6.1: Найкращі лінійні наближення
- Page ID
- 62429
Ми говоримо,\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) що функція лінійна, якщо для кожного\(x, y \in \mathbb{R}\),
\[f(x+y)=f(x)+f(y)\]
і для кожного\(\alpha \in \mathbb{R}\) і\(x \in \mathbb{R}\),
\[f(\alpha x)=\alpha f(x).\]
Покажіть,\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) що якщо лінійний, то існує\(m \in \mathbb{R}\) такий, що\(f(x)=m x\) для всіх\(x \in \mathbb{R}\).
Припустимо\(a\),\(D \in \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і є внутрішньою точкою\(D\). Ми говоримо\(f\), що диференційовний\(a\) при наявності лінійної функції\(d f_{a}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) такий, що
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)-d f_{a}(x-a)}{x-a}=0.\]
Ми називаємо функцію\(d f_{a}\) найкращим лінійним наближенням до\(f\) at\(a,\) або диференціалом\(f\) at\(a .\)
Припустимо\(a\),\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) і є внутрішньою точкою\(D .\) Тоді\(f\) диференційована в\(a\) якщо і тільки якщо
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
існує, в такому випадку,\(d f_{a}(x)=m x\) коли
\[m=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
- Доказ
-
Нехай\(m \in \mathbb{R}\) і нехай\(L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) буде лінійна функція\(L(x)=m x .\) Тоді
\[\begin{aligned} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a} &=\frac{f(x)-f(a)-m(x-a)}{x-a} \\ &=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-m. \end{aligned}\]
Звідси
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a}=0\]
якщо і тільки якщо
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=m.\]
Q.E.D.