7.3: Умови інтеграції
- Page ID
- 62412
Якщо\(a<b\) і\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) є монотонним, то\(f\) інтегрується далі\([a, b]\).
- Доказ
-
\(f\)Припустимо, незменшується. \(\epsilon>0,\)Дано нехай\(n \in Z^{+}\) буде досить великим, що
\[\frac{(f(b)-f(a))(b-a)}{n}<\epsilon .\]
Для\(i=0,1, \ldots, n,\) нехай
\[x_{i}=a+\frac{(b-a) i}{n}.\]
Нехай\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} .\) тоді
\[\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left(f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right) \frac{b-a}{n} \\ &=\frac{b-a}{n}\left(\left(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)\right)+\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)+\cdots\right.\\ &\left.\quad+\left(f\left(x_{n-1}\right)-f\left(x_{n-2}\right)\right)+\left(f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)\right)\right) \\ &=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a)) \\ &<\epsilon . \end{aligned}\]
Отже\(f\), інтегрується на\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.
\(\varphi: \mathbb{Q} \cap[0,1] \rightarrow \mathbb{Z}^{+}\)Дозволяти буде листування один на один. Визначте\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) по
\[f(x)=\sum_{q \in \underset{q \leq x}{\mathbb{Q} \cap [0,1]}} \frac{1}{2^{\varphi(q)}.}\]
Потім\(f\) збільшується\([0,1],\) і, отже, інтегрується\([0,1]\).
Якщо\(a<b\) і\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) є безперервним, то\(f\) інтегрується на\([a, b]\).
- Доказ
-
\(\epsilon>0,\)Дано нехай
\[\gamma=\frac{\epsilon}{b-a}.\]
Оскільки\(f\) є рівномірно безперервним,\([a, b],\) ми можемо вибрати\(\delta>0\) такі, що
\[|f(x)-f(y)|<\gamma\]
всякий раз, коли\(|x-y|<\delta .\)\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) Дозволяти бути розділом з
\[\sup \left\{\left|x_{i}-x_{i-1}\right|: i=1,2, \ldots, n\right\}<\delta .\]
Якщо, за\(i=1,2, \dots, n\),
\[m_{i}=\inf \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}\]
і
\[M_{i}=\sup \left\{f(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},\]
тоді\(M_{i}-m_{i}<\gamma .\) Звідси
\[\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\sum_{i=1}^{n} M_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\gamma \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\gamma(b-a) \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]
Таким\(f\) чином, інтегрується на\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.
Припустимо,\(a<b, f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) обмежений, і\(c \in[a, b] .\) Показати, що якщо\(f\) є безперервним,\([a, b] \backslash\{c\},\) то\(f\) інтегрується на\([a, b]\).
Припустимо\(f\),\(a<b\) і безперервно\(f(x) \geq 0\) для всіх\(x \in[a, b] .\) Показати, що якщо\([a, b]\)
\[\int_{a}^{b} f=0,\]
то\(f(x)=0\) для всіх\(x \in[a, b]\).
Припустимо\(f\),\(a<b\) і є безперервним\([a, b] .\) на\(i=0,1, \ldots, n\) For,\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) нехай
\[x_{i}=a+\frac{(b-a) i}{n}\]
і, бо\(i=1,2, \ldots, n,\) нехай\(c_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right] .\) покаже, що
\[\int_{a}^{b} f=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right).\]
У позначенні Вправи\(7.3 .3,\) ми називаємо наближення
\[\int_{a}^{b} f \approx \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right)\]
праворуч правило наближення, якщо\(c_{i}=x_{i},\) наближення правила лівої руки if\(c_{i}=x_{i-1},\) і середина правила наближення, якщо
\[c_{i}=\frac{x_{i-1}+x_{i}}{2}.\]
Це основні складові при створенні числових наближень до інтегралів.