6.1: Найкращі лінійні наближення

Визначення

Ми говоримо,$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ що функція лінійна, якщо для кожного$x, y \in \mathbb{R}$,

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

і для кожного$\alpha \in \mathbb{R}$ і$x \in \mathbb{R}$,

$$f(\alpha x)=\alpha f(x).$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Покажіть,$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ що якщо лінійний, то існує$m \in \mathbb{R}$ такий, що$f(x)=m x$ для всіх$x \in \mathbb{R}$.

Визначення

Припустимо$a$,$D \in \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і є внутрішньою точкою$D$. Ми говоримо$f$, що диференційовний$a$ при наявності лінійної функції$d f_{a}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такий, що

$$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)-d f_{a}(x-a)}{x-a}=0.$$

Ми називаємо функцію$d f_{a}$ найкращим лінійним наближенням до$f$ at$a,$ або диференціалом$f$ at$a .$

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Припустимо$a$,$D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},$ і є внутрішньою точкою$D .$ Тоді$f$ диференційована в$a$ якщо і тільки якщо

$$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

існує, в такому випадку,$d f_{a}(x)=m x$ коли

$$m=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Доказ

Нехай$m \in \mathbb{R}$ і нехай$L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ буде лінійна функція$L(x)=m x .$ Тоді

$$\begin{aligned} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a} &=\frac{f(x)-f(a)-m(x-a)}{x-a} \\ &=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-m. \end{aligned}$$

Звідси

$$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a}=0$$

якщо і тільки якщо

$$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=m.$$

Q.E.D.