11.4: Еліпси

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Графік еліпса з центром у початку
• Знайти рівняння еліпса з центром у початку
• Графік еліпса з центром, який не знаходиться біля початку
• Розв'яжіть додаток з еліпсами

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Графік$y=(x-1)^{2}-2$ з використанням перетворень.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.57.
2. Завершіть квадрат:$x^{2}-8 x=8$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.12.
3. Пишіть в стандартній формі. $y=2 x^{2}-12 x+14$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 9.59.

Графік еліпса з центром біля початку

Наступний конічний розріз, який ми розглянемо, - це еліпс. Ми визначаємо еліпс як усі точки на площині, де сума відстаней від двох фіксованих точок є постійною. Кожна з заданих точок називається фокусом еліпса.

Визначення$\PageIndex{1}$

Еліпс - це всі точки на площині, де сума відстаней від двох фіксованих точок є постійною. Кожна з нерухомих точок називається фокусом еліпса.

Малюнок 11.3.1

Ми можемо намалювати еліпс, взявши певну фіксовану довжину гнучкої рядки і прикріпивши кінці до двох мініатюр. Використовуємо ручку, щоб натягнути струну туго і обертати її навколо двох мініатюр. Фігура, яка виходить, є еліпсом.

Малюнок 11.3.2

Лінія, проведена через осередки, перетинає еліпс в двох точках. Кожна точка називається вершиною еліпса. Відрізок, що з'єднує вершини, називається великою віссю. Середина відрізка називається центром еліпса. Відрізок, перпендикулярний великій осі, який проходить через центр і перетинає еліпс у двох точках, називається другорядною віссю.

Малюнок 11.3.3

Раніше ми згадували, що наша мета полягає в тому, щоб з'єднати геометрію конічного конуса з алгеброю. Розміщення еліпса на прямокутній системі координат дає нам таку можливість. На малюнку ми розмістили еліпс так, щоб осередки$((−c,0),(c,0))$ знаходилися на$x$ -осі, а центр - початок.

Малюнок 11.3.4

Визначення стверджує, що сума відстані від вогнищ до точки$(x,y)$ є постійною. Так$d_{1}+d_{2}$ це константа, яку ми будемо називати$2a$ так,$d_{1}+d_{2}=2 a$. Ми будемо використовувати формулу відстані, щоб привести нас до алгебраїчної формули для еліпса.

$d_{1} \quad+\quad \quad d_{2} \quad=\quad 2 a$

Використовуйте формулу відстані, щоб знайти$d_{1},d_{2}$.

$\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2 a$

Після усунення радикалів і спрощення отримуємо:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$

Щоб спростити рівняння еліпса, дозволимо$a^{2}−c^{2}=b^{2}$ .Отже, рівняння еліпса з центром у початку в стандартному вигляді таке:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Для побудови графіка еліпса буде корисно знати перехоплення. Ми знайдемо$x$ -перехоплення і$y$ -перехоплення за формулою.

$y$-перехоплює

Нехай$x=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} &=1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=b^{2} \\ y &=\pm b \end{aligned}$

$y$-перехоплює є$(0,b)$ і$(0, -b)$.

$x$-перехоплює

Нехай$y=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}$

$x$-перехоплює є$(a,0)$ і$(-a,0)$.

Визначення$\PageIndex{2}$

Стандартна форма рівняння еліпса з центром$(0,0)$

Стандартна форма рівняння еліпса з центром$(0,​​0)$, є

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$x$-перехоплює є$(a,0)$ і$(−a,0)$.

$y$-перехоплює є$(0,b)$ і$(0,−b)$.

Малюнок 11.3.5

Зверніть увагу, що коли велика вісь горизонтальна, значення$a$ буде більше, ніж значення$b$ і коли велика вісь вертикальна, значення$b$ буде більше, ніж значення$a$. Ми будемо використовувати цю інформацію для графіка еліпса, який зосереджений на початку.

Еліпс з центром$(0,0)$

Таблиця 11.3.1

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$a>b$	$b>a$
Велика вісь	на$x$ -осі.	на$y$ -осі
$x$-перехоплює	$(-a, 0),(a, 0)$
$y$-перехоплює	$(0,-b),(0, b)$

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік:$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$.

