7.7: Неправильний інтеграл
- Page ID
- 62398
Якщо\(f\) інтегрується\([a, b]\) для всіх\(b>a\) і
\[\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]
існує, то визначаємо
\[\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.\]
\(f\)Це інтегрується\([a, b]\) для всіх\(a<b\) і
\[\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]
існує, то визначаємо
\[\int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.\]
Обидва ці інтеграли є прикладами неправильних інтегралів.
Припустимо\(f\), є безперервним на\([a, \infty)\) і\(f(x) \geq 0\) для всіх\(x \geq a .\) Якщо існує\(g:[a,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) для яких
\[\int_{a}^{+\infty} g(x) d x\]
існує і\(g(x) \geq f(x)\) для всіх\(x \geq a\), тоді
\[\int_{a}^{+\infty} f(x) d x\]
існує.
Доведіть попередню пропозицію.
Припустимо
\[f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\]
і
\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } 0 \leq x<1}, \\ {\frac{1}{x^{2}},} & {\text { if } x \geq 1}.\end{array}\right.\]
Потім, для\(b>1\)
\[\int_{0}^{b} g(x) d x=\int_{0}^{1} d x+\int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x=1+1-\frac{1}{b}=2-\frac{1}{b},\]
тому
\[\int_{0}^{+\infty} g(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{b}\right)=2.\]
Так як\(0<f(x) \leq g(x)\) для всіх\(x \geq 0\) випливає, що
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x\]
існує, і, крім того,
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x<2.\]
Крім того, заміна\(u=-x\) показує, що
\[\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\int_{+\infty}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u.\]