6.3: Теорема про середнє значення
- Page ID
- 62423
Ми говоримо\(f\), що диференціюється на відкритому інтервалі,\(I\) якщо\(f\) диференціюється в кожній точці\(a \in I\).
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}\) і\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Ми говоримо,\(f\) має локальний максимум в точці,\(a \in D\) якщо існує\(\delta>0\) такий, що\(f(a) \geq f(x)\) для всіх\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .\) Ми говоримо,\(f\) має локальний мінімум в точці,\(a \in D\) якщо існує\(\delta>0\) такий, що\(f(a) \leq f(x)\) для всіх\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .\)
Припустимо\(a\),\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і є внутрішньою точкою,\(D\) в якій\(f\) є або локальний максимум, або локальний мінімум. Якщо\(f\) диференційований на\(a,\) потім\(f^{\prime}(a)=0\).
- Доказ
-
Припустимо,\(f\) має локальний максимум at\(a\) (аналогічний аргумент працює, якщо\(f\) має локальний мінімум at\(a\)). Вибирайте\(\delta>0\) так, щоб\((a-\delta, a+\delta) \subset D\) і\(f(a) \geq f(x)\) для всіх\(x \in(a-\delta, a+\delta) .\) Тоді
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0\]
для всіх\(x \in(a-\delta, a)\) і
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0\]
для всіх\(x \in(a, a+\delta) .\) Звідси
\[\lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0\]
і
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0.\]
Звідси
\[0 \leq \lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0,\]
так що ми повинні мати\(f^{\prime}(a)=0\). \(\quad\)Q.E.D.
(Теорема Ролла).
Нехай\(a, b \in \mathbb{R}\) і припустимо\(f\) є безперервним\([a, b]\) і диференційованим на\((a, b) .\) Якщо\(f(a)=f(b),\) тоді існує точка,\(c \in(a, b)\) в якій\(f^{\prime}(c)=0\).
- Доказ
-
За теоремою екстремальних значень, ми знаємо, що\(f\) досягає максимального і мінімального значення на\([a, b] .\)\(m\) Дозволяти бути мінімальним\(M\) значенням і максимальним значенням\(f\) на\([a, b] .\) Якщо\(m=M=f(a)=f(b),\) тоді\(f(x)=m\) для всіх\(x \in[a, b],\) і так\(f^{\prime}(x)=0\) для всіх\(x \in(a, b) .\) Інакше один з \(m\)або\(M\) відбувається в точці\(c\) в\((a, b) .\) Отже\(f\) має або локальний максимум або локальний мінімум в\(c,\) і так\(f^{\prime}(c)=0 .\)\(\quad\) Q.E.D.
\(f\)Припустимо, диференційований на\((a, b)\) і\(f^{\prime}(x) \neq 0\) для всіх\(x \in(a, b) .\) Показати, що для будь-якого\(x, y \in(a, b), f(x) \neq f(y)\).
Поясніть, чому рівняння\(x^{5}+10 x=5\) має рівно одне рішення.
\(f(x)\)Дозволяти бути поліном третього ступеня. Покажіть, що рівняння\(f(x)=0\) як мінімум один, але не більше трьох, розв'язків.
6.3.2 Теорема про середнє значення
(Узагальнена теорема про середнє значення).
Нехай\(a, b \in \mathbb{R} .\) Якщо\(f\) і\(g\) безперервні на\([a, b]\) і диференційовані далі,\((a, b),\) то існує точка,\(c \in(a, b)\) в якій
\[(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c).\]
- Доказ
-
Нехай
\[h(t)=(f(b)-f(a)) g(t)-(g(b)-g(a)) f(t).\]
Потім\(h\) є безперервним\([a, b]\) і диференційованим на\((a, b) .\) Крім того,
\[\begin{aligned} h(a) &=f(b) g(a)-f(a) g(a)-f(a) g(b)+f(a) g(a) \\ &=f(b) g(a)-f(a) g(b) \end{aligned}\]
і
\[\begin{aligned} h(b) &=f(b) g(b)-f(a) g(b)-f(b) g(b)+f(b) g(a) \\ &=f(b) g(a)-f(a) g(b). \end{aligned}\]
Отже, за теоремою Ролла існує точка,\(c \in(a, b)\) в якій\(h^{\prime}(c)=0 .\) Але тоді
\[0=h^{\prime}(c)=(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)-(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c),\]
що означає, що
\[(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c).\]
Q.E.D.
(Теорема про середнє значення).
Нехай\(a, b \in \mathbb{R} .\) Якщо\(f\) є безперервним\([a, b]\) і диференційованим на,\((a, b),\) то існує точка,\(c \in(a, b)\) в якій
\[f(b)-f(a)=(b-a) f^{\prime}(c).\]
- Доказ
-
Застосовуємо попередній результат за допомогою\(g(x)=x\). \(\quad\)Q.E.D.
Доведіть теорему про середнє значення за допомогою теореми Ролла та функції
\[k(t)=f(t)-\left(\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)(t-a)+f(a)\right).\]
Дайте геометричну інтерпретацію\(k\) та порівняйте її з функцією, яка\(h\) використовується у доведенні узагальненої теореми про середнє значення.
Нехай\(a, b \in \mathbb{R} .\) припустимо\(f\) є безперервним на\([a, b],\)\((a, b),\) диференційованих і\(\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M\) для всіх\(x \in(a, b) .\) Показати, що
\[|f(b)-f(a)| \leq M|b-a|.\]
Покажіть, що для всіх\(x>0\),
\[\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}.\]
Припустимо,\(I\) це відкритий інтервал,\(f: I \rightarrow \mathbb{R},\) і\(f^{\prime}(x)=0\) для всіх\(x \in I .\) Показати, що існує\(\alpha \in \mathbb{R}\) такий, що\(f(x)=\alpha\) для всіх\(x \in I\).
Припустимо,\(I\) це відкритий інтервал,\(f: I \rightarrow \mathbb{R}, g: I \rightarrow \mathbb{R},\) і\(f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\) для всіх\(x \in I .\) Показати, що існує\(\alpha \in \mathbb{R}\) такий, що
\[g(x)=f(x)+\alpha\]
для всіх\(x \in I\).
Дозвольте\(D=\mathbb{R} \backslash\{0\} .\) визначити\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) і\(g: D \rightarrow \mathbb{R}\) по\(f(x)=x^{2}\) і
\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2},} & {\text { if } x<0,} \\ {x^{2}+1,} & {\text { if } x>0.}\end{array}\right.\]
Покажіть, що\(f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\) для всіх\(x \in D,\) але не існує\(\alpha \in \mathbb{R}\) такого, що\(g(x)=f(x)+\alpha\) для всіх\(x \in D .\) Чому це не суперечить висновку попередньої вправи?
Якщо\(f\) диференціюється на\((a, b)\) і\(f^{\prime}(x)>0\) для всіх\(x \in(a, b)\),\(f\) то збільшується на\((a, b)\).
- Доказ
-
Нехай\(x, y \in(a, b)\) з\(x<y .\) За теоремою середнього значення існує\(c \in(x, y)\) така точка, що
\[f(y)-f(x)=(y-x) f^{\prime}(c).\]
Так як\(y-x>0\) і у\(f^{\prime}(c)>0,\) нас\(f(y)>f(x),\) і так\(f\) зростає на\((a, b) .\)\(\quad\) Q.E.D.
Якщо\(f\) диференціюється на\((a, b)\) і\(f^{\prime}(x)<0\) для всіх\(x \in(a, b)\), то\(f\) зменшується на\((a, b)\).
Виявляють та доводять подібні умови для незростаючих та незменшуваних функцій.