6.5: Правило лікарні
- Page ID
- 62433
Наступний результат - один випадок правила\(l^{\prime}\) L'hópital.
Припустимо\(g\),\(a, b \in \mathbb{R}, f\) і диференційовані\((a, b), g^{\prime}(x) \neq 0\) для всіх\(x \in(a, b),\) і
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lambda .\]
Якщо\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=0\) і\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=0,\) тоді
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda .\]
- Доказ
-
З огляду на\(\epsilon>0,\) існує\(\delta>0\) таке, що
\[\lambda-\frac{\epsilon}{2}<\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}<\lambda+\frac{\epsilon}{2}\]
всякий раз, коли\(x \in(a, a+\delta) .\) тепер, за узагальненою теоремою середнього значення, для будь-якого\(x\) і\(y\) з\(a<x<y<a+\delta,\) існує точка\(c \in(x, y)\) така, що
\[\frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}.\]
Звідси
\[\lambda-\frac{\epsilon}{2}<\frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}<\lambda+\frac{\epsilon}{2}.\]
Зараз
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{f(y)}{g(y)}\]
і тому у нас є
\[\lambda-\epsilon<\lambda-\frac{\epsilon}{2} \leq \frac{f(y)}{g(y)} \leq \lambda+\frac{\epsilon}{2}<\lambda+\epsilon\]
для будь-якого\(y \in(a, a+\delta) .\) Звідси
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda .\]
Q.E.D.
Використовуйте правило l'hôpital для обчислення
\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \nonumber\]
Припустимо\(g\),\(a, b \in \mathbb{R}, f\) і диференційовані\((a, b), g^{\prime}(x) \neq 0\) для всіх\(x \in(a, b),\) і
\[\lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lambda . \nonumber\]
Покажіть, що якщо\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=0\) і\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} g(x)=0,\) тоді
\[\lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda . \nonumber\]