разу, коли ми розглядаємо розділ$P$ інтервалу,$[a, b]$ ми будемо індексувати елементи у зростаючому порядку, починаючи з$0 .$ That is, if$|P|=n+1$ і$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\},$ that

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b.$$

Визначення

Припустимо,$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ є розділом$[a, b]$ і$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ є обмеженим. Для$i=1,2, \ldots, n,$ нехай

$$m_{i}=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}$$

і

$$M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.$$

Дзвонимо

$$L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)$$

нижня сума$f$ визначається$P$ і

$$U(f, P)=\sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)$$

верхня сума$f$ визначається$P .$

Визначення

Якщо$P_{1}$ і$P_{2}$ обидва розділи$[a, b]$ і$P_{1} \subset P_{2},$ тоді ми$P_{2}$ називаємо уточненням$P_{1}$.

Визначення

Якщо$P_{1}$ і$P_{2}$ обидва розділи,$[a, b],$ то ми$P=P_{1} \cup P_{2}$ називаємо розділ загальним уточненням$P_{1}$ і$P_{2}$.

лема$\PageIndex{1}$

Припустимо,$P_{1}=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ це розділ$[a, b], s \in(a, b)$,$s \notin P_{1},$ і$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ обмежений. Якщо$P_{2}=P_{1} \cup\{s\},$ тоді$L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)$ і$U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)$.

Доказ

Припустимо$x_{i-1}<s<x_{i}$ і нехай

$$\begin{aligned} w_{1} &=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq s\right\}, \\ W_{1} &=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq s\right\}, \\ w_{2} &=\inf \left\{f(x): s \leq x \leq x_{i}\right\}, \\ W_{2} &=\sup \left\{f(x): s \leq x \leq x_{i}\right\}, \\ m_{i} &=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}, \end{aligned}$$

і

$$M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.$$

Тоді$w_{1} \geq m_{i}, w_{2} \geq m_{i}, W_{1} \leq M_{i},$ і$W_{2} \leq M_{i} .$ звідси

$$\begin{aligned} L\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{1}\right) &=w_{1}\left(s-x_{i-1}\right)+w_{2}\left(x_{i}-s\right)-m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=w_{1}\left(s-x_{i-1}\right)+w_{2}\left(x_{i}-s\right)-m_{i}\left(s-x_{i-1}\right) \\ & \quad-m_{i}\left(x_{i}-s\right) \\ &=\left(w_{1}-m_{i}\right)\left(s-x_{i-1}\right)+\left(w_{2}-m_{i}\right)\left(x_{i}-s\right) \\ & \geq 0 \end{aligned}$$

і

$$\begin{aligned} U\left(f, P_{1}\right)-U\left(f, P_{2}\right)=& M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-W_{1}\left(s-x_{i-1}\right)-W_{2}\left(x_{i}-s\right) \\=& M_{i}\left(s-x_{i-1}\right)+M_{i}\left(x_{i}-s\right)-W_{1}\left(s-x_{i-1}\right) \\ &-W_{2}\left(x_{i}-s\right) \\=&\left(M_{i}-W_{1}\right)\left(s-x_{i-1}\right)+\left(M_{i}-W_{2}\right)\left(x_{i}-s\right) \\ \geq & 0. \end{aligned}$$

Таким чином$L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)$ і$U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)$. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Припустимо$P_{1}$ і$P_{2}$ є$[a, b],$ розділами$P_{2}$ з уточненням$P_{1} .$$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ If обмежений, то$L\left(f, P_{1}\right) \leq L\left(f, P_{2}\right)$ і$U\left(f, P_{2}\right) \leq U\left(f, P_{1}\right)$.

Доказ

Пропозиція випливає відразу з багаторазового використання попередньої леми. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Припустимо$P_{2}$,$P_{1}$ і є розділами$[a, b] .$$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ If обмежені, то$L\left(f, P_{1}\right) \leq U\left(f, P_{2}\right)$.

Доказ

Результат випливає відразу з визначень, якщо в$P_{1}=P_{2} .$ іншому випадку, нехай$P$ буде загальне уточнення$P_{1}$ і$P_{2} .$ Тоді

$$L\left(f, P_{1}\right) \leq L(f, P) \leq U(f, P) \leq U\left(f, P_{2}\right).$$

Q.E.D.

Визначення

Припустимо$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$,$a<b$ і обмежена. Дзвонимо

$$\underline{\int_{a}^{b}} f=\sup \{L(f, P): P \text { is a partition of }[a, b]\}$$

нижній інтеграл$f$ над$[a, b]$ і

$$\overline{\int_{a}^{b}} f=\inf \{U(f, P): P \text { is a partition of }[a, b]\}$$

верхній інтеграл$f$ над$[a, b]$.

Зверніть увагу, що як нижній інтеграл, так і верхній інтеграл є кінцевими дійсними числами, оскільки нижні суми обмежені вище будь-якою верхньою сумою, а верхні суми обмежені нижче будь-якою нижньою сумою.

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Припустимо$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$,$a<b$ і обмежена. Тоді

$$\underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f.$$

Доказ

$P$Дозволяти бути розділ$[a, b] .$ Тоді для будь-якого розділу$Q$ у$[a, b],$ нас$U(f, P)$ є$L(f, Q) \leq U(f, P) .$ Отже, верхня межа для будь-якої нижньої суми, і так

$$\underline{\int_{a}^{b}} f \leq U(f, P).$$

Але це показує, що нижній інтеграл - це нижня межа для будь-якої верхньої суми. Звідси

$$\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} f.$$

Q.E.D.