6.3: Теорема про середнє значення

Визначення

Ми говоримо$f$, що диференціюється на відкритому інтервалі,$I$ якщо$f$ диференціюється в кожній точці$a \in I$.

Визначення

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}$ і$f: D \rightarrow \mathbb{R} .$ Ми говоримо,$f$ має локальний максимум в точці,$a \in D$ якщо існує$\delta>0$ такий, що$f(a) \geq f(x)$ для всіх$x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .$ Ми говоримо,$f$ має локальний мінімум в точці,$a \in D$ якщо існує$\delta>0$ такий, що$f(a) \leq f(x)$ для всіх$x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .$

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Припустимо$a$,$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і є внутрішньою точкою,$D$ в якій$f$ є або локальний максимум, або локальний мінімум. Якщо$f$ диференційований на$a,$ потім$f^{\prime}(a)=0$.

Доказ

Припустимо,$f$ має локальний максимум at$a$ (аналогічний аргумент працює, якщо$f$ має локальний мінімум at$a$). Вибирайте$\delta>0$ так, щоб$(a-\delta, a+\delta) \subset D$ і$f(a) \geq f(x)$ для всіх$x \in(a-\delta, a+\delta) .$ Тоді

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0$$

для всіх$x \in(a-\delta, a)$ і

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0$$

для всіх$x \in(a, a+\delta) .$ Звідси

$$\lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0$$

і

$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0.$$

Звідси

$$0 \leq \lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0,$$

так що ми повинні мати$f^{\prime}(a)=0$. $\quad$Q.E.D.

Теорема$\PageIndex{2}$

(Теорема Ролла).

Нехай$a, b \in \mathbb{R}$ і припустимо$f$ є безперервним$[a, b]$ і диференційованим на$(a, b) .$ Якщо$f(a)=f(b),$ тоді існує точка,$c \in(a, b)$ в якій$f^{\prime}(c)=0$.

Доказ

За теоремою екстремальних значень, ми знаємо, що$f$ досягає максимального і мінімального значення на$[a, b] .$$m$ Дозволяти бути мінімальним$M$ значенням і максимальним значенням$f$ на$[a, b] .$ Якщо$m=M=f(a)=f(b),$ тоді$f(x)=m$ для всіх$x \in[a, b],$ і так$f^{\prime}(x)=0$ для всіх$x \in(a, b) .$ Інакше один з $m$або$M$ відбувається в точці$c$ в$(a, b) .$ Отже$f$ має або локальний максимум або локальний мінімум в$c,$ і так$f^{\prime}(c)=0 .$$\quad$ Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{1}$

$f$Припустимо, диференційований на$(a, b)$ і$f^{\prime}(x) \neq 0$ для всіх$x \in(a, b) .$ Показати, що для будь-якого$x, y \in(a, b), f(x) \neq f(y)$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Поясніть, чому рівняння$x^{5}+10 x=5$ має рівно одне рішення.

Вправа$\PageIndex{3}$

$f(x)$Дозволяти бути поліном третього ступеня. Покажіть, що рівняння$f(x)=0$ як мінімум один, але не більше трьох, розв'язків.

6.3.2 Теорема про середнє значення

Теорема$\PageIndex{3}$

(Узагальнена теорема про середнє значення).

Нехай$a, b \in \mathbb{R} .$ Якщо$f$ і$g$ безперервні на$[a, b]$ і диференційовані далі,$(a, b),$ то існує точка,$c \in(a, b)$ в якій

$$(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c).$$

Доказ

Нехай

$$h(t)=(f(b)-f(a)) g(t)-(g(b)-g(a)) f(t).$$

Потім$h$ є безперервним$[a, b]$ і диференційованим на$(a, b) .$ Крім того,

$$\begin{aligned} h(a) &=f(b) g(a)-f(a) g(a)-f(a) g(b)+f(a) g(a) \\ &=f(b) g(a)-f(a) g(b) \end{aligned}$$

і

$$\begin{aligned} h(b) &=f(b) g(b)-f(a) g(b)-f(b) g(b)+f(b) g(a) \\ &=f(b) g(a)-f(a) g(b). \end{aligned}$$

Отже, за теоремою Ролла існує точка,$c \in(a, b)$ в якій$h^{\prime}(c)=0 .$ Але тоді

$$0=h^{\prime}(c)=(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)-(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c),$$

що означає, що

$$(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c).$$

Q.E.D.

