11.3: Параболи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59801

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Графік вертикальних парабол
Графік горизонтальних парабол
Вирішуйте програми за допомогою парабол

Будьте готові

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Графік:$y=-3 x^{2}+12 x-12$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.47.
Вирішіть, заповнивши квадрат:$x^{2}-6 x+6=0$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.12.
Пишіть в стандартному вигляді:$y=3 x^{2}-6 x+5$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.59.

Графік вертикальних парабол

Наступний конічний розділ, який ми розглянемо, - парабола. Ми визначаємо параболу як усі точки на площині, які знаходяться на однаковій відстані від фіксованої точки та фіксованої лінії. Фіксована точка називається фокусом, а нерухома - директриса параболи.

На цьому малюнку зображений подвійний конус. Нижній ворс перетинається площиною таким чином, щоб перетин утворював параболу. — Малюнок 11.2.1

Визначення$\PageIndex{1}$: Parabola, Focus, and Directrix

Парабола - це всі точки в площині, які знаходяться на однаковій відстані від фіксованої точки і фіксованої лінії. Фіксована точка називається фокусом, а нерухома - директриса параболи.

На цьому малюнку зображена парабола, що відкривається вгору. Нижче параболи розташована горизонтальна лінія з позначкою directrix. Вертикальною пунктирною лінією через центр параболи позначається віссю симетрії. Точка, де вісь перетинає параболу, позначається вершиною. Точка на осі, всередині параболи, позначена фокусом. Лінія, перпендикулярна директрисі, з'єднує директрису з точкою на параболі, а інша лінія з'єднує цю точку з фокусом. Обидві ці лінії мають однакову довжину. — Малюнок 11.2.2

Раніше ми навчилися графувати вертикальні параболи із загальної форми або стандартної форми за допомогою властивостей. Ці методи також будуть працювати тут. Тут ми підсумуємо властивості.

Вертикальні параболи

Таблиця 11.2.1
	Загальна форма $y=a x^{2}+b x+c$	Стандартна форма $y=a(x-h)^{2}+k$
Орієнтація	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">$a>0$ вгору;$a<0$ вниз	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$a>0$ вгору;$a<0$ вниз
Вісь симетрії	\ (y=a x^ {2} +б х+с\) ">$x=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$x=h$
Вершина	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Замінити$x=-\dfrac{b}{2 a}$ і вирішити для$y .$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$(h, k)$
$y$-перехопити	\ (y=a x ^ {2} +б х+с\) ">Нехай$x=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Нехай$x=0$
$x$-перехоплює	\ (y=a x ^ {2} +б х+с\) ">Нехай$y=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Нехай$y=0$

Графіки показують, як виглядають параболи, коли вони відкриваються вгору або вниз. Їх положення по відношенню до$x$ - або$y$ -осі є лише прикладом.

На цьому малюнку показані дві параболи з віссю x рівною h і вершиною h, k. Ліворуч відкривається вгору, а A більша за 0. Той, що праворуч відкривається вниз. Тут A менше 0. — Малюнок 11.2.3

Щоб скласти графік параболи з цих форм, ми використовували наступні кроки.

Графік вертикальних парабол

Як графувати вертикальні параболи$y=a x^{2}+b x+c$ або$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ за допомогою властивостей.

Крок 1: Визначте, чи відкривається парабола вгору або вниз.
Крок 2. Знайдіть вісь симетрії.
Крок 3. Знайдіть вершину.
Крок 4. Знайти$y$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$y$ -перехоплення поперек осі симетрії.
Крок 5. Знайдіть$x$ -перехоплення.
Крок 6. Графік параболи.

У наступному прикладі розглядається метод побудови графіка параболи із загальної форми її рівняння.

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік$y=-x^{2}+6 x-8$ за допомогою властивостей.

Рішення:

Таблиця 11.2.2
	$ \begin{align} \color{red}{y} &\color{red}{=} a x^{2}+b x+c \\[4pt] \color{black}{y} &=-x^{2}+6 x-8 \end{align}$
Так як$a$ є$-1$, парабола відкривається вниз.
$.$
Щоб знайти вісь симетрії, знайдіть$x=-\dfrac{b}{2 a}$.	$ \begin{align} x &=-\dfrac{b}{2 a}\\[4pt] x &=-\dfrac{6}{2(-1)} \\[4pt] x &= 3 \end{align}$
	Вісь симетрії є$x=3$.
	$.$
Вершина знаходиться на лінії$x=3$.	$y=-x^{2}+6 x-8$
Нехай$x=3$.	$.$
	$\begin{align} y &=-9+18-8 \\[4pt] y &=1 \end{align}$
	Вершина є$(3,1)$.
	$.$
$y$-Перехоплення відбувається, коли$x=0$.	$y=-x^{2}+6 x-8$
Замінник$x=0$.	$y=-\color{red}{0}^{\color{black}{2}}+6 \cdot \color{red}{0} \color{black}{-} 8$
Спростити.	$y=-8$
	$y$-Перехоплення є$(0,-8)$.
Точка$(0,−8)$ - три одиниці зліва від лінії симетрії. Точка три одиниці праворуч від лінії симетрії є$(6,−8)$.	Точка симетрична до$y$ -перехоплення є$(6,−8)$.
	$.$
$x$-Перехоплення відбувається, коли$y=0$.	$y=-x^{2}+6 x-8$
Нехай$y=0$.	$\color{red}{0} \color{black}{=}-x^{2}+6 x-8$
Фактор GCF.	$0=-\left(x^{2}-6 x+8\right)$
Фактор триноміалу.	$0=-(x-4)(x-2)$
Вирішити для$x$.	$x=4, \quad x=2$
	$x$-перехоплює є$(4,0),(2,0)$.
Графік параболи.	$.$