Рішення:

Таблиця 11.3.2

Крок 1. Запишіть рівняння в стандартному вигляді.	Він знаходиться в стандартному вигляді.	$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Крок 2. Визначте, чи є велика вісь горизонтальною або вертикальною.	Оскільки$9>4$ і$9$ знаходиться в$y^{2}$ терміні, то велика вісь вертикальна.	Велика вісь вертикальна.
Крок 3. Знайдіть кінцеві точки великої осі.	Кінцевими точками будуть$y$ -перехоплення. З тих пір$b^{2}=9$$b=\pm 3$. Кінцеві точки великої осі є$(0,3),(0,-3)$.	Кінцеві точки великої осі є$(0,3),(0,-3)$.
Крок 4. Знайдіть кінцеві точки другорядної осі.	Кінцевими точками будуть$x$ -перехоплення. З тих пір$a^{2}=4$$a=\pm 2$. Кінцеві точки великої осі є$(2,0),(-2,0)$.	Кінцеві точки великої осі є$(2,0),(-2,0)$.
Крок 5. Намалюйте еліпс.

Вправа$\PageIndex{1}$

Графік:$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

Відповідь

Малюнок 11.3.7

Вправа$\PageIndex{2}$

Графік:$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

Відповідь

Малюнок 11.3.8

Підсумовуємо кроки для довідки.

ЯК НАМАЛЮВАТИ ЕЛІПС З ЦЕНТРОМ$(0,0)$.

1. Запишіть рівняння в стандартному вигляді.
2. Визначте, чи є велика вісь горизонтальною або вертикальною.
3. Знайдіть кінцеві точки великої осі.
4. Знайти кінцеві точки другорядної осі
5. Намалюйте еліпс.

Іноді наше рівняння спочатку потрібно поставити в стандартному вигляді.

Приклад$\PageIndex{2}$

Графік$x^{2}+4 y^{2}=16$.

Рішення:

Таблиця 11.3.3

Ми визнаємо це рівнянням еліпса, оскільки обидва$x$ і$y$ члени квадратні і мають різні коефіцієнти.	$x^{2}+4 y^{2}=16$
Щоб отримати рівняння в стандартному вигляді, розділіть обидві сторони на$16$ так, щоб рівняння дорівнювало$1$.	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16}=\frac{16}{16}$
Спростити.	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$
Рівняння знаходиться в стандартній формі. Еліпс зосереджений у початковій точці.	Центр - це$(0,0)$.
Оскільки$16>4$ і$16$ знаходиться в$x^{2}$ терміні, то велика вісь горизонтальна.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	Вершини є$(4,0),(−4,0)$. Кінцеві точки другорядної осі є $(0,2),(0,−2)$.
Намалюйте параболу.

Вправа$\PageIndex{3}$

Графік$9 x^{2}+16 y^{2}=144$.

Відповідь

Малюнок 11.3.10

Вправа$\PageIndex{4}$

Графік$16 x^{2}+25 y^{2}=400$.

Відповідь

Малюнок 11.3.11

Знайти рівняння еліпса з центром біля початку

Якщо нам задано графік еліпса, ми можемо знайти рівняння еліпса.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть рівняння показаного еліпса.

Малюнок 11.3.12

Рішення:

Ми визнаємо це як еліпс, який зосереджений на початку.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Оскільки велика вісь горизонтальна, а відстань від центру до вершини є$4$, ми знаємо$a=4$ і так$a^{2}=16$.

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Мала вісь вертикальна і відстань від центру до еліпса є$3$, ми знаємо$b=3$ і так$b^{2}=9$.

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть рівняння показаного еліпса.

Малюнок 11.3.13

Відповідь

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть рівняння показаного еліпса.

Малюнок 11.3.14

Відповідь

$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Графік еліпса з центром не біля початку

Еліпси, які ми розглядали досі, були зосереджені на початку. Зараз ми розглянемо еліпси, центр яких є$(h,k)$.

Рівняння є$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ і коли$a>b$, велика вісь горизонтальна, тому відстань від центру до вершини становить$a$. Коли$b>a$, велика вісь вертикальна, тому відстань від центру до вершини становить$b$.

Визначення$\PageIndex{3}$

Стандартна форма рівняння еліпса з центром$(h,k)$

Стандартна форма рівняння еліпса з центром$(h,k)$, є

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Коли$a>b$, велика вісь горизонтальна, тому відстань від центру до вершини становить$a$.

Коли$b>a$, велика вісь вертикальна, тому відстань від центру до вершини становить$b$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Графік:$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$.

