7.3: Умови інтеграції

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Якщо$a<b$ і$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ є монотонним, то$f$ інтегрується далі$[a, b]$.

Доказ

$f$Припустимо, незменшується. $\epsilon>0,$Дано нехай$n \in Z^{+}$ буде досить великим, що

$$\frac{(f(b)-f(a))(b-a)}{n}<\epsilon .$$

Для$i=0,1, \ldots, n,$ нехай

$$x_{i}=a+\frac{(b-a) i}{n}.$$

Нехай$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} .$ тоді

$$\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left(f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right) \frac{b-a}{n} \\ &=\frac{b-a}{n}\left(\left(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)\right)+\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)+\cdots\right.\\ &\left.\quad+\left(f\left(x_{n-1}\right)-f\left(x_{n-2}\right)\right)+\left(f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)\right)\right) \\ &=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a)) \\ &<\epsilon . \end{aligned}$$

Отже$f$, інтегрується на$[a, b]$. $\quad$Q.E.D.

Приклад$\PageIndex{1}$

$\varphi: \mathbb{Q} \cap[0,1] \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$Дозволяти буде листування один на один. Визначте$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ по

$$f(x)=\sum_{q \in \underset{q \leq x}{\mathbb{Q} \cap [0,1]}} \frac{1}{2^{\varphi(q)}.}$$

Потім$f$ збільшується$[0,1],$ і, отже, інтегрується$[0,1]$.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Якщо$a<b$ і$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ є безперервним, то$f$ інтегрується на$[a, b]$.

Доказ

$\epsilon>0,$Дано нехай

$$\gamma=\frac{\epsilon}{b-a}.$$

Оскільки$f$ є рівномірно безперервним,$[a, b],$ ми можемо вибрати$\delta>0$ такі, що

$$|f(x)-f(y)|<\gamma$$

всякий раз, коли$|x-y|<\delta .$$P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ Дозволяти бути розділом з

$$\sup \left\{\left|x_{i}-x_{i-1}\right|: i=1,2, \ldots, n\right\}<\delta .$$

Якщо, за$i=1,2, \dots, n$,

$$m_{i}=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}$$

і

$$M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},$$

тоді$M_{i}-m_{i}<\gamma .$ Звідси

$$\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\gamma \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\gamma(b-a) \\ &=\epsilon . \end{aligned}$$

Таким$f$ чином, інтегрується на$[a, b]$. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо,$a<b, f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ обмежений, і$c \in[a, b] .$ Показати, що якщо$f$ є безперервним,$[a, b] \backslash\{c\},$ то$f$ інтегрується на$[a, b]$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо$f$,$a<b$ і безперервно$f(x) \geq 0$ для всіх$x \in[a, b] .$ Показати, що якщо$[a, b]$

$$\int_{a}^{b} f=0,$$

то$f(x)=0$ для всіх$x \in[a, b]$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо$f$,$a<b$ і є безперервним$[a, b] .$ на$i=0,1, \ldots, n$ For,$n \in \mathbb{Z}^{+},$ нехай

$$x_{i}=a+\frac{(b-a) i}{n}$$

і, бо$i=1,2, \ldots, n,$ нехай$c_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right] .$ покаже, що

$$\int_{a}^{b} f=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right).$$

У позначенні Вправи$7.3 .3,$ ми називаємо наближення

$$\int_{a}^{b} f \approx \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right)$$

праворуч правило наближення, якщо$c_{i}=x_{i},$ наближення правила лівої руки if$c_{i}=x_{i-1},$ і середина правила наближення, якщо

$$c_{i}=\frac{x_{i-1}+x_{i}}{2}.$$

Це основні складові при створенні числових наближень до інтегралів.