Вправа$\PageIndex{1}$

Графік$y=-x^{2}+5 x-6$ за допомогою властивостей.

Відповідь: $Цей графік показує параболу, що відкривається вниз, з перехопленнями x (2, 0) та (3, 0) та y перехоплюють (0, негативні 6).$
Малюнок 11.2.24

Вправа$\PageIndex{2}$

Графік$y=-x^{2}+8 x-12$ за допомогою властивостей.

Відповідь: $Цей графік показує параболу, що відкривається вниз, з вершиною (4, 4) та x перехоплює (2, 0) та (6, 0).$
Малюнок 11.2.25

У наступному прикладі розглядається метод побудови графіка параболи зі стандартної форми її рівняння,$y=a(x-h)^{2}+k$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Напишіть$y=3 x^{2}-6 x+5$ у стандартній формі, а потім використовуйте властивості стандартної форми для побудови графіка рівняння.

Рішення:

Таблиця 11.2.3
Перепишіть функцію в$y=a(x-h)^{2}+k$ форму, заповнивши квадрат.	$\begin{align} y &=3 x^{2}-6 x+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x\right)+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x+1\right) + 5-3 \\[4pt] y &=3(x-1)^{2}+2 \end{align}$
Визначте константи$a, h, k$.	$a=3, h=1, k=2$
З тих пір$a=2$, парабола відкривається вгору.
$.$
Вісь симетрії є$x=h$.	Вісь симетрії є$x=1$.
Вершина є$(h,k)$.	Вершина є$(1,2)$.
Знайти$y$ -перехоплення шляхом підстановки$x=0$,	$ \begin{align} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] y &=3 \cdot 0^{2}-6 \cdot 0+5 \\[4pt] y &=0 \end{align} $
	$y$-перехопити$(0,5)$
Знайдіть точку, симетричну$(0,5)$ поперек осі симетрії.	$(2,5)$
Знайдіть$x$ -перехоплення.	$\begin{aligned} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] 0 &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] -2 &=3(x-1)^{2} \\[4pt] -\dfrac{2}{3} &=(x-1)^{2} \\[4pt] \pm \sqrt{-\dfrac{2}{3}} &=x-1 \end{aligned}$
	Квадратний корінь від'ємного числа говорить нам, що розв'язки є комплексними числами. Так що немає$x$ -перехоплень.
Графік параболи.	$.$

Вправа$\PageIndex{3}$

Пишіть$y=2 x^{2}+4 x+5$ в стандартній формі і
використовувати властивості стандартної форми для графування рівняння.

Відповідь

$y=2(x+1)^{2}+3$

Цей графік показує параболу, що відкривається вгору, з вершиною (від'ємний 1, 3) і y перехопленням (0, 5). На ній є точка мінус (2, 5). — Малюнок 11.2.28

Вправа$\PageIndex{4}$

Пишіть$y=-2 x^{2}+8 x-7$ в стандартній формі і
використовувати властивості стандартної форми для графування рівняння.

Відповідь

$y=-2(x-2)^{2}+1$

Цей графік показує параболу, що відкривається вниз, з вершиною (2, 1) і віссю симетрії x дорівнює 2. Його перехоплення y дорівнює (0, негативний 7). — Малюнок 11.2.29

Графік горизонтальних парабол

Наша робота поки займалася лише параболами, які відкриваються вгору або вниз. Зараз ми розглянемо горизонтальні параболи. Ці параболи відкриваються або ліворуч, або праворуч. Якщо ми поміняємо$x$ і$y$ в наших попередніх рівняннях для парабол, ми отримаємо рівняння для парабол, які відкриваються ліворуч або праворуч.

Горизонтальні параболи

Таблиця 11.2.4
	Загальна форма $x=a y^{2}+b y+c$	Стандартна форма $x=a(y-k)^{2}+h$
Орієнтація	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">$a>0$ праворуч;$a<0$ ліворуч	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$a>0$ праворуч;$a<0$ ліворуч
Вісь симетрії	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">$y=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$y=k$
Вершина	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Замінити$y=-\dfrac{b}{2 a}$ і вирішити для$x .$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$(h, k)$
$x$-перехоплює	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">Нехай$x=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Нехай$x=0$
$y$-перехопити	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">Нехай$y=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Нехай$y=0$

Графіки показують, як виглядають параболи, коли вони ліворуч або праворуч. Їх положення по відношенню до$x$ - або$y$ -осі є лише прикладом.

