11.4E: Вправи

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Практика робить досконалим

Вправа $\PageIndex{15}$ Graph an Ellipse with Center at the Origin

У наступних вправах намалюйте графік кожного еліпса.

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$
$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$
$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{36}=1$
$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{36}=1$
$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$
$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$
$\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$
$4 x^{2}+25 y^{2}=100$
$16 x^{2}+9 y^{2}=144$
$16 x^{2}+36 y^{2}=576$
$9 x^{2}+25 y^{2}=225$

Відповідь

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (0, 5) та (0, від'ємним 5) та кінцевими точками другорядної осі (2, 0) та (від'ємні 2, 0). — Малюнок 11.3.38

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (0, 6) та (0, від'ємним 6) та кінцевими точками другорядної осі (5, 0) та (від'ємні 5, 0). — Малюнок 11.3.39

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (6, 0) та (від'ємними 6, 0) та кінцевими точками другорядної осі (0, 4) та (0, від'ємний 4). — Малюнок 11.3.40

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (0, 2) та (0, від'ємним 2) та кінцевими точками другорядної осі (1, 0) та (від'ємний 1, 0). — Малюнок 11.3.41

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (5, 0) та (від'ємними 5, 0) та кінцевими точками другорядної осі (0, 2) та (0, від'ємна 2). — Малюнок 11.3.42

11.

Вправа $\PageIndex{16}$ Find the Equation of an Ellipse with Center at the Origin

У наступних вправах знайдіть рівняння еліпса, показане на графіку.

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (0, 5) та (0, від'ємним 5) та кінцевими точками другорядної осі (від'ємні 3, 0) та (3, 0). — Малюнок 11.3.44

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (0, 4) та (0, від'ємним 4) та кінцевими точками другорядної осі (від'ємні 3, 0) та (3, 0). — Малюнок 11.3.46

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (0, 6) та (0, від'ємним 6) та кінцевими точками другорядної осі (від'ємні 4, 0) та (4, 0). — Малюнок 11.3.47

Відповідь

1. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$

3. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$

Вправа $\PageIndex{17}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

У наступних вправах намалюйте графік кожного еліпса.

$\frac{(x+1)^{2}}{4}+\frac{(y+6)^{2}}{25}=1$
$\frac{(x-3)^{2}}{25}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x+4)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$
$\frac{(x-4)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{16}=1$

Відповідь

Цей графік показує еліпс з центром (від'ємний 1, негативний 6, від'ємний 6, від'ємний 1) та (від'ємний 1, негативний 11) та кінцевими точками другорядної осі (від'ємний 3, від'ємний 6) та (1, негативний 6). — Малюнок 11.3.48

Цей графік показує еліпс з центром (від'ємний 4, 2, вершини (від'ємний 4, 5) і (від'ємний 4, негативний 1) і кінцевими точками другорядної осі (3, 1) і (від'ємний 6, 2) і (від'ємний 2, 2). — Малюнок 11.3.49

Вправа $\PageIndex{18}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

У наступних вправах графуйте кожне рівняння шляхом перекладу.

$\frac{(x-3)^{2}}{4}+\frac{(y-7)^{2}}{25}=1$
$\frac{(x+6)^{2}}{16}+\frac{(y+5)^{2}}{4}=1$
$\frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{25}=1$
$\frac{(x+5)^{2}}{36}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1$

Відповідь

Цей графік показує еліпс з центром (3, 7), вершинами (3, 2) та (3, 12) та кінцевими точками другорядної осі (1, 7) та (5, 7). — Малюнок 11.3.50

Цей графік показує еліпс з центром (5, від'ємний 4), вершинами (5, 1) і (5, негативним 9) і кінцевими точками другорядної осі (2, від'ємний 4) і (8, негативний 4). — Малюнок 11.3.51

Вправа $\PageIndex{19}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

У наступних вправах

Запишіть рівняння в стандартному вигляді і
Графік.

$25 x^{2}+9 y^{2}-100 x-54 y-44=0$
$4 x^{2}+25 y^{2}+8 x+100 y+4=0$
$4 x^{2}+25 y^{2}-24 x-64=0$
$9 x^{2}+4 y^{2}+56 y+160=0$

Відповідь

$\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y-3)^{2}}{25}=1$

Цей графік показує еліпс з центром (2, 3), вершинами (2, від'ємними 2) і (2, 8) і кінцевими точками другорядної осі (від'ємні 1, 3) і (5, 3). — Малюнок 11.3.52

$\frac{y^{2}}{4}+\frac{(x-3)^{2}}{25}=1$

Цей графік показує еліпс з центром (3, 0), вершинами (від'ємними 2, 0) та (8, 0) та кінцевими точками другорядної осі (3, 2) та (3, від'ємною 2). — Малюнок 11.3.53

Вправа $\PageIndex{20}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

У наступних вправах складіть графік рівняння.

$x=-2(y-1)^{2}+2$
$x^{2}+y^{2}=49$
$(x+5)^{2}+(y+2)^{2}=4$
$y=-x^{2}+8 x-15$
$\frac{(x+3)^{2}}{16}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1$
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=9$
$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{36}=1$
$x=4(y+1)^{2}-4$
$x^{2}+y^{2}=64$
$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$
$y=6 x^{2}+2 x-1$
$\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y+3)^{2}}{25}=1$

Відповідь

Цей графік показує параболу з вершинами (2, 1) та y перехопленнями (0, 0) та (2, 0). — Малюнок 11.3.54

На цьому графіку показано коло з центром (від'ємний 5, від'ємний 2) і радіусом 2 одиниці. — Малюнок 11.3.55

Цей графік показує еліпс з центром (від'ємний 3, від'ємний 1), вершинами (1, від'ємний 1) і (від'ємний 7, негативний 1) і кінцевими точками другорядної осі (від'ємний 3, 1) і (негативний 3, негативний 3). — Малюнок 11.3.56

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (0, 6) та (0, від'ємним 6) та кінцевими точками другорядної осі (від'ємні 5, 0) та (5, 0). — Малюнок 11.3.57

На цьому графіку показано коло з центром (0, 0) та радіусом 8 одиниць. — Малюнок 11.3.58

11.

