6.6: Теорема Тейлора
- Page ID
- 62428
6.6.1 Похідні вищого порядку
Припустимо,\(f\) диференційовний на відкритому інтервалі\(I\) і\(f^{\prime}\) диференційовний на\(a \in I .\) Ми називаємо\(a\) похідну\(f^{\prime}\) при другій похідній,\(f\) при\(a,\) якій ми позначимо\(f^{\prime \prime}(a)\).
Продовжуючи диференціацію, ми можемо визначити\(f^{\prime \prime \prime},\)\(f^{\prime \prime \prime \prime},\) похідні вищого порядку тощо. Загалом, для будь-якого цілого числа\(n, n \geq 0,\) ми дозволимо\(f^{(n)}\) позначити\(n\) й похідну\(f,\) де\(f^{(0)}\) позначає\(f\).
Припустимо,\(D \subset \mathbb{R}, a\) це внутрішня точка\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і\(f^{\prime \prime}(a)\) існує. Покажіть, що
\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a).\]
Знайдіть приклад, щоб проілюструвати, що ця межа може існувати, навіть якщо вона\(f^{\prime \prime}(a)\) не існує.
Для будь-якого відкритого інтервалу,\((a, b),\) де\(a\) і\(b\) є розширеними дійсними числами, ми\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) дозволимо\(C^{(n)}(a, b),\) де позначити множину всіх функцій\(f\) з властивістю, що кожна з визначена і безперервна на\(f, f^{(1)}, f^{(2)}, \ldots, f^{(n)}\)\((a, b) .\)
6.6.2 Теорема Тейлора
(Теорема Тейлора).
Припустимо\(f^{(n)}\),\(f \in C^{(n)}(a, b)\) і диференціюється на\((a, b) .\) Нехай\(\alpha, \beta \in(a, b)\) з\(\alpha \neq \beta,\) і нехай
\[\begin{aligned} P(x)=f(&\alpha)+f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)+\frac{f^{\prime \prime}(\alpha)}{2}(x-\alpha)^{2}+\cdots \\ &+\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n !}(x-\alpha)^{n} \\=& \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k !}(x-\alpha)^{k}. \end{aligned}\]
Тоді існує точка\(\gamma\) між\(\alpha\) і\(\beta\) таким, що
\[f(\beta)=P(\beta)+\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}(\beta-\alpha)^{n+1}.\]
- Доказ
-
Спочатку зверніть увагу, що\(P^{(k)}(\alpha)=f^{(k)}(\alpha)\) для\(k=0,1, \ldots, n .\) Let
\[M=\frac{f(\beta)-P(\beta)}{(\beta-\alpha)^{n+1}}.\]
Тоді
\[f(\beta)=P(\beta)+M(\beta-\alpha)^{n+1}.\]
Нам потрібно показати, що
\[M=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}\]
для деяких\(\gamma\) між\(\alpha\) і\(\beta .\) нехай
\[g(x)=f(x)-P(x)-M(x-\alpha)^{n+1}.\]
Тоді, для того\(k=0,1, \ldots, n\),
\[g^{(k)}(\alpha)=f^{(k)}(\alpha)-P^{(k)}(\alpha)=0.\]
Тепер\(g(\beta)=0,\) так, за теоремою Ролле, існує\(\gamma_{1}\) між\(\alpha\) і\(\beta\) такі, що\(g^{\prime}\left(\gamma_{1}\right)=0 .\) Використовуючи теорему Ролла знову, ми бачимо, що існує\(\gamma_{2}\) між\(\alpha\) і\(\gamma_{1}\) такі, що\(g^{\prime \prime}\left(\gamma_{2}\right)=0 .\) Продовжуючи\(n+1\) кроки, ми знаходимо\(\gamma_{n+1}\) між \(\left.\alpha \text { and } \gamma_{n} \text { (and hence between } \alpha \text { and } \beta\right)\)такі, що\(g^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)=0 .\) Звідси
\[0=g^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)=f^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)-(n+1) ! M.\]
\(\gamma=\gamma_{n+1},\)Дозволивши нам
\[M=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !},\]
як потрібно. \(\quad\)Q.E.D.
Ми називаємо поліном\(P\) у твердженні теореми Тейлора поліном порядку Тейлора\(n\) для\(f\) at\(\alpha .\)
Нехай\(f(x)=\sqrt{x} .\) тоді поліном Тейлора 4-го порядку для\(f\) 1 є
\[P(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{16}(x-1)^{3}-\frac{5}{128}(x-1)^{4}.\]
За теоремою Тейлора, для будь-якого\(x>0\) існує\(\gamma\) між 1 і\(x\) таким, що
\[\sqrt{x}=P(x)+\frac{105}{(32)(5 !) \gamma^{\frac{9}{2}}}(x-1)^{5}=P(x)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(x-1)^{5}.\]
Наприклад,
\[\sqrt{1.2}=P(1.2)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(1.2-1)^{5}=P(1.2)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(0.2)^{5}=P(1.2)+\frac{7}{800000 \gamma^{\frac{9}{2}}},\]
для деяких\(\gamma\) з\(1<\gamma<1.2 .\) Звідси\(P(1.2)\) недооцінюється\(\sqrt{1.2}\) значенням, яке не більше, ніж\(\frac{7}{80000} .\) Зауважте, що
\[P(1.2)=\frac{17527}{16000}=1.0954375\]
і
\[\frac{7}{800000}=0.00000875.\]
Так\(\sqrt{1.2}\) лежить між 1.0954375 і 1.09544625.
Використовуйте поліном Тейлора 5-го порядку для\(f(x)=\sqrt{x}\) 1 для оцінки\(\sqrt{1.2}\). Це недооцінка або завищення? Знайдіть верхню межу для найбільшої суми, на яку кошторис і\(\sqrt{1.2}\) відрізняються.
Знайдіть поліном Тейлора 3-го порядку для\(f(x)=\sqrt[3]{1+x}\) 0 і використовуйте його для оцінки\(\sqrt[3]{1.1}\). Це недооцінка або завищення? Знайдіть верхню межу для найбільшої суми, на яку кошторис і\(\sqrt[3]{1.1}\) відрізняються.
Припустимо,\(f \in C^{(2)}(a, b) .\) використовуйте теорему Тейлора, щоб показати, що
\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)+f(c-h)-2 f(c)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(c)\]
для будь-якого\(c \in(a, b)\).
Припустимо, що\(f \in C^{(1)}(a, b), c \in(a, b), f^{\prime}(c)=0,\)\((a, b)\) і\(f^{\prime \prime}\) існує на і є безперервним у\(c .\) Show, який\(f\) має локальний максимум в\(c\) if\(f^{\prime \prime}(c)<0\) і локальний мінімум при\(c\) if\(f^{\prime \prime}(c)>0 .\)