На цьому малюнку показані дві параболи з віссю симетрії y рівною k,) і вершиною (h, k. Ліворуч позначена більшою за 0 і відкривається праворуч. Інша парабола відкривається вліво. — Малюнок 11.2.30

Дивлячись на ці параболи, чи представляють їх графіки функцію? Оскільки обидва графіки не пройдуть тест вертикальної лінії, вони не представляють функцію.

Графік параболи, яка відкривається ліворуч або праворуч, в основному те саме, що ми зробили для парабол, які відкриваються вгору або вниз, з розворотом$y$ змінних$x$ і.

Howto: Графік горизонтальних парабол$y=a x^{2}+b x+c$ or $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ using Properties

Крок 1: Визначте, чи відкривається парабола ліворуч або праворуч.
Крок 2: Знайдіть вісь симетрії.
Крок 3: Знайдіть вершину.
Крок 4: Знайдіть$x$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$x$ -перехоплення поперек осі симетрії.
Крок 5: Знайдіть$y$ -перехоплення.
Крок 6: Графік параболи.

Приклад$\PageIndex{3}$

Графік$x=2 y^{2}$ за допомогою властивостей.

Рішення:

Таблиця 11.2.5
	$.$
З тих пір$a=2$, парабола відкривається праворуч.
$.$
Щоб знайти вісь симетрії, знайдіть$y=-\dfrac{b}{2 a}$	$y=-\dfrac{b}{2 a}$
	$y=-\dfrac{0}{2(2)}$
	$y=0$
	Вісь симетрії є$y=0$.
Вершина знаходиться на лінії$y=0$.	$x=2 y^{2}$
Нехай$y=0$.	$.$
	$x=0$
	Вершина є$(0,0)$.

Оскільки вершина є$(0,0)$, то обидва$x$ - і$y$ -перехоплення є точкою$(0,0)$. Для графіка параболи нам потрібно більше очок. В цьому випадку найпростіше вибрати значення$y$.

У рівнянні х дорівнює 2 y в квадраті, коли y дорівнює 1, х дорівнює 2, а коли y дорівнює 2, х дорівнює 8. Точки є (2, 1) і (8, 2). — Малюнок 11.2.38

Ми також будуємо точки, симетричні$(2,1)$ і$(8,2)$ поперек$y$ -осі, точки$(2,−1),(8,−2)$.

Графік параболи.

На цьому графіку показано праву параболу, що відкривається з вершиною (0, 0). На ньому відзначаються чотири точки: точка (2, 1), точка (2, від'ємна 1), точка (8, 2) і точка (8 мінус 2). — Малюнок 11.2.39

Вправа$\PageIndex{5}$

Графік$x=y^{2}$ за допомогою властивостей.

Відповідь: $На цьому графіку показано праву відкриваючу параболу з вершиною біля початку. Дві точки на ньому - (4, 2) і (4, негативні 2).$
Малюнок 11.2.40

Вправа$\PageIndex{6}$

Графік$x=-y^{2}$ за допомогою властивостей.

Відповідь: $Цей графік показує ліву параболу, що відкриває, з вершиною на початку. Дві точки на ньому є (негативні 4, 2) і (негативні 4, негативні 2).$
Малюнок 11.2.41

У наступному прикладі вершина не є початком.

Приклад$\PageIndex{4}$

Графік$x=-y^{2}+2 y+8$ за допомогою властивостей.

Рішення:

Таблиця 11.2.6
	$.$
Так як$a=-1$ парабола відкривається вліво.
$.$
Щоб знайти вісь симетрії, знайдіть$y=-\dfrac{b}{2 a}$	$y=-\dfrac{b}{2 a}$
	$y=-\dfrac{2}{2(-1)}$
	$y=1$
	Вісь симетрії є$y=1$.
Вершина знаходиться на лінії$y=1$.	$x=-y^{2}+2 y+8$
Нехай$y=1$.	$.$
	$x=9$
	Вершина є$(9,1)$.
$x$-Перехоплення відбувається, коли$y=0$.	$x=-y^{2}+2 y+8$
	$.$
	$x=8$
	$x$-Перехоплення є$(8,0)$.
Точка$(8,0)$ знаходиться на одну одиницю нижче лінії симетрії. Симетрична точка на одиницю над лінією симетрії$(8,2)$	Симетрична точка є$(8,2)$.
$y$-Перехоплення відбувається, коли$x=0$.	$x=-y^{2}+2 y+8$
Замінник$x=0$.	$0=-y^{2}+2 y+8$
Вирішити.	$y^{2}-2 y-8=0$
	$(y-4)(y+2)=0$
	$y=4, \quad y=-2$
	$y$-перехоплює є$(0,4)$ і$(0,-2)$.
З'єднайте точки для графіка параболи.	$.$

Вправа$\PageIndex{7}$

Графік$x=-y^{2}-4 y+12$ за допомогою властивостей.

Відповідь: $Цей графік показує ліву параболу, що відкривається, з вершиною (16, від'ємним 2) та перехопленням x (12, 0).$
Малюнок 11.2.58

Вправа$\PageIndex{8}$

Графік$x=-y^{2}+2 y-3$ за допомогою властивостей.

