8.3: Спрощення радикальних виразів

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Використовуйте властивість Product для спрощення радикальних виразів
• Використовуйте властивість Quotient для спрощення радикальних виразів

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спростити:$\dfrac{x^{9}}{x^{4}}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.13.
2. Спростити:$\dfrac{y^{3}}{y^{11}}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.13.
3. Спростити:$\left(n^{2}\right)^{6}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.17.

Використовуйте властивість продукту для спрощення радикальних виразів

Ми спростимо радикальні вирази таким чином, як ми спростили дроби. Дріб спрощується, якщо в чисельнику і знаменнику відсутні загальні множники. Щоб спростити дріб, шукаємо будь-які загальні фактори в чисельнику і знаменнику.

Радикальний вираз$\sqrt[n]{a}$, вважається спрощеним, якщо воно не має факторів$m^{n}$. Отже, щоб спростити радикальний вираз, шукаємо в радикалі будь-які чинники, які є силою індексу.

Визначення$\PageIndex{1}$: Simplified Radical Expression

Для дійсних чисел$a$ і$m$, і$n\geq 2$,

$\sqrt[n]{a}$вважається спрощеним, якщо не$a$ має факторів$m^{n}$

Наприклад,$\sqrt{5}$ вважається спрощеним, оскільки немає ідеальних квадратних факторів в$5$. Але$\sqrt{12}$ не спрощується, тому що$12$ має ідеальний квадратний коефіцієнт$4$.

Аналогічно$\sqrt[3]{4}$ спрощується, оскільки в ньому немає ідеальних кубових факторів$4$. Але$\sqrt[3]{24}$ це не спрощено, тому що$24$ має ідеальний куб коефіцієнт$8$.

Для спрощення радикальних виразів ми також будемо використовувати деякі властивості коренів. Властивості, які ми будемо використовувати для спрощення радикальних виразів, аналогічні властивостям експонент. Ми знаємо, що

$$(a b)^{n}=a^{n} b^{n}.$$

Відповідна властивість продукту коренів говорить про те, що

$$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.$$

Визначення$\PageIndex{2}$: Product Property of $n^{th}$ Roots

Якщо$\sqrt[n]{a}$ і$\sqrt[n]{b}$ є дійсними числами, і$n\geq 2$ є цілим числом, то

$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$

Ми використовуємо Product Property of Roots, щоб видалити всі ідеальні квадратні фактори з квадратного кореня.

Приклад$\PageIndex{1}$: Simplify square roots using the product property of roots

Спростити:$\sqrt{98}$.

Рішення:

Крок 1: Знайдіть найбільший коефіцієнт в радикаі це ідеальна потужність індексу.	Ми бачимо, що$49$ це найбільший фактор$98$, який має силу$2$.	$\sqrt{98}$
Перепишіть радиканд як добуток двох факторів, використовуючи цей фактор.	Іншими словами$49$, це найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт$98$. $98 = 49\cdot 2$ Завжди спочатку пишіть ідеальний квадратний коефіцієнт.	$\sqrt{49\cdot 2}$
Крок 2: Використовуйте правило продукту, щоб переписати радикал як добуток двох радикалів.		$\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}$
Крок 3: Спростіть корінь ідеальної потужності.		$7\sqrt{2}$

Спробуйте$\PageIndex{1}$

Спростити:$\sqrt{48}$

Відповідь

$4 \sqrt{3}$

Спробуйте$\PageIndex{2}$

Спростити:$\sqrt{45}$.

Відповідь

$3 \sqrt{5}$

Зверніть увагу в попередньому прикладі, що спрощена форма$\sqrt{98}$ is$7\sqrt{2}$, яка є добутком цілого і квадратного кореня. Ми завжди записуємо ціле число перед квадратним коренем.

Будьте обережні, щоб записати своє ціле число, щоб воно не плуталося з індексом. Вираз$7\sqrt{2}$ сильно відрізняється від$\sqrt[7]{2}$.

Спрощення радикального виразу за допомогою властивості продукту

1. Знайдіть найбільший коефіцієнт в радикаі тобто ідеальну потужність індексу. Перепишіть радиканд як добуток двох факторів, використовуючи цей фактор.
2. Використовуйте правило продукту, щоб переписати радикал як добуток двох радикалів.
3. Спростити корінь ідеальної потужності.

