7.7: Неправильний інтеграл

Визначення

Якщо$f$ інтегрується$[a, b]$ для всіх$b>a$ і

$$\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x$$

існує, то визначаємо

$$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.$$

$f$Це інтегрується$[a, b]$ для всіх$a<b$ і

$$\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x$$

існує, то визначаємо

$$\int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x.$$

Обидва ці інтеграли є прикладами неправильних інтегралів.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Припустимо$f$, є безперервним на$[a, \infty)$ і$f(x) \geq 0$ для всіх$x \geq a .$ Якщо існує$g:[a,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ для яких

$$\int_{a}^{+\infty} g(x) d x$$

існує і$g(x) \geq f(x)$ для всіх$x \geq a$, тоді

$$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x$$

існує.

Вправа$\PageIndex{1}$

Доведіть попередню пропозицію.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо

$$f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$$

і

$$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } 0 \leq x<1}, \\ {\frac{1}{x^{2}},} & {\text { if } x \geq 1}.\end{array}\right.$$

Потім, для$b>1$

$$\int_{0}^{b} g(x) d x=\int_{0}^{1} d x+\int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x=1+1-\frac{1}{b}=2-\frac{1}{b},$$

тому

$$\int_{0}^{+\infty} g(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{b}\right)=2.$$

Так як$0<f(x) \leq g(x)$ для всіх$x \geq 0$ випливає, що

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x$$

існує, і, крім того,

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x<2.$$

Крім того, заміна$u=-x$ показує, що

$$\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x=-\int_{+\infty}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u.$$