Відповідь: $Цей графік показує ліву параболу, що відкривається з вершиною (від'ємний 2, 1) і x перехоплює мінус (3, 0).$
Малюнок 11.2.59

У таблиці 11.2.4 ми бачимо зв'язок між рівнянням в стандартному вигляді і властивостями параболи. У полі Як перелічити кроки для побудови параболи в стандартній формі$x=a(y-k)^{2}+h$. Цю процедуру ми будемо використовувати в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{5}$

Графік$x=2(y-2)^{2}+1$ з використанням властивостей.

Рішення:

Таблиця 11.2.7
	$.$
Визначте константи$a, h, k$.	$a=2, h=1, k=2$
З тих пір$a=2$, парабола відкривається праворуч.
$.$
Вісь симетрії є$y=k$.	Вісь симетрії є$y=2$.
Вершина є$(h,k)$.	Вершина є$(1,2)$.
Знайти$x$ -intercept шляхом підстановки$y=0$.	$x=2(y-2)^{2}+1$ $x=2(0-2)^{2}+1$ $x=9$
	$x$-Перехоплення є$(9,0)$.
Знайдіть точку, симетричну$(9,0)$ поперек осі симетрії.	$(9,4)$
Знайдіть$y$ -перехоплення. Нехай$x=0$.	$\begin{aligned} x &=2(y-2)^{2}+1 \\ 0 &=2(y-2)^{2}+1 \\-1 &=2(y-2)^{2} \end{aligned}$
	Квадрат не може бути негативним, тому реального рішення не існує. Так що немає$y$ -перехоплень.
Графік параболи.	$.$

Вправа$\PageIndex{9}$

Графік$x=3(y-1)^{2}+2$ з використанням властивостей.

Відповідь: $Цей графік показує параболу, що відкривається праворуч з вершиною (2, 1) та перехопленням x (5, 0).$
Малюнок 11.2.63

Вправа$\PageIndex{10}$

Графік$x=2(y-3)^{2}+2$ з використанням властивостей.

Відповідь: $Цей графік показує параболу, що відкривається праворуч з вершиною (2, 3) та симетричними точками (4, 2) та (4, 4).$
Малюнок 11.2.64

У наступному прикладі ми помічаємо, що a є негативним, і тому парабола відкривається ліворуч.

Приклад$\PageIndex{6}$

Графік$x=-4(y+1)^{2}+4$ з використанням властивостей.

Рішення:

Таблиця 11.2.8
	$.$
Визначте константи$a, h, k$.	$a=-4, h=4, k=-1$
Так як$a=-4$ парабола відкривається вліво.
$.$
Вісь симетрії є$y=k$.	Вісь симетрії є$y=-1$.
Вершина є$(h,k)$.	Вершина є$(4,-1)$.
Знайти$x$ -intercept шляхом підстановки$y=0$.	$x=-4(y+1)^{2}+4$ $x=-4(0+1)^{2}+4$ $x=0$
	$x$-Перехоплення є$(0,0)$.
Знайдіть точку, симетричну$(0,0)$ поперек осі симетрії.	$(0,-2)$
Знайдіть$y$ -перехоплення.	$x=-4(y+1)^{2}+4$
Нехай$x=0$.	$\begin{aligned} 0 &=-4(y+1)^{2}+4 \\-4 &=-4(y+1)^{2} \\ 1 &=(y+1)^{2} \\ y+1 &=\pm 1 \end{aligned}$
	$y=-1+1 \quad y=-1-1$
	$y=0 \quad\quad y=-2$
	$y$-перехоплює є$(0,0)$ і$(0,-2)$.
Графік параболи.	$.$

Вправа$\PageIndex{11}$

Графік$x=-4(y+2)^{2}+4$ з використанням властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається ліворуч з вершиною (4, негативною 2) та y перехопленнями (0, негативною 1) та (0, негативною 3).$
Малюнок 11.2.68

Вправа$\PageIndex{12}$

Графік$x=-2(y+3)^{2}+2$ з використанням властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається ліворуч з вершиною (2, негативним 3) і y перехоплює (0, негативний 2) і (0, негативний 4).$
Малюнок 11.2.69

Наступний приклад вимагає спочатку поставити рівняння в стандартному вигляді, а потім використовувати властивості.

Приклад$\PageIndex{7}$

Напишіть$x=2 y^{2}+12 y+17$ у стандартній формі, а потім використовуйте властивості стандартної форми для побудови графіка рівняння.