На цьому графіку показана парабола відкриття вгору. Його вершина має значення x трохи менше 0 і значення y трохи менше мінус 1. Точка на ній знаходиться приблизно в (негативний 1, 3). — Малюнок 11.3.59

Вправа $\PageIndex{21}$ Solve Application with Ellipses

1. Планета рухається по еліптичній орбіті навколо свого сонця. Найближча планета потрапляє до Сонця приблизно $10$ AU, а найдальша - приблизно $30$ AU. Сонце є одним з вогнищ еліптичної орбіти. Допустивши центр еліпса у початку та маркування осей в АС, орбіта буде виглядати як на малюнку нижче. Використовуйте графік, щоб написати рівняння для еліптичної орбіти планети.

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (від'ємні 20, 0) і (20, 0). Сонце показано в точці (10, 0), яка знаходиться на 30 одиницях від лівої вершини і 10 одиниць від правої вершини. — Малюнок 11.3.60

2. Планета рухається по еліптичній орбіті навколо свого сонця. Найближча планета потрапляє до Сонця приблизно $10$ AU, а найдальша - приблизно $70$ AU. Сонце є одним з вогнищ еліптичної орбіти. Допустивши центр еліпса у початку та маркування осей в АС, орбіта буде виглядати як на малюнку нижче. Використовуйте графік, щоб написати рівняння для еліптичної орбіти планети.

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (від'ємні 40, 0) і (40, 0). Сонце показано в точці (30, 0), яка знаходиться на 70 одиницях від лівої вершини і 10 одиниць від правої вершини. — Малюнок 11.3.61

3. Комета рухається по еліптичній орбіті навколо Сонця. Найближча комета потрапляє до сонця приблизно $15$ AU, а найдальша - приблизно $85$ AU. Сонце є одним з вогнищ еліптичної орбіти. Допустивши центр еліпса у початку та маркування осей в АС, орбіта буде виглядати як на малюнку нижче. Використовуйте графік, щоб написати рівняння для еліптичної орбіти комети.

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (від'ємні 50, 0) і (50, 0). Сонце показано в точці (35, 0), яка становить 85 одиниць від лівої вершини і 15 одиниць від правої вершини. — Малюнок 11.3.62

4. Комета рухається по еліптичній орбіті навколо Сонця. Найближча комета потрапляє до сонця приблизно $15$ AU, а найдальша - приблизно $95$ AU. Сонце є одним з вогнищ еліптичної орбіти. Допустивши центр еліпса у початку та маркування осей в АС, орбіта буде виглядати як на малюнку нижче. Використовуйте графік, щоб написати рівняння для еліптичної орбіти комети.

Цей графік показує еліпс з центром (0, 0), вершинами (від'ємні 55, 0) і (55, 0). Сонце показано в точці (40, 0), яка становить 95 одиниць від лівої вершини і 15 одиниць від правої вершини. — Малюнок 11.3.63

Відповідь

1. $\frac{x^{2}}{400}+\frac{y^{2}}{300}=1$

3. $\frac{x^{2}}{2500}+\frac{y^{2}}{1275}=1$

Вправа $\PageIndex{22}$ Writing Exercises

Своїми словами, визначте еліпс і запишіть рівняння еліпса, центрованого на початку, в стандартній формі. Намалюйте ескіз еліпса, який позначає центр, вершини та великі та малі осі.
Поясніть своїми словами, як отримати осі з рівняння в стандартному вигляді.
Порівняйте і порівняйте графіки рівнянь $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ і $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ .
Поясніть своїми словами різницю між вершиною і фокусом еліпса.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися

Самостійна перевірка

а Після виконання вправ скористайтеся цим контрольним списком, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

Ця таблиця має 4 стовпці 4 рядки і рядок заголовка. Рядок заголовка позначає кожен стовпець, який я можу, впевнено, з деякою допомогою і ні, я роблю €™ т отримати його. Перші стовпці мають такі твердження: графуйте еліпс з центром у початку, знайдіть рівняння еліпса з центром у початку, графуйте еліпс з центром не у початку, вирішуйте додатки з еліпсами. Решта стовпці порожні. — Малюнок 11.3.64

б Що говорить вам цей контрольний список про ваше володіння цим розділом? Які кроки ви зробите для вдосконалення?

Практика робить досконалим

Вправа11.4E.15\PageIndex{15} Graph an Ellipse with Center at the Origin

Вправа11.4E.16\PageIndex{16} Find the Equation of an Ellipse with Center at the Origin

Вправа11.4E.17\PageIndex{17} Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа11.4E.18\PageIndex{18} Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа11.4E.19\PageIndex{19} Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа11.4E.20\PageIndex{20} Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа11.4E.21\PageIndex{21} Solve Application with Ellipses

Вправа11.4E.22\PageIndex{22} Writing Exercises

Самостійна перевірка

Вправа $\PageIndex{15}$ Graph an Ellipse with Center at the Origin

Вправа $\PageIndex{16}$ Find the Equation of an Ellipse with Center at the Origin

Вправа $\PageIndex{17}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа $\PageIndex{18}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа $\PageIndex{19}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа $\PageIndex{20}$ Graph an Ellipse with Center Not at the Origin

Вправа $\PageIndex{21}$ Solve Application with Ellipses

Вправа $\PageIndex{22}$ Writing Exercises