Рішення:

Таблиця 11.3.4

Рівняння знаходиться в стандартній формі,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$.	$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$
Еліпс знаходиться в центрі$(h,k)$.	Центр - це$(3,1)$.
Оскільки$9>4$ і$9$ знаходиться в$x^{2}$ терміні, то велика вісь горизонтальна.
$a^{2}=9, a=\pm 3$ $b^{2}=4, b=\pm 2$	Відстань від центру до вершин дорівнює$3$. Відстань від центру до кінцевих точок другорядної осі дорівнює$2$.
Намалюйте еліпс.

Вправа$\PageIndex{7}$

Графік:$\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{16}=1$.

Відповідь

Малюнок 11.3.16

Вправа$\PageIndex{8}$

Графік:$\frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$.

Відповідь

Малюнок 11.3.17

Якщо ми подивимося на рівняння$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ і$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$, то побачимо, що вони обидва еліпси з$a=3$ і$b=2$. Так вони будуть мати однаковий розмір і форму. Вони відрізняються тим, що не мають однакового центру.

Малюнок 11.3.18

Зверніть увагу на графіку вище, що ми могли б графікувати$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ перекладами. Ми перемістили оригінальний еліпс на праві$3$ одиниці, а потім вгору$1$ одиниці.

Малюнок 11.3.19

У наступному прикладі ми будемо використовувати метод перекладу для графування еліпса.

Приклад$\PageIndex{5}$

Графік$\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$ за перекладом.

Рішення:

Цей еліпс матиме той самий розмір і форму, що і центр$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ якого$(0,0)$. Спочатку ми графуємо цей еліпс.

Таблиця 11.3.5

Центр - це$(0,0)$.	Центр$(0,0)$
Так як$16>9$, велика вісь горизонтальна.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=9, \quad b=\pm 3$	Вершини є$(4,0),(−4,0)$. Кінцеві точки другорядної осі є $(0,3),(0,−3)$.
Намалюйте еліпс.
Вихідне рівняння знаходиться в стандартній формі,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$.	$\frac{(x-(-4))^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$
Еліпс знаходиться в центрі$(h,k)$.	Центр - це$(-4,6)$.
Переводимо графік з$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ чотирьох одиниць вліво, а потім вгору$6$ одиниць. Переконайтеся, що центр є$(−4,6)$. Новий еліпс - це еліпс, рівняння якого є $\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Графік$\frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{4}=1$ за перекладом.

Відповідь

Малюнок 11.3.22

Вправа$\PageIndex{10}$

Графік$\frac{(x+6)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1$ за перекладом.

Відповідь

Малюнок 11.3.23

Коли рівняння має як a, так$x^{2}$ і a$y^{2}$ з різними коефіцієнтами, ми перевіряємо, що це крапка, поставивши його в стандартну форму. Потім ми зможемо скласти графік рівняння.

Приклад$\PageIndex{6}$

Запишіть рівняння$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$ в стандартній формі і графі.

Рішення:

Ставимо рівняння в стандартному вигляді, заповнивши квадрати в обох$x$ і$y$.

Таблиця 11.3.6

	$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$
Перепишіть групування$x$ термінів і$y$ термінів.
Зробіть коефіцієнти рівними$x^{2}$ і$y^{2}$ рівними$1$.
Завершіть квадрати.
Запишіть як біноміальні квадрати.
Розділіть обидві сторони на$16$, щоб отримати$1$ праворуч.
Спростити.
Рівняння в стандартній формі,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
Еліпс знаходиться в центрі$(h,k)$.	Центр - це$(2,-3)$.
Оскільки$16>4$ і$16$ знаходиться в$x^{2}$ терміні, то велика вісь горизонтальна. $a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	Відстань від центру до вершин дорівнює$4$. Відстань від центру до кінцевих точок другорядної осі дорівнює$2$.
Намалюйте еліпс.

Вправа$\PageIndex{11}$

1. Запишіть рівняння$6 x^{2}+4 y^{2}+12 x-32 y+34=0$ в стандартному вигляді і
2. Графік.

Відповідь

1. $\frac{(x+1)^{2}}{6}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$

Малюнок 11.3.32

Вправа$\PageIndex{12}$

1. Запишіть рівняння$4 x^{2}+y^{2}-16 x-6 y+9=0$ в стандартному вигляді і
2. Графік.

Відповідь

1. $\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1$

Малюнок 11.3.33

Вирішити додаток з еліпсами

Орбіти планет навколо Сонця слідують еліптичними шляхами.