Рішення:

Таблиця 11.2.9
	$x=2 y^{2}+12 y+17$
Перепишіть функцію в$x=a(y-k)^{2}+h$ форму, заповнивши квадрат.	$x=2\left(y^{2}+6 y\right)+17$
	$.$
	$x=2(y+3)^{2}-1$
	$.$
Визначте константи$a, h, k$.	$a=2, h=-1, k=-3$
З тих пір$a=2$, парабола відкривається праворуч.
$.$
Вісь симетрії є$y=k$.	Вісь симетрії є$y=-3$.
Вершина є$(h,k)$.	Вершина є$(-1,-3)$.
Знайти$x$ -intercept шляхом підстановки$y=0$.	$x=2(y+3)^{2}-1$ $x=2(0+3)^{2}-1$ $x=17$
	$x$-Перехоплення є$(17,0)$.
Знайдіть точку, симетричну$(17,0)$ поперек осі симетрії.	$(17,-6)$
Знайдіть$y$ -перехоплення. Нехай$x=0$.	$\begin{aligned} x &=2(y+3)^{2}-1 \\ 0 &=2(y+3)^{2}-1 \\ 1 &=2(y+3)^{2} \\ \dfrac{1}{2} &=(y+3)^{2} \\ y+3 &=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ y &=-3 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$
	$y=-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad y=-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
	$y \approx-2.3 \quad y \approx-3.7$
	$y$-перехоплює є$\left(0,-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(0,-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Графік параболи.	$.$

Вправа$\PageIndex{13}$

Пишіть$x=3 y^{2}+6 y+7$ в стандартній формі і
Використовуйте властивості стандартної форми для побудови графіка рівняння.

Відповідь

$x=3(y+1)^{2}+4$

Цей графік показує параболу, що відкривається праворуч з вершиною (4, від'ємною 1) та x перехопленням (7, 0). — Малюнок 11.2.77

Вправа$\PageIndex{14}$

Пишіть$x=-4 y^{2}-16 y-12$ в стандартній формі і
Використовуйте властивості стандартної форми для побудови графіка рівняння.

Відповідь

$x=-4(y+2)^{2}+4$

Цей графік показує параболу, що відкривається ліворуч з вершиною (4, від'ємною 2) і x перехоплюють мінус (12, 0). — Малюнок 11.2.78

Вирішуйте програми за допомогою Parabolas

Багато архітектурних конструкцій містять параболи. Нерідкі випадки, коли мости будуються з використанням парабол, як ми побачимо в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть рівняння параболічної арки, утвореної в фундаменті показаного моста. Запишіть рівняння в стандартному вигляді.

На цьому малюнку зображена параболічна арка, утворена в фундаменті моста. Це 10 футів у висоту і 20 футів в ширину біля основи. — Малюнок 11.2.79

Рішення:

Спочатку ми встановимо систему координат і намалюємо параболу. Графік дасть нам інформацію, необхідну нам для написання рівняння графа в стандартному вигляді$y=a(x-h)^{2}+k$.

Таблиця 11.2.10
Нехай нижня ліва сторона моста буде початком координатної сітки в точці$(0,0)$. Оскільки основа є шириною$20$ стопи, точка$(20,0)$ представляє нижню праву сторону. Міст висотою 10 футів у найвищій точці. Найвища точка - це вершина параболи, тому$y$ координата вершини буде$10$. Оскільки міст симетричний, вершина повинна опускатися на півдорозі між крайньою лівою точкою$(0,0)$, і крайньою правою точкою$(20,0)$. З цього ми знаємо, що$x$ -координата вершини також буде$10$.	$.$
Визначте вершину,$(h,k)$.	$(h, k)=(10,10)$
	$h=10, \quad k=10$
Підставте значення в стандартну форму. Значення до$a$ сих пір невідомо. Для знаходження значення$a$ використовують один з інших пунктів на параболі.	$\begin{aligned} y &=a(x-h)^{2}+k \\ y &=a(x-10)^{2}+10 \\(x, y) &=(0,0) \end{aligned}$
Підставте значення іншої точки в рівняння.	$y=a(x-10)^{2}+10$ $0=a(0-10)^{2}+10$
Вирішити для$a$.	$\begin{aligned} 0 &=a(0-10)^{2}+10 \\-10 &=a(-10)^{2} \\-10 &=100 a \\ \dfrac{-10}{100} &=a \\ a &=-\dfrac{1}{10} \end{aligned}$
	$y=a(x-10)^{2}+10$
Підставте значення для$a$ в рівняння.	$y=-\dfrac{1}{10}(x-10)^{2}+10$

Вправа$\PageIndex{15}$

На цьому малюнку зображена параболічна арка, утворена в фундаменті моста. Це 20 футів у висоту і 40 футів в ширину біля основи. — Малюнок 11.2.81

Відповідь: $y=-\dfrac{1}{20}(x-20)^{2}+20$

Вправа$\PageIndex{16}$

На цьому малюнку зображена параболічна арка, утворена в фундаменті моста. Це 5 футів у висоту і 10 футів в ширину біля основи. — Малюнок 11.2.82

Відповідь: $y=-\dfrac{1}{5} x^{2}+2 x y=-\dfrac{1}{5}(x-5)^{2}+5$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для отримання додаткових інструкцій та практики з квадратичними функціями та параболами.

Квадратичні функції
Вступ до конічних та графічних горизонтальних парабол

Ключові концепції

Парабола: Парабола - це всі точки на площині, які знаходяться на однаковій відстані від фіксованої точки та фіксованої лінії. Фіксована точка називається фокусом, а нерухома - директриса параболи.

