Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.5: Вимірювані набори Йорданії

Обсяг і Йорданія вимірювані набори

З огляду на обмежену множину,SRn його характеристична функція або χS(x):={1 if xS0 if xS.індикаторна функція є обмеженоюS множиною, як кажуть, бути Jordan вимірюваним, якщо для деякого замкнутого прямокутникаSR,R такого, що функціяχS знаходиться вR(R). Візьміть два замкнутих прямокутникаRSR іR з іSR, потімRR є замкнутий прямокутник також міститьS. За і, а отже,χSR(RR) іχSR(R), крім того,RχS=RχS=RRχS. Ми визначаємо n-мірний об'єм обмеженого Jordan вимірюваного множини,S якV(S):=RχS, деR знаходиться будь-який замкнутий прямокутник, що міститьS.

Обмежена множинаSRn є Jordan вимірюваною тоді і лише тоді, коли межаS є нульовим набором міри.

Припустимо,R це замкнутий прямокутникS такий, що міститься в інтер'єріR. ЯкщоxS, то для кожногоδ>0 множиниSB(x,δ) (деχS 1) і(RS)B(x,δ) множини (деχS 0) є непорожніми. ТакχS що не безперервно приx. Якщоx або в інтер'єріS або в доповненні до закриття¯S, тоχS є або однаково 1 або однаково 0 в цілому районіx і, отже,χS є безперервним вx. Тому сукупність розривівχS є саме межеюS. Далі випливає пропозиція.

Доказ наступної пропозиції залишають як вправу.

[prop:jordanmeas] Припустимо, щоS іT є обмеженими Йорданом вимірюваними множинами. Тоді

  1. Закриття¯S Йорданія вимірна.
  2. Інтер'єрS Йорданії вимірний.
  3. STє Йорданія вимірна.
  4. STє Йорданія вимірна.
  5. STє Йорданія вимірна.

ФІКСУВАТИ

ЯкщоSRn Йорданія вимірна тодіV(S)=m(S).

Заданоϵ>0, нехайR буде замкнутий прямокутник, який міститьS. ДозволятиP бути розділR таких, щоU(P,χS)RχS+ϵ=V(S)+ϵandL(P,χS)RχSϵ=V(S)ϵ. ДозволятиR1,,Rk бути всі підпрямокутникиP таких,χS що не однаково нуль на кожномуRj. Тобто є якийсь моментxRj такий, щоxS. OjДозволяти бути відкритий прямокутник такий, щоRjOj іV(Oj)<V(Rj)+\nicefracϵk. Зауважте, щоSjOj. ТодіU(P,χS)=kj=1V(Rk)>(kj=1V(Ok))ϵm(S)ϵ. якU(P,χS)V(S)+ϵ, тоm(S)ϵV(S)+ϵ, або іншими словамиm(S)V(S).

Тепер давайте всіR1,,R підпрямокутникиP таких,χS що однаково один на кожномуRj. Іншими словами, це підпрямокутники, що містяться вS. Інтер'єри підпрямокутниківRj нероз'ємні іV(Rj)=V(Rj). З визначення легко побачити, щоm(j=1Rj)=j=1V(Rj). Отжеm(S)m(j=1Rj)m(j=1Rj) Отже, аm(S)V(S) також.

Інтеграція над Йорданією вимірюваних наборів

В одній змінній дійсно є лише один тип розумного набору для інтеграції: інтервал. У декількох змінних у нас є багато дуже простих наборів, які ми могли б хотіти інтегрувати, і вони не можуть бути описані так легко.

SRnДозволяти бути обмежений Jordan вимірний набір. Обмежена функція, як кажуть,f:SR є Riemann інтегрується наS якщо для замкнутого прямокутникаR таким чиномSR, що функція˜f:RR˜f(x)={f(x) if xS,0 otherwise, визначена знаходиться вR(R). В даному випадку пишемоSf:=R˜f.

Колиf визначено на більшому наборі, і ми хочемо інтегрувати більшеS, то ми застосовуємо визначення до обмеженняf|S. Зокрема, зауважте, що якщоf:RR для замкнутого прямокутникаR, іSR є Jordan вимірювана підмножина, тоSf=RfχS.

ФІКСУВАТИ

Зображення вимірюваних підмножин Йорданії

Доведемо наступне FIXME. Нам знадобиться тільки цей простий

Припустимо,SRn це замкнутий обмежений Jordan вимірюваний набір, аSU для відкритого наборуURn. g:URnЦе один до одного безперервно диференційоване відображення таке, що ніколи неJg дорівнює нулюS. Тодіg(S) Йорданія вимірна.

НехайT=g(S). Ми стверджуємо, щоT межа міститься в множиніg(S). Припустимо, претензія доведена. Як іS Йордан вимірюваний, тоS вимірюється нуль. Потімg(S) вимірюється нуль по. ЯкTg(S), тодіT Йорданія вимірна.

Тому залишається довести претензію. По-перше,S закритий і обмежений і, отже, компактний. За,T=g(S) також компактний і тому закритий. ЗокремаTT. ПрипустимоyT, тоді має існуватиxS таке, щоg(x)=y. Якобійський зg є ненульовим вx.

Тепер ми використовуємо теорему про обернену функцію. Ми знаходимоVU сусідствоx і відкриту множинуW таким чином, що обмеженняf|V є один до одного і на функцію відV доW з безперервно диференційованим оберненим. Зокремаg(x)=yW. ЯкyT, існує послідовність{yk} вW зlimyk=y іykT. Оскількиg|V є оборотним і, зокрема, має безперервний зворотний, існує послідовність{xk} вV такій, щоg(xk)=yk іlimxk=x. З тих пірykT=g(S), зрозумілоxkS. З тих пірxS, ми робимо висновок, щоxS. Претензія доведена,Tg(S).

Вправи

Доведіть.

Доведіть, що обмежений опуклий набір Jordan вимірні. Підказка: індукція на розмірність.

ФІКСУВАТИ