Цей метод ми будемо застосовувати в наступному прикладі. Може бути корисним мати таблицю ідеальних квадратів, кубиків і четвертих сил.

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:

1. $\sqrt{500}$
2. $\sqrt[3]{16}$
3. $\sqrt[4]{243}$

Рішення:

а.

$\sqrt{500}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт.

$\sqrt{100 \cdot 5}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}$

Спростити.

$10\sqrt{5}$

б.

$\sqrt[3]{16}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший досконалий коефіцієнт куба. $2^{3}=8$

$\sqrt[3]{8 \cdot 2}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}$

Спростити.

$2 \sqrt[3]{2}$

c.

$\sqrt[4]{243}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний четвертий коефіцієнт потужності. $3^{4}=81$

$\sqrt[4]{81 \cdot 3}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}$

Спростити.

$3 \sqrt[4]{3}$

Спробуйте$\PageIndex{3}$

Спрощення: а.$\sqrt{288}$ б.$\sqrt[3]{81}$ с.$\sqrt[4]{64}$

Відповідь

а.$12\sqrt{2}$ б.$3 \sqrt[3]{3}$ в.$2 \sqrt[4]{4}$

Спробуйте$\PageIndex{4}$

Спрощення: а.$\sqrt{432}$ б.$\sqrt[3]{625}$ с.$\sqrt[4]{729}$

Відповідь

а.$12\sqrt{3}$ б.$5 \sqrt[3]{5}$ в.$3 \sqrt[4]{9}$

Наступний приклад дуже схожий на попередні приклади, але зі змінними. Не забувайте використовувати знаки абсолютного значення, коли берете парний корінь виразу зі змінною в радикалі.

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

1. $\sqrt{x^{3}}$
2. $\sqrt[3]{x^{4}}$
3. $\sqrt[4]{x^{7}}$

Рішення:

а.

$\sqrt{x^{3}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт.

$\sqrt{x^{2} \cdot x}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}$

Спростити.

$|x| \sqrt{x}$

б.

$\sqrt[3]{x^{4}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший коефіцієнт ідеального куба.

$\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}$

Спростити.

$x \sqrt[3]{x}$

c.

$\sqrt[4]{x^{7}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний четвертий коефіцієнт потужності.

$\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Спростити.

$|x| \sqrt[4]{x^{3}}$

Спробуйте$\PageIndex{5}$

Спрощення: а.$\sqrt{b^{5}}$ б.$\sqrt[4]{y^{6}}$ с.$\sqrt[3]{z^{5}}$

Відповідь

а.$b^{2} \sqrt{b}$ б.$|y| \sqrt[4]{y^{2}}$ в.$z \sqrt[3]{z^{2}}$

Спробуйте$\PageIndex{6}$

Спрощення: а.$\sqrt{p^{9}}$ б.$\sqrt[5]{y^{8}}$ с.$\sqrt[6]{q^{13}}$

Відповідь

а.$p^{4} \sqrt{p}$ б.$p \sqrt[5]{p^{3}}$ в.$q^{2} \sqrt[6]{q}$

Дотримуємося тієї ж процедури, коли в радиканді є коефіцієнт. У наступному прикладі і константа, і змінна мають ідеальні квадратні коефіцієнти.

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:

1. $\sqrt{72 n^{7}}$
2. $\sqrt[3]{24 x^{7}}$
3. $\sqrt[4]{80 y^{14}}$

Рішення:

а.

$\sqrt{72 n^{7}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт.

$\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}$

Спростити.

$6\left|n^{3}\right| \sqrt{2 n}$

б.

$\sqrt[3]{24 x^{7}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.

$\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[3]{8 x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$

Перепишіть перший радиканд як$\left(2 x^{2}\right)^{3}$.

$\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$

Спростити.

$2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}$

c.

$\sqrt[4]{80 y^{14}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.

$\sqrt[4]{16 y^{12} \cdot 5 y^{2}}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[4]{16 y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$

Перепишіть перший радиканд як$\left(2 y^{3}\right)^{4}$.