Приклад$\PageIndex{7}$

Плутон (карликова планета) рухається по еліптичній орбіті навколо Сонця. Найближчий Плутон потрапляє до$30$ Сонця приблизно астрономічних одиниць (АС), а найдальший - приблизно$50$ AU. Сонце є одним з вогнищ еліптичної орбіти. Допустивши центр еліпса у початку та маркування осей в АС, орбіта буде виглядати як на малюнку нижче. Використовуйте графік, щоб написати рівняння для еліптичної орбіти Плутона.

Малюнок 11.3.34

Рішення:

Ми визнаємо це як еліпс, який зосереджений на початку.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Оскільки велика вісь горизонтальна, а відстань від центру до вершини є$40$, ми знаємо$a=40$ і так$a^{2}=1600$.

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Мала вісь вертикальна, але кінцеві точки не задані. Щоб знайти,$b$ ми будемо використовувати розташування Сонця. Оскільки Сонце є фокусом еліпса в точці$(10,0)$, ми знаємо$c=10$. Використовуйте це, щоб вирішити для$b^{2}$.

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$
$b^{2}=40^{2}-10^{2}$
$b^{2}=1600-100$
$b^{2}=1500$

$b^{2}$Підставляємо$a^{2}$ і в стандартну форму еліпса.

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{1500}=1$

Вправа$\PageIndex{13}$

Планета рухається по еліптичній орбіті навколо свого сонця. Найближча планета потрапляє до Сонця приблизно$20$ AU, а найдальша - приблизно$30$ AU. Сонце є одним з вогнищ еліптичної орбіти. Допустивши центр еліпса у початку та маркування осей в АС, орбіта буде виглядати як на малюнку нижче. Використовуйте графік, щоб написати рівняння для еліптичної орбіти планети.

Малюнок 11.3.35

Відповідь

$\frac{x^{2}}{625}+\frac{y^{2}}{600}=1$

Вправа$\PageIndex{14}$

Планета рухається по еліптичній орбіті навколо свого сонця. Найближча планета потрапляє до Сонця приблизно$20$ AU, а найдальша - приблизно$50$ AU. Сонце є одним з вогнищ еліптичної орбіти. Допустивши центр еліпса у початку та маркування осей в АС, орбіта буде виглядати як на малюнку нижче. Використовуйте графік, щоб написати рівняння для еліптичної орбіти планети.

Малюнок 11.3.36

Відповідь

$\frac{x^{2}}{1225}+\frac{y^{2}}{1000}=1$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для отримання додаткових інструкцій та практики з еліпсами.

• Конічні перерізи: Графічні еліпси Частина 1
• Конічні перерізи: Графічні еліпси Частина 2
• Рівняння для еліпса з графа

Ключові концепції

• Еліпс: Еліпс - це всі точки на площині, де сума відстаней від двох фіксованих точок є постійною. Кожна з нерухомих точок називається фокусом еліпса.
  

Малюнок 11.3.37

• Якщо провести лінію через вогнища, перетинає еліпс у двох точках - кожна з них називається вершиною еліпса.
  Відрізок, що з'єднує вершини, називається великою віссю.
  Середина відрізка називається центром еліпса.
  Відрізок, перпендикулярний великій осі, який проходить через центр і перетинає еліпс у двох точках, називається другорядною віссю.
• Стандартна форма рівняння еліпса з центром$(0,0)$: стандартна форма рівняння еліпса з центром$(0,0)$, є

  $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

  $x$-перехоплює є$(a,0)$ і$(−a,0)$.
  $y$-перехоплює є$(0,b)$ і$(0,−b)$.
• Як створити еліпс з центром$(0,0)$
  1. Запишіть рівняння в стандартному вигляді.
  2. Визначте, чи є велика вісь горизонтальною або вертикальною.
  3. Знайдіть кінцеві точки великої осі.
  4. Знайти кінцеві точки другорядної осі
  5. Намалюйте еліпс.
• Стандартна форма рівняння еліпса з центром$(h,k)$: стандартна форма рівняння еліпса з центром$(h,k)$, є

  $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

  Коли$a>b$, велика вісь горизонтальна, тому відстань від центру до вершини становить$a$.
  Коли$b>a$, велика вісь вертикальна, тому відстань від центру до вершини становить$b$.

Глосарій

еліпс

Еліпс - це всі точки на площині, де сума відстаней від двох фіксованих точок є постійною.