6.5: Правило лікарні

Наступний результат - один випадок правила$l^{\prime}$ L'hópital.

Теорема$\PageIndex{1}$

Припустимо$g$,$a, b \in \mathbb{R}, f$ і диференційовані$(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$ для всіх$x \in(a, b),$ і

$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lambda .$$

Якщо$\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=0$ і$\lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=0,$ тоді

$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda .$$

Доказ

З огляду на$\epsilon>0,$ існує$\delta>0$ таке, що

$$\lambda-\frac{\epsilon}{2}<\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}<\lambda+\frac{\epsilon}{2}$$

всякий раз, коли$x \in(a, a+\delta) .$ тепер, за узагальненою теоремою середнього значення, для будь-якого$x$ і$y$ з$a<x<y<a+\delta,$ існує точка$c \in(x, y)$ така, що

$$\frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}.$$

Звідси

$$\lambda-\frac{\epsilon}{2}<\frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}<\lambda+\frac{\epsilon}{2}.$$

Зараз

$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}=\frac{f(y)}{g(y)}$$

і тому у нас є

$$\lambda-\epsilon<\lambda-\frac{\epsilon}{2} \leq \frac{f(y)}{g(y)} \leq \lambda+\frac{\epsilon}{2}<\lambda+\epsilon$$

для будь-якого$y \in(a, a+\delta) .$ Звідси

$$\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda .$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте правило l'hôpital для обчислення

$$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо$g$,$a, b \in \mathbb{R}, f$ і диференційовані$(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$ для всіх$x \in(a, b),$ і

$$\lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\lambda . \nonumber$$

Покажіть, що якщо$\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=0$ і$\lim _{x \rightarrow b^{-}} g(x)=0,$ тоді

$$\lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda . \nonumber$$