Processing math: 100%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2: Похідні

Визначення

Припустимо,DR,f:DR,a це внутрішня точкаD, іf диференціюється вa. Ми називаємо

limxaf(x)f(a)xa

похіднаf приa, якій ми позначаємоf(a).

Зверніть увагу, що якщоf є диференційованим вa, то

limxaf(x)f(a)xa=limh0f(a+h)f(a)h.

Визначення

ПрипустимоE,DR,f:DR, і є сукупністю внутрішніх точок,D при якихf диференційована. Викликаємо функцію,f:ER визначену

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

похідне відf.

Приклад6.2.1

ДозвольтеnZ+ іf:RR визначтеf(x)=xn. потім

f(x)=limh0(x+h)nxnh=limh0xn+nxn1h+nk=2(nk)xnkhkxnh=limh0(nxn1+nk=2(nk)xnkhk1)=nxn1.

Приклад6.2.2

Визначтеf:RR заf(x)=|x|. потім

f(0+h)f(0)h=|h|h={1, if h>0,1, if h<0.

Звідси

limh0f(0+h)f(0)h=1

і

limh0+f(0+h)f(0)h=1.

Таким чиномf, не диференціюється при0.

Вправа6.2.1

Покажіть, що якщоcR іf(x)=c для всіх,xR, тоf(x)=0 для всіхxR.

Вправа6.2.2

Визначитиf:[0,+)[0,+) заf(x)=x. Show,f:(0,+)(0,+) що задається

f(x)=12x.

Вправа6.2.3

Визначитиf:RR по

f(x)={x, if x<0,x2, if x0.

fДиференційована при0?

Вправа6.2.4

Визначитиf:RR по

f(x)={x2, if x<0,x3, if x0.

fДиференційована при0?

Пропозиція6.2.1

Якщоf диференційована приa,f то безперервна приa.

Доказ

Якщоf диференційований вa, то

limxa(f(x)f(a))=limxa(f(x)f(a)xa)(xa)=f(a)(0)=0.

Звідсиlimxaf(x)=f(a), іf так безперервно приa. Q.E.D.

6.2.1 Правила

Пропозиція6.2.2

fПрипустимо,a диференційований в аαR. потімαf диференційований приa і(αf)(a)=αf(a).

Вправа6.2.5

Доведіть попередню пропозицію.

Пропозиція6.2.3

Припустимоg,f і обидва диференційовані приa. Тодіf+g диференційований приa і(f+g)(a)=f(a)+g(a).

Вправа6.2.6

Доведіть попередню пропозицію.

Пропозиція6.2.4

(Правило продукту).

Припустимоg,f і обидва диференційовані при а Потімfg диференційовний приa і

(fg)(a)=f(a)g(a)+g(a)f(a).

Доказ

У нас є

(fg)(a)=limh0f(a+h)g(a+h)f(a)g(a)h=limh0f(a+h)g(a+h)f(a)g(a+h)+f(a)g(a+h)f(a)g(a)h=limh0(g(a+h)f(a+h)f(a)h+f(a)g(a+h)g(a)h)=g(a)f(a)+f(a)g(a).

де ми знаємоlimh0g(a+h)=g(a) безперервністьg приa, якій, в свою чергу, випливає з припущення, якеg диференціюється вa. Q.E.D.

Вправа6.2.7

ВраховуючиnZ+ таf(x)=xn, використовуйте індукцію та правило продукту, щоб показати цеf(x)=nxn1.

Пропозиція6.2.5

(Правило частки).

ПрипустимоDR,f:DR,g:DR,a є в інтер'єріD, іg(x)0 для всіхxD. Якщоf іg обидва диференціюються приa, тоfg диференціюється приa і

(fg)(a)=g(a)f(a)f(a)g(a)(g(a))2.

Доказ

(fg)(a)=limh0f(a+h)g(a+h)f(a)g(a)h=limh0f(a+h)g(a)f(a)g(a+h)hg(a+h)g(a)=limh0f(a+h)g(a)f(a)g(a)+f(a)g(a)f(a)g(a+h)hg(a+h)g(a)=limh0g(a)f(a+h)f(a)hf(a)g(a+h)g(a)hg(a+h)g(a)=g(a)f(a)f(a)g(a)(g(a))2;

де ми знаємоlimh0g(a+h)=g(a) безперервністьg приa, якій, в свою чергу, випливає з припущення, якеg диференціюється вa. Q.E.D.

