11.5: Вимірювані набори Йорданії
Обсяг і Йорданія вимірювані набори
З огляду на обмежену множину,S⊂Rn його характеристична функція або χS(x):={1 if x∈S0 if x∉S.індикаторна функція є обмеженоюS множиною, як кажуть, бути Jordan вимірюваним, якщо для деякого замкнутого прямокутникаS⊂R,R такого, що функціяχS знаходиться вR(R). Візьміть два замкнутих прямокутникаRS⊂R іR′ з іS⊂R′, потімR∩R′ є замкнутий прямокутник також міститьS. За і, а отже,χS∈R(R∩R′) іχS∈R(R′), крім того,∫RχS=∫R′χS=∫R∩R′χS. Ми визначаємо n-мірний об'єм обмеженого Jordan вимірюваного множини,S якV(S):=∫RχS, деR знаходиться будь-який замкнутий прямокутник, що міститьS.
Обмежена множинаS⊂Rn є Jordan вимірюваною тоді і лише тоді, коли межа∂S є нульовим набором міри.
Припустимо,R це замкнутий прямокутникS такий, що міститься в інтер'єріR. Якщоx∈∂S, то для кожногоδ>0 множиниS∩B(x,δ) (деχS 1) і(R∖S)∩B(x,δ) множини (деχS 0) є непорожніми. ТакχS що не безперервно приx. Якщоx або в інтер'єріS або в доповненні до закриття¯S, тоχS є або однаково 1 або однаково 0 в цілому районіx і, отже,χS є безперервним вx. Тому сукупність розривівχS є саме межею∂S. Далі випливає пропозиція.
Доказ наступної пропозиції залишають як вправу.
[prop:jordanmeas] Припустимо, щоS іT є обмеженими Йорданом вимірюваними множинами. Тоді
- Закриття¯S Йорданія вимірна.
- Інтер'єрS∘ Йорданії вимірний.
- S∪Tє Йорданія вимірна.
- S∩Tє Йорданія вимірна.
- S∖Tє Йорданія вимірна.
ФІКСУВАТИ
ЯкщоS⊂Rn Йорданія вимірна тодіV(S)=m∗(S).
Заданоϵ>0, нехайR буде замкнутий прямокутник, який міститьS. ДозволятиP бути розділR таких, щоU(P,χS)≤∫RχS+ϵ=V(S)+ϵandL(P,χS)≥∫RχS−ϵ=V(S)−ϵ. ДозволятиR1,…,Rk бути всі підпрямокутникиP таких,χS що не однаково нуль на кожномуRj. Тобто є якийсь моментx∈Rj такий, щоx∈S. OjДозволяти бути відкритий прямокутник такий, щоRj⊂Oj іV(Oj)<V(Rj)+\nicefracϵk. Зауважте, щоS⊂⋃jOj. ТодіU(P,χS)=k∑j=1V(Rk)>(k∑j=1V(Ok))−ϵ≥m∗(S)−ϵ. якU(P,χS)≤V(S)+ϵ, тоm∗(S)−ϵ≤V(S)+ϵ, або іншими словамиm∗(S)≤V(S).
Тепер давайте всіR′1,…,R′ℓ підпрямокутникиP таких,χS що однаково один на кожномуR′j. Іншими словами, це підпрямокутники, що містяться вS. Інтер'єри підпрямокутниківR′∘j нероз'ємні іV(R′∘j)=V(R′j). З визначення легко побачити, щоm∗(ℓ⋃j=1R′∘j)=ℓ∑j=1V(R′∘j). Отжеm∗(S)≥m∗(ℓ⋃j=1R′j)≥m∗(ℓ⋃j=1R′∘j) Отже, аm∗(S)≥V(S) також.
Інтеграція над Йорданією вимірюваних наборів
В одній змінній дійсно є лише один тип розумного набору для інтеграції: інтервал. У декількох змінних у нас є багато дуже простих наборів, які ми могли б хотіти інтегрувати, і вони не можуть бути описані так легко.
S⊂RnДозволяти бути обмежений Jordan вимірний набір. Обмежена функція, як кажуть,f:S→R є Riemann інтегрується наS якщо для замкнутого прямокутникаR таким чиномS⊂R, що функція˜f:R→R˜f(x)={f(x) if x∈S,0 otherwise, визначена знаходиться вR(R). В даному випадку пишемо∫Sf:=∫R˜f.
Колиf визначено на більшому наборі, і ми хочемо інтегрувати більшеS, то ми застосовуємо визначення до обмеженняf|S. Зокрема, зауважте, що якщоf:R→R для замкнутого прямокутникаR, іS⊂R є Jordan вимірювана підмножина, то∫Sf=∫RfχS.
ФІКСУВАТИ
Зображення вимірюваних підмножин Йорданії
Доведемо наступне FIXME. Нам знадобиться тільки цей простий
Припустимо,S⊂Rn це замкнутий обмежений Jordan вимірюваний набір, аS⊂U для відкритого наборуU⊂Rn. g:U→RnЦе один до одного безперервно диференційоване відображення таке, що ніколи неJg дорівнює нулюS. Тодіg(S) Йорданія вимірна.
НехайT=g(S). Ми стверджуємо, що∂T межа міститься в множиніg(∂S). Припустимо, претензія доведена. Як іS Йордан вимірюваний, то∂S вимірюється нуль. Потімg(∂S) вимірюється нуль по. Як∂T⊂g(∂S), тодіT Йорданія вимірна.
Тому залишається довести претензію. По-перше,S закритий і обмежений і, отже, компактний. За,T=g(S) також компактний і тому закритий. Зокрема∂T⊂T. Припустимоy∈∂T, тоді має існуватиx∈S таке, щоg(x)=y. Якобійський зg є ненульовим вx.
Тепер ми використовуємо теорему про обернену функцію. Ми знаходимоV⊂U сусідствоx і відкриту множинуW таким чином, що обмеженняf|V є один до одного і на функцію відV доW з безперервно диференційованим оберненим. Зокремаg(x)=y∈W. Якy∈∂T, існує послідовність{yk} вW зlimyk=y іyk∉T. Оскількиg|V є оборотним і, зокрема, має безперервний зворотний, існує послідовність{xk} вV такій, щоg(xk)=yk іlimxk=x. З тих пірyk∉T=g(S), зрозумілоxk∉S. З тих пірx∈S, ми робимо висновок, щоx∈∂S. Претензія доведена,∂T⊂g(∂S).
Вправи
Доведіть.
Доведіть, що обмежений опуклий набір Jordan вимірні. Підказка: індукція на розмірність.
ФІКСУВАТИ