Вертикальні параболи

Таблиця 11.2.1
	Загальна форма $y=a x^{2}+b x+c$	Стандартна форма $y=a(x-h)^{2}+k$
Орієнтація	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">$a>0$ вгору;$a<0$ вниз	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$a>0$ вгору;$a<0$ вниз
Вісь симетрії	\ (y=a x^ {2} +б х+с\) ">$x=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$x=h$
Вершина	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Замінити$x=-\dfrac{b}{2 a}$ і вирішити для$y .$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">$(h, k)$
$y$-перехопити	\ (y=a x ^ {2} +б х+с\) ">Нехай$x=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Нехай$x=0$
$x$-перехоплює	\ (y=a x ^ {2} +б х+с\) ">Нехай$y=0$	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Нехай$y=0$

Як графувати вертикальні параболи$y=a x^{2}+b x+c$ або$f(x)=a(x-h)^{2}+k)$ за допомогою властивостей.

Визначте, чи відкривається парабола вгору або вниз.
Знайдіть вісь симетрії.
Знайдіть вершину.
Знайти$y$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$y$ -перехоплення поперек осі симетрії.
Знайдіть$x$ -перехоплення.
Графік параболи.

Горизонтальні параболи

Таблиця 11.2.4
	Загальна форма $x=a y^{2}+b y+c$	Стандартна форма $x=a(y-k)^{2}+h$
Орієнтація	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">$a>0$ праворуч;$a<0$ ліворуч	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$a>0$ праворуч;$a<0$ ліворуч
Вісь симетрії	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">$y=-\dfrac{b}{2 a}$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$y=k$
Вершина	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Замінити$y=-\dfrac{b}{2 a}$ і вирішити для$x .$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">$(h, k)$
$x$-перехоплює	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">Нехай$x=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Нехай$x=0$
$y$-перехопити	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">Нехай$y=0$	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Нехай$y=0$

Графік горизонтальних парабол

Як графувати горизонтальні параболи$x=a y^{2}+b y+c$ або$x=a(y-k)^{2}+h$ за допомогою властивостей.

Визначте, чи відкривається парабола ліворуч або праворуч.
Знайдіть вісь симетрії.
Знайдіть вершину.
Знайти$x$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$x$ -перехоплення поперек осі симетрії.
Знайдіть$y$ -перехоплення.
Графік параболи.

Глосарій

парабола: Парабола - це всі точки в площині, які знаходяться на однаковій відстані від фіксованої точки і фіксованої лінії.

	Загальна форма \(y=a x^{2}+b x+c\)	Стандартна форма \(y=a(x-h)^{2}+k\)
Орієнтація	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">\(a>0\) вгору;\(a<0\) вниз	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(a>0\) вгору;\(a<0\) вниз
Вісь симетрії	\ (y=a x^ {2} +б х+с\) ">\(x=-\dfrac{b}{2 a}\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\(x=h\)
Вершина	\ (y=a x^ {2} +b x+c\) ">Замінити\(x=-\dfrac{b}{2 a}\) і вирішити для\(y .\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">\((h, k)\)
\(y\)-перехопити	\ (y=a x ^ {2} +б х+с\) ">Нехай\(x=0\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Нехай\(x=0\)
\(x\)-перехоплює	\ (y=a x ^ {2} +б х+с\) ">Нехай\(y=0\)	\ (y=a (x-h) ^ {2} +k\) ">Нехай\(y=0\)

	\( \begin{align} \color{red}{y} &\color{red}{=} a x^{2}+b x+c \\[4pt] \color{black}{y} &=-x^{2}+6 x-8 \end{align}\)
Так як\(a\) є\(-1\), парабола відкривається вниз.
$.$
Щоб знайти вісь симетрії, знайдіть\(x=-\dfrac{b}{2 a}\).	\( \begin{align} x &=-\dfrac{b}{2 a}\\[4pt] x &=-\dfrac{6}{2(-1)} \\[4pt] x &= 3 \end{align}\)
	Вісь симетрії є\(x=3\).
	$.$
Вершина знаходиться на лінії\(x=3\).	\(y=-x^{2}+6 x-8\)
Нехай\(x=3\).	$.$
	\(\begin{align} y &=-9+18-8 \\[4pt] y &=1 \end{align}\)
	Вершина є\((3,1)\).
	$.$
\(y\)-Перехоплення відбувається, коли\(x=0\).	\(y=-x^{2}+6 x-8\)
Замінник\(x=0\).	\(y=-\color{red}{0}^{\color{black}{2}}+6 \cdot \color{red}{0} \color{black}{-} 8\)
Спростити.	\(y=-8\)
	\(y\)-Перехоплення є\((0,-8)\).
Точка\((0,−8)\) - три одиниці зліва від лінії симетрії. Точка три одиниці праворуч від лінії симетрії є\((6,−8)\).	Точка симетрична до\(y\) -перехоплення є\((6,−8)\).
	$.$
\(x\)-Перехоплення відбувається, коли\(y=0\).	\(y=-x^{2}+6 x-8\)
Нехай\(y=0\).	\(\color{red}{0} \color{black}{=}-x^{2}+6 x-8\)
Фактор GCF.	\(0=-\left(x^{2}-6 x+8\right)\)
Фактор триноміалу.	\(0=-(x-4)(x-2)\)
Вирішити для\(x\).	\(x=4, \quad x=2\)
	\(x\)-перехоплює є\((4,0),(2,0)\).
Графік параболи.	$.$

