11.5: Вимірювані набори Йорданії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62711

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Обсяг і Йорданія вимірювані набори

З огляду на обмежену множину,$S \subset {\mathbb{R}}^n$ його характеристична функція або \[\chi_S(x) := \begin{cases} 1 & \text{ if $x \in S$} \\ 0 & \text{ if $x \notin S$}. \end{cases}\]індикаторна функція є обмеженою$S$ множиною, як кажуть, бути Jordan вимірюваним, якщо для деякого замкнутого прямокутника$S \subset R$,$R$ такого, що функція$\chi_S$ знаходиться в${\mathcal{R}}(R)$. Візьміть два замкнутих прямокутника$R$$S \subset R$ і$R'$ з і$S \subset R'$, потім$R \cap R'$ є замкнутий прямокутник також містить$S$. За і, а отже,$\chi_S \in {\mathcal{R}}(R \cap R')$ і$\chi_S \in {\mathcal{R}}(R')$, крім того,\[\int_R \chi_S = \int_{R'} \chi_S = \int_{R \cap R'} \chi_S.\] Ми визначаємо $n$-мірний об'єм обмеженого Jordan вимірюваного множини,$S$ як\[V(S) := \int_R \chi_S ,\] де$R$ знаходиться будь-який замкнутий прямокутник, що містить$S$.

Обмежена множина$S \subset {\mathbb{R}}^n$ є Jordan вимірюваною тоді і лише тоді, коли межа$\partial S$ є нульовим набором міри.

Припустимо,$R$ це замкнутий прямокутник$S$ такий, що міститься в інтер'єрі$R$. Якщо$x \in \partial S$, то для кожного$\delta > 0$ множини$S \cap B(x,\delta)$ (де$\chi_S$ 1) і$(R \setminus S) \cap B(x,\delta)$ множини (де$\chi_S$ 0) є непорожніми. Так$\chi_S$ що не безперервно при$x$. Якщо$x$ або в інтер'єрі$S$ або в доповненні до закриття$\overline{S}$, то$\chi_S$ є або однаково 1 або однаково 0 в цілому районі$x$ і, отже,$\chi_S$ є безперервним в$x$. Тому сукупність розривів$\chi_S$ є саме межею$\partial S$. Далі випливає пропозиція.

Доказ наступної пропозиції залишають як вправу.

[prop:jordanmeas] Припустимо, що$S$ і$T$ є обмеженими Йорданом вимірюваними множинами. Тоді

Закриття$\overline{S}$ Йорданія вимірна.
Інтер'єр$S^\circ$ Йорданії вимірний.
$S \cup T$є Йорданія вимірна.
$S \cap T$є Йорданія вимірна.
$S \setminus T$є Йорданія вимірна.

ФІКСУВАТИ

Якщо$S \subset {\mathbb{R}}^n$ Йорданія вимірна тоді$V(S) = m^*(S)$.

Задано$\epsilon > 0$, нехай$R$ буде замкнутий прямокутник, який містить$S$. Дозволяти$P$ бути розділ$R$ таких, що\[U(P,\chi_S) \leq \int_R \chi_S + \epsilon = V(S) + \epsilon \qquad \text{and} \qquad L(P,\chi_S) \geq \int_R \chi_S - \epsilon = V(S)-\epsilon.\] Дозволяти$R_1,\ldots,R_k$ бути всі підпрямокутники$P$ таких,$\chi_S$ що не однаково нуль на кожному$R_j$. Тобто є якийсь момент$x \in R_j$ такий, що$x \in S$. $O_j$Дозволяти бути відкритий прямокутник такий, що$R_j \subset O_j$ і$V(O_j) < V(R_j) + \nicefrac{\epsilon}{k}$. Зауважте, що$S \subset \bigcup_j O_j$. Тоді\[U(P,\chi_S) = \sum_{j=1}^k V(R_k) > \left(\sum_{j=1}^k V(O_k)\right) - \epsilon \geq m^*(S) - \epsilon .\] як$U(P,\chi_S) \leq V(S) + \epsilon$, то$m^*(S) - \epsilon \leq V(S) + \epsilon$, або іншими словами$m^*(S) \leq V(S)$.