Вправа6.2.8

Показати, що для будь-якого цілого числа,n0, якщоf(x)=xn, тодіf(x)=nxn1.

Пропозиція6.2.6

(Правило ланцюга).

ПрипустимоDR,ER,g:DR,f:ER,g(D)E,g, диференційований приa, іf диференційований приg(a). Тодіfg диференційований приa і

(fg)(a)=f(g(a))g(a).

Доказ

Оскількиa є внутрішньою точкоюD іg(a) є внутрішньою точкою,E, ми можемо вибратиδ>0 так, що(aδ,a+δ)D іϵ>0 так(g(a)ϵ,g(a)+ϵ)E. Визначитиφ:(δ,δ)R по

φ(h)={g(a+h)g(a)g(a)hh, if h0,0, if h=0,

іψ:(ϵ,ϵ)R по

ψ(h)={f(g(a)+h)f(g(a))f(g(a))hh, if h0,0, if h=0.

Припущення,g яке диференційовано наa означає, щоφ є безперервним при 0, а припущення, якеf диференційовано наg(a) означає, щоψ є безперервним при0. Крім того, зверніть увагу, що

g(a+h)=hφ(h)+g(a)h+g(a)

дляh(δ,δ) і

f(g(a)+h)=hψ(h)+f(g(a))h+f(g(a))

дляh(ϵ,ϵ). Від(6.2.12) нас є

f(g(a+h))=f(hφ(h)+g(a)h+g(a))

наh(δ,δ). даний момент

limh0(hφ(h)+g(a)h)=0,

тому ми можемо вибратиγ>0 так, щобγδ і

|hφ(h)+g(a)h|<ϵ

всякий раз, колиh(γ,γ). таким чином, використовуючи(6.2.13) і(6.2.14),

f(g(a+h))=(hφ(h)+g(a)h)ψ(hφ(h)+g(a)h)+f(g(a))(hφ(h)+g(a)h)+f(g(a)),

тому

f(g(a+h))f(g(a))=(hφ(h)+g(a)h)ψ(hφ(h)+g(a)h)+f(g(a))(hφ(h)+g(a)h)=hφ(h)ψ(hφ(h)+g(a)h)+hg(a)ψ(hφ(h)+g(a)h)+f(g(a))φ(h)h+f(g(a))g(a)h.

Звідси

f(g(a+h))f(g(a))h=f(g(a))g(a)+φ(h)ψ(hφ(h)+g(a)h)+g(a)ψ(hφ(h)+g(a)h)+f(g(a))φ(h).

Зараз

limh0φ(h)=0,

limh0(hφ(h)+g(a)h)=0,

і, так якφ іψ є безперервними при 0,

limh0ψ(hφ(h)+g(a)h)=0.

Таким чином

limh0f(g(a+h))f(g(a))h=f(g(a))g(a).

Q.E.D.

Пропозиція6.2.7

ПрипустимоDR,f:DR, один до одного,a знаходиться в інтер'єріD,f(a) знаходиться в інтер'єрі з безперервний вf(a), іf диференційований приa зf(a)0. Потімf1 диференціюється приf(a) іf(D),f1

(f1)(f(a))=1f(a).

Доказ

Вибираємоδ>0 так, щоб(f(a)δ,f(a)+δ)f(D). дляh(δ,δ), нехай

k=f1(f(a)+h)a.

Тоді

f1(f(a)+h)=a+k,

тому

f(a)+h=f(a+k)

і

h=f(a+k)f(a).

Звідси

f1(f(a)+h)f1(f(a))h=a+kaf(a+k)f(a)=1f(a+k)f(a)k.

Тепер, якщоh0, then k0 (since f1 is continuous at f(a)), і так

limh0f1(f(a)+h)f1(f(a))h=limk01f(a+k)f(a)k=1f(a).

Q.E.D.

Приклад6.2.3

БоnZ+, визначитиf:[0,+)R поf(x)=nx. Тодіf є оберненоюg:[0,+)R визначеноюg(x)=xn. Таким чином, для будь-якогоx(0,+),

f(x)=1g(f(x))=1n(nx)n1=1nx1n1.

Вправа6.2.9

n0Дозволяти раціональне число і нехайf(x)=xn. Показати, щоf(x)=nxn1.