6.6: Теорема Тейлора

6.6.1 Похідні вищого порядку

Визначення

Припустимо,$f$ диференційовний на відкритому інтервалі$I$ і$f^{\prime}$ диференційовний на$a \in I .$ Ми називаємо$a$ похідну$f^{\prime}$ при другій похідній,$f$ при$a,$ якій ми позначимо$f^{\prime \prime}(a)$.

Продовжуючи диференціацію, ми можемо визначити$f^{\prime \prime \prime},$$f^{\prime \prime \prime \prime},$ похідні вищого порядку тощо. Загалом, для будь-якого цілого числа$n, n \geq 0,$ ми дозволимо$f^{(n)}$ позначити$n$ й похідну$f,$ де$f^{(0)}$ позначає$f$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо,$D \subset \mathbb{R}, a$ це внутрішня точка$D, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і$f^{\prime \prime}(a)$ існує. Покажіть, що

$$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a).$$

Знайдіть приклад, щоб проілюструвати, що ця межа може існувати, навіть якщо вона$f^{\prime \prime}(a)$ не існує.

Для будь-якого відкритого інтервалу,$(a, b),$ де$a$ і$b$ є розширеними дійсними числами, ми$n \in \mathbb{Z}^{+},$ дозволимо$C^{(n)}(a, b),$ де позначити множину всіх функцій$f$ з властивістю, що кожна з визначена і безперервна на$f, f^{(1)}, f^{(2)}, \ldots, f^{(n)}$$(a, b) .$

6.6.2 Теорема Тейлора

Теорема$\PageIndex{1}$

(Теорема Тейлора).

Припустимо$f^{(n)}$,$f \in C^{(n)}(a, b)$ і диференціюється на$(a, b) .$ Нехай$\alpha, \beta \in(a, b)$ з$\alpha \neq \beta,$ і нехай

$$\begin{aligned} P(x)=f(&\alpha)+f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)+\frac{f^{\prime \prime}(\alpha)}{2}(x-\alpha)^{2}+\cdots \\ &+\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n !}(x-\alpha)^{n} \\=& \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k !}(x-\alpha)^{k}. \end{aligned}$$

Тоді існує точка$\gamma$ між$\alpha$ і$\beta$ таким, що

$$f(\beta)=P(\beta)+\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}(\beta-\alpha)^{n+1}.$$

Доказ

Спочатку зверніть увагу, що$P^{(k)}(\alpha)=f^{(k)}(\alpha)$ для$k=0,1, \ldots, n .$ Let

$$M=\frac{f(\beta)-P(\beta)}{(\beta-\alpha)^{n+1}}.$$

Тоді

$$f(\beta)=P(\beta)+M(\beta-\alpha)^{n+1}.$$

Нам потрібно показати, що

$$M=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}$$

для деяких$\gamma$ між$\alpha$ і$\beta .$ нехай

$$g(x)=f(x)-P(x)-M(x-\alpha)^{n+1}.$$

Тоді, для того$k=0,1, \ldots, n$,

$$g^{(k)}(\alpha)=f^{(k)}(\alpha)-P^{(k)}(\alpha)=0.$$

Тепер$g(\beta)=0,$ так, за теоремою Ролле, існує$\gamma_{1}$ між$\alpha$ і$\beta$ такі, що$g^{\prime}\left(\gamma_{1}\right)=0 .$ Використовуючи теорему Ролла знову, ми бачимо, що існує$\gamma_{2}$ між$\alpha$ і$\gamma_{1}$ такі, що$g^{\prime \prime}\left(\gamma_{2}\right)=0 .$ Продовжуючи$n+1$ кроки, ми знаходимо$\gamma_{n+1}$ між $\left.\alpha \text { and } \gamma_{n} \text { (and hence between } \alpha \text { and } \beta\right)$такі, що$g^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)=0 .$ Звідси

$$0=g^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)=f^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)-(n+1) ! M.$$

$\gamma=\gamma_{n+1},$Дозволивши нам

$$M=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !},$$

як потрібно. $\quad$Q.E.D.

Ми називаємо поліном$P$ у твердженні теореми Тейлора поліном порядку Тейлора$n$ для$f$ at$\alpha .$

Приклад$\PageIndex{1}$

Нехай$f(x)=\sqrt{x} .$ тоді поліном Тейлора 4-го порядку для$f$ 1 є

$$P(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{16}(x-1)^{3}-\frac{5}{128}(x-1)^{4}.$$

За теоремою Тейлора, для будь-якого$x>0$ існує$\gamma$ між 1 і$x$ таким, що

$$\sqrt{x}=P(x)+\frac{105}{(32)(5 !) \gamma^{\frac{9}{2}}}(x-1)^{5}=P(x)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(x-1)^{5}.$$

Наприклад,

$$\sqrt{1.2}=P(1.2)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(1.2-1)^{5}=P(1.2)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(0.2)^{5}=P(1.2)+\frac{7}{800000 \gamma^{\frac{9}{2}}},$$

для деяких$\gamma$ з$1<\gamma<1.2 .$ Звідси$P(1.2)$ недооцінюється$\sqrt{1.2}$ значенням, яке не більше, ніж$\frac{7}{80000} .$ Зауважте, що

$$P(1.2)=\frac{17527}{16000}=1.0954375$$

і

$$\frac{7}{800000}=0.00000875.$$

Так$\sqrt{1.2}$ лежить між 1.0954375 і 1.09544625.

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте поліном Тейлора 5-го порядку для$f(x)=\sqrt{x}$ 1 для оцінки$\sqrt{1.2}$. Це недооцінка або завищення? Знайдіть верхню межу для найбільшої суми, на яку кошторис і$\sqrt{1.2}$ відрізняються.

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайдіть поліном Тейлора 3-го порядку для$f(x)=\sqrt[3]{1+x}$ 0 і використовуйте його для оцінки$\sqrt[3]{1.1}$. Це недооцінка або завищення? Знайдіть верхню межу для найбільшої суми, на яку кошторис і$\sqrt[3]{1.1}$ відрізняються.

Вправа$\PageIndex{4}$

Припустимо,$f \in C^{(2)}(a, b) .$ використовуйте теорему Тейлора, щоб показати, що

$$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)+f(c-h)-2 f(c)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(c)$$

для будь-якого$c \in(a, b)$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Припустимо, що$f \in C^{(1)}(a, b), c \in(a, b), f^{\prime}(c)=0,$$(a, b)$ і$f^{\prime \prime}$ існує на і є безперервним у$c .$ Show, який$f$ має локальний максимум в$c$ if$f^{\prime \prime}(c)<0$ і локальний мінімум при$c$ if$f^{\prime \prime}(c)>0 .$