Тепер давайте всі$R'_1,\ldots,R'_\ell$ підпрямокутники$P$ таких,$\chi_S$ що однаково один на кожному$R'_j$. Іншими словами, це підпрямокутники, що містяться в$S$. Інтер'єри підпрямокутників$R'^\circ_j$ нероз'ємні і$V(R'^\circ_j) = V(R'_j)$. З визначення легко побачити, що\[m^*\Bigl(\bigcup_{j=1}^\ell R'^\circ_j\Bigr) = \sum_{j=1}^\ell V(R'^\circ_j) .\] Отже\[m^*(S) \geq m^*\Bigl(\bigcup_{j=1}^\ell R'_j\Bigr) \geq m^*\Bigl(\bigcup_{j=1}^\ell R'^\circ_j\Bigr) %= %\sum_{j=1}^\ell %m^*(R'^\circ_j) = \sum_{j=1}^\ell V(R'^\circ_j) = \sum_{j=1}^\ell V(R'_j) = L(P,f) \geq V(S) - \epsilon .\] Отже, а$m^*(S) \geq V(S)$ також.

Інтеграція над Йорданією вимірюваних наборів

В одній змінній дійсно є лише один тип розумного набору для інтеграції: інтервал. У декількох змінних у нас є багато дуже простих наборів, які ми могли б хотіти інтегрувати, і вони не можуть бути описані так легко.

$S \subset {\mathbb{R}}^n$Дозволяти бути обмежений Jordan вимірний набір. Обмежена функція, як кажуть,$f \colon S \to {\mathbb{R}}$ є Riemann інтегрується на$S$ якщо для замкнутого прямокутника$R$ таким чином$S \subset R$, що функція$\widetilde{f} \colon R \to {\mathbb{R}}$\[\widetilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{ if $x \in S$}, \\ 0 & \text{ otherwise}, \end{cases}\] визначена знаходиться в${\mathcal{R}}(R)$. В даному випадку пишемо\[\int_S f := \int_R \widetilde{f}.\]

Коли$f$ визначено на більшому наборі, і ми хочемо інтегрувати більше$S$, то ми застосовуємо визначення до обмеження$f|_S$. Зокрема, зауважте, що якщо$f \colon R \to {\mathbb{R}}$ для замкнутого прямокутника$R$, і$S \subset R$ є Jordan вимірювана підмножина, то\[\int_S f = \int_R f \chi_S .\]

ФІКСУВАТИ

Зображення вимірюваних підмножин Йорданії

Доведемо наступне FIXME. Нам знадобиться тільки цей простий

Припустимо,$S \subset {\mathbb{R}}^n$ це замкнутий обмежений Jordan вимірюваний набір, а$S \subset U$ для відкритого набору$U \subset {\mathbb{R}}^n$. $g \colon U \to {\mathbb{R}}^n$Це один до одного безперервно диференційоване відображення таке, що ніколи не$J_g$ дорівнює нулю$S$. Тоді$g(S)$ Йорданія вимірна.

Нехай$T = g(S)$. Ми стверджуємо, що$\partial T$ межа міститься в множині$g(\partial S)$. Припустимо, претензія доведена. Як і$S$ Йордан вимірюваний, то$\partial S$ вимірюється нуль. Потім$g(\partial S)$ вимірюється нуль по. Як$\partial T \subset g(\partial S)$, тоді$T$ Йорданія вимірна.

Тому залишається довести претензію. По-перше,$S$ закритий і обмежений і, отже, компактний. За,$T = g(S)$ також компактний і тому закритий. Зокрема$\partial T \subset T$. Припустимо$y \in \partial T$, тоді має існувати$x \in S$ таке, що$g(x) = y$. Якобійський з$g$ є ненульовим в$x$.

Тепер ми використовуємо теорему про обернену функцію. Ми знаходимо$V \subset U$ сусідство$x$ і відкриту множину$W$ таким чином, що обмеження$f|_V$ є один до одного і на функцію від$V$ до$W$ з безперервно диференційованим оберненим. Зокрема$g(x) = y \in W$. Як$y \in \partial T$, існує послідовність$\{ y_k \}$ в$W$ з$\lim y_k = y$ і$y_k \notin T$. Оскільки$g|_V$ є оборотним і, зокрема, має безперервний зворотний, існує послідовність$\{ x_k \}$ в$V$ такій, що$g(x_k) = y_k$ і$\lim x_k = x$. З тих пір$y_k \notin T = g(S)$, зрозуміло$x_k \notin S$. З тих пір$x \in S$, ми робимо висновок, що$x \in \partial S$. Претензія доведена,$\partial T \subset g(\partial S)$.

Вправи

Доведіть.

Доведіть, що обмежений опуклий набір Jordan вимірні. Підказка: індукція на розмірність.

ФІКСУВАТИ