Перепишіть функцію в\(y=a(x-h)^{2}+k\) форму, заповнивши квадрат.	\(\begin{align} y &=3 x^{2}-6 x+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x\right)+5 \\[4pt] y &=3\left(x^{2}-2 x+1\right) + 5-3 \\[4pt] y &=3(x-1)^{2}+2 \end{align}\)
Визначте константи\(a, h, k\).	\(a=3, h=1, k=2\)
З тих пір\(a=2\), парабола відкривається вгору.
$.$
Вісь симетрії є\(x=h\).	Вісь симетрії є\(x=1\).
Вершина є\((h,k)\).	Вершина є\((1,2)\).
Знайти\(y\) -перехоплення шляхом підстановки\(x=0\),	\( \begin{align} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] y &=3 \cdot 0^{2}-6 \cdot 0+5 \\[4pt] y &=0 \end{align} \)
	\(y\)-перехопити\((0,5)\)
Знайдіть точку, симетричну\((0,5)\) поперек осі симетрії.	\((2,5)\)
Знайдіть\(x\) -перехоплення.	\(\begin{aligned} y &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] 0 &=3(x-1)^{2}+2 \\[4pt] -2 &=3(x-1)^{2} \\[4pt] -\dfrac{2}{3} &=(x-1)^{2} \\[4pt] \pm \sqrt{-\dfrac{2}{3}} &=x-1 \end{aligned}\)
	Квадратний корінь від'ємного числа говорить нам, що розв'язки є комплексними числами. Так що немає\(x\) -перехоплень.
Графік параболи.	$.$

	Загальна форма \(x=a y^{2}+b y+c\)	Стандартна форма \(x=a(y-k)^{2}+h\)
Орієнтація	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">\(a>0\) праворуч;\(a<0\) ліворуч	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(a>0\) праворуч;\(a<0\) ліворуч
Вісь симетрії	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\(y=k\)
Вершина	\ (x=a y^ {2} +b y+c\) ">Замінити\(y=-\dfrac{b}{2 a}\) і вирішити для\(x .\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">\((h, k)\)
\(x\)-перехоплює	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">Нехай\(x=0\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Нехай\(x=0\)
\(y\)-перехопити	\ (x = a y^ {2} +b y+c\) ">Нехай\(y=0\)	\ (x=a (y-k) ^ {2} +h\) ">Нехай\(y=0\)

	$.$
З тих пір\(a=2\), парабола відкривається праворуч.
$.$
Щоб знайти вісь симетрії, знайдіть\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)	\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)
	\(y=-\dfrac{0}{2(2)}\)
	\(y=0\)
	Вісь симетрії є\(y=0\).
Вершина знаходиться на лінії\(y=0\).	\(x=2 y^{2}\)
Нехай\(y=0\).	$.$
	\(x=0\)
	Вершина є\((0,0)\).

Визначення\(\PageIndex{1}\): Parabola, Focus, and Directrix

Графік вертикальних парабол

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Howto: Графік горизонтальних парабол\(y=a x^{2}+b x+c\) or \(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) using Properties

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Графік горизонтальних парабол

	$.$
Так як\(a=-1\) парабола відкривається вліво.
$.$
Щоб знайти вісь симетрії, знайдіть\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)	\(y=-\dfrac{b}{2 a}\)
	\(y=-\dfrac{2}{2(-1)}\)
	\(y=1\)
	Вісь симетрії є\(y=1\).
Вершина знаходиться на лінії\(y=1\).	\(x=-y^{2}+2 y+8\)
Нехай\(y=1\).	$.$
	\(x=9\)
	Вершина є\((9,1)\).
\(x\)-Перехоплення відбувається, коли\(y=0\).	\(x=-y^{2}+2 y+8\)
	$.$
	\(x=8\)
	\(x\)-Перехоплення є\((8,0)\).
Точка\((8,0)\) знаходиться на одну одиницю нижче лінії симетрії. Симетрична точка на одиницю над лінією симетрії\((8,2)\)	Симетрична точка є\((8,2)\).
\(y\)-Перехоплення відбувається, коли\(x=0\).	\(x=-y^{2}+2 y+8\)
Замінник\(x=0\).	\(0=-y^{2}+2 y+8\)
Вирішити.	\(y^{2}-2 y-8=0\)
	\((y-4)(y+2)=0\)
	\(y=4, \quad y=-2\)
	\(y\)-перехоплює є\((0,4)\) і\((0,-2)\).
З'єднайте точки для графіка параболи.	$.$