Теорема$\PageIndex{4}$

(Теорема про середнє значення).

Нехай$a, b \in \mathbb{R} .$ Якщо$f$ є безперервним$[a, b]$ і диференційованим на,$(a, b),$ то існує точка,$c \in(a, b)$ в якій

$$f(b)-f(a)=(b-a) f^{\prime}(c).$$

Доказ

Застосовуємо попередній результат за допомогою$g(x)=x$. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{4}$

Доведіть теорему про середнє значення за допомогою теореми Ролла та функції

$$k(t)=f(t)-\left(\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)(t-a)+f(a)\right).$$

Дайте геометричну інтерпретацію$k$ та порівняйте її з функцією, яка$h$ використовується у доведенні узагальненої теореми про середнє значення.

Вправа$\PageIndex{5}$

Нехай$a, b \in \mathbb{R} .$ припустимо$f$ є безперервним на$[a, b],$$(a, b),$ диференційованих і$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ для всіх$x \in(a, b) .$ Показати, що

$$|f(b)-f(a)| \leq M|b-a|.$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Покажіть, що для всіх$x>0$,

$$\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}.$$

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустимо,$I$ це відкритий інтервал,$f: I \rightarrow \mathbb{R},$ і$f^{\prime}(x)=0$ для всіх$x \in I .$ Показати, що існує$\alpha \in \mathbb{R}$ такий, що$f(x)=\alpha$ для всіх$x \in I$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо,$I$ це відкритий інтервал,$f: I \rightarrow \mathbb{R}, g: I \rightarrow \mathbb{R},$ і$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ для всіх$x \in I .$ Показати, що існує$\alpha \in \mathbb{R}$ такий, що

$$g(x)=f(x)+\alpha$$

для всіх$x \in I$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Дозвольте$D=\mathbb{R} \backslash\{0\} .$ визначити$f: D \rightarrow \mathbb{R}$ і$g: D \rightarrow \mathbb{R}$ по$f(x)=x^{2}$ і

$$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2},} & {\text { if } x<0,} \\ {x^{2}+1,} & {\text { if } x>0.}\end{array}\right.$$

Покажіть, що$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ для всіх$x \in D,$ але не існує$\alpha \in \mathbb{R}$ такого, що$g(x)=f(x)+\alpha$ для всіх$x \in D .$ Чому це не суперечить висновку попередньої вправи?

Пропозиція$\PageIndex{5}$

Якщо$f$ диференціюється на$(a, b)$ і$f^{\prime}(x)>0$ для всіх$x \in(a, b)$,$f$ то збільшується на$(a, b)$.

Доказ

Нехай$x, y \in(a, b)$ з$x<y .$ За теоремою середнього значення існує$c \in(x, y)$ така точка, що

$$f(y)-f(x)=(y-x) f^{\prime}(c).$$

Так як$y-x>0$ і у$f^{\prime}(c)>0,$ нас$f(y)>f(x),$ і так$f$ зростає на$(a, b) .$$\quad$ Q.E.D.

Теорема$\PageIndex{6}$

Якщо$f$ диференціюється на$(a, b)$ і$f^{\prime}(x)<0$ для всіх$x \in(a, b)$, то$f$ зменшується на$(a, b)$.

Вправа$\PageIndex{10}$

Виявляють та доводять подібні умови для незростаючих та незменшуваних функцій.