	$.$
Визначте константи\(a, h, k\).	\(a=2, h=1, k=2\)
З тих пір\(a=2\), парабола відкривається праворуч.
$.$
Вісь симетрії є\(y=k\).	Вісь симетрії є\(y=2\).
Вершина є\((h,k)\).	Вершина є\((1,2)\).
Знайти\(x\) -intercept шляхом підстановки\(y=0\).	\(x=2(y-2)^{2}+1\) \(x=2(0-2)^{2}+1\) \(x=9\)
	\(x\)-Перехоплення є\((9,0)\).
Знайдіть точку, симетричну\((9,0)\) поперек осі симетрії.	\((9,4)\)
Знайдіть\(y\) -перехоплення. Нехай\(x=0\).	\(\begin{aligned} x &=2(y-2)^{2}+1 \\ 0 &=2(y-2)^{2}+1 \\-1 &=2(y-2)^{2} \end{aligned}\)
	Квадрат не може бути негативним, тому реального рішення не існує. Так що немає\(y\) -перехоплень.
Графік параболи.	$.$

	$.$
Визначте константи\(a, h, k\).	\(a=-4, h=4, k=-1\)
Так як\(a=-4\) парабола відкривається вліво.
$.$
Вісь симетрії є\(y=k\).	Вісь симетрії є\(y=-1\).
Вершина є\((h,k)\).	Вершина є\((4,-1)\).
Знайти\(x\) -intercept шляхом підстановки\(y=0\).	\(x=-4(y+1)^{2}+4\) \(x=-4(0+1)^{2}+4\) \(x=0\)
	\(x\)-Перехоплення є\((0,0)\).
Знайдіть точку, симетричну\((0,0)\) поперек осі симетрії.	\((0,-2)\)
Знайдіть\(y\) -перехоплення.	\(x=-4(y+1)^{2}+4\)
Нехай\(x=0\).	\(\begin{aligned} 0 &=-4(y+1)^{2}+4 \\-4 &=-4(y+1)^{2} \\ 1 &=(y+1)^{2} \\ y+1 &=\pm 1 \end{aligned}\)
	\(y=-1+1 \quad y=-1-1\)
	\(y=0 \quad\quad y=-2\)
	\(y\)-перехоплює є\((0,0)\) і\((0,-2)\).
Графік параболи.	$.$

	\(x=2 y^{2}+12 y+17\)
Перепишіть функцію в\(x=a(y-k)^{2}+h\) форму, заповнивши квадрат.	\(x=2\left(y^{2}+6 y\right)+17\)
	$.$
	\(x=2(y+3)^{2}-1\)
	$.$
Визначте константи\(a, h, k\).	\(a=2, h=-1, k=-3\)
З тих пір\(a=2\), парабола відкривається праворуч.
$.$
Вісь симетрії є\(y=k\).	Вісь симетрії є\(y=-3\).
Вершина є\((h,k)\).	Вершина є\((-1,-3)\).
Знайти\(x\) -intercept шляхом підстановки\(y=0\).	\(x=2(y+3)^{2}-1\) \(x=2(0+3)^{2}-1\) \(x=17\)
	\(x\)-Перехоплення є\((17,0)\).
Знайдіть точку, симетричну\((17,0)\) поперек осі симетрії.	\((17,-6)\)
Знайдіть\(y\) -перехоплення. Нехай\(x=0\).	\(\begin{aligned} x &=2(y+3)^{2}-1 \\ 0 &=2(y+3)^{2}-1 \\ 1 &=2(y+3)^{2} \\ \dfrac{1}{2} &=(y+3)^{2} \\ y+3 &=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\ y &=-3 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\)
	\(y=-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad y=-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
	\(y \approx-2.3 \quad y \approx-3.7\)
	\(y\)-перехоплює є\(\left(0,-3+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(0,-3-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
Графік параболи.	$.$

Нехай нижня ліва сторона моста буде початком координатної сітки в точці\((0,0)\). Оскільки основа є шириною\(20\) стопи, точка\((20,0)\) представляє нижню праву сторону. Міст висотою 10 футів у найвищій точці. Найвища точка - це вершина параболи, тому\(y\) координата вершини буде\(10\). Оскільки міст симетричний, вершина повинна опускатися на півдорозі між крайньою лівою точкою\((0,0)\), і крайньою правою точкою\((20,0)\). З цього ми знаємо, що\(x\) -координата вершини також буде\(10\).	$.$
Визначте вершину,\((h,k)\).	\((h, k)=(10,10)\)
	\(h=10, \quad k=10\)
Підставте значення в стандартну форму. Значення до\(a\) сих пір невідомо. Для знаходження значення\(a\) використовують один з інших пунктів на параболі.	\(\begin{aligned} y &=a(x-h)^{2}+k \\ y &=a(x-10)^{2}+10 \\(x, y) &=(0,0) \end{aligned}\)
Підставте значення іншої точки в рівняння.	\(y=a(x-10)^{2}+10\) \(0=a(0-10)^{2}+10\)
Вирішити для\(a\).	\(\begin{aligned} 0 &=a(0-10)^{2}+10 \\-10 &=a(-10)^{2} \\-10 &=100 a \\ \dfrac{-10}{100} &=a \\ a &=-\dfrac{1}{10} \end{aligned}\)
	\(y=a(x-10)^{2}+10\)
Підставте значення для\(a\) в рівняння.	\(y=-\dfrac{1}{10}(x-10)^{2}+10\)