$\sqrt[4]{\left(2 y^{3}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$

Спростити.

$2\left|y^{3}\right| \sqrt[4]{5 y^{2}}$

Спробуйте$\PageIndex{7}$

Спрощення: а.$\sqrt{32 y^{5}}$ б.$\sqrt[3]{54 p^{10}}$ с.$\sqrt[4]{64 q^{10}}$

Відповідь

а.$4 y^{2} \sqrt{2 y}$ б.$3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}$ в.$2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}$

Спробуйте$\PageIndex{8}$

Спрощення: а.$\sqrt{75 a^{9}}$ б.$\sqrt[3]{128 m^{11}}$ с.$\sqrt[4]{162 n^{7}}$

Відповідь

а.$5 a^{4} \sqrt{3 a}$ б.$4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}$ в.$3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}$

У наступному прикладі ми продовжуємо використовувати ті ж методи, хоча під радикалом є більше однієї змінної.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:

1. $\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$
2. $\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}$
3. $\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}$

Рішення:

а.

$\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт.

$\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}$

Перепишіть перший радиканд як$\left(3 u v^{2}\right)^{2}$.

$\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}$

Спростити.

$3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}$

б.

$\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший коефіцієнт ідеального куба.

$\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

Перепишіть перший радиканд як$(2xy)^{3}$.

$\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

Спростити.

$2 x y \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

c.

$\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний четвертий коефіцієнт потужності.

$\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}$

Перепишіть перший радиканд як$(2xy)^{4}$.

$\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}$

Спростити.

$2|x y| \sqrt[4]{3 y^{3}}$

Спробуйте$\PageIndex{9}$

Спростити:

1. $\sqrt{98 a^{7} b^{5}}$
2. $\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}$
3. $\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}$

Відповідь

1. $7\left|a^{3}\right| b^{2} \sqrt{2 a b}$
2. $2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}$
3. $2|x| y^{2} \sqrt[4]{2 x}$

Спробуйте$\PageIndex{10}$

Спростити:

1. $\sqrt{180 m^{9} n^{11}}$
2. $\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}$
3. $\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}$

Відповідь

1. $6 m^{4}\left|n^{5}\right| \sqrt{5 m n}$
2. $2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}$
3. $2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{-27}$
2. $\sqrt[4]{-16}$

Рішення:

а.

$\sqrt[3]{-27}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.

$\sqrt[3]{(-3)^{3}}$

Візьміть кубик кореня.

$-3$

б.

$\sqrt[4]{-16}$

Там немає реального числа$n$ де$n^{4}=-16$.

Чи не дійсне число

Спробуйте$\PageIndex{11}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{-64}$
2. $\sqrt[4]{-81}$

Відповідь

1. $-4$
2. немає дійсного числа

Спробуйте$\PageIndex{12}$

Спростити:

1. $\sqrt[3]{-625}$
2. $\sqrt[4]{-324}$

Відповідь

1. $-5 \sqrt[3]{5}$
2. немає дійсного числа

Ми бачили, як використовувати порядок операцій для спрощення деяких виразів з радикалами. У наступному прикладі ми маємо суму цілого і квадратного кореня. Ми спрощуємо квадратний корінь, але не можемо додати отриманий вираз до цілого числа, оскільки один член містить радикал, а інший - ні. Наступний приклад також включає дріб з радикалом в чисельнику. Пам'ятайте, що для спрощення дробу потрібен загальний коефіцієнт в чисельнику і знаменнику.

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:

1. $3+\sqrt{32}$
2. $\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}$

Рішення:

а.

$3+\sqrt{32}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт.

$3+\sqrt{16 \cdot 2}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$

Спростити.

$3+4 \sqrt{2}$

Терміни не можуть бути додані, оскільки один має радикал, а інший - ні. Спроба додати ціле число і радикал - це як намагатися додати ціле число і змінну. Вони не схожі на терміни!

б.

$\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт.

$\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}$

Спростити.

$\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}$

Фактор загального множника з чисельника.

$\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}$

Видаліть загальний множник, 2, з чисельника і знаменника.

$\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}$

Спростити.

$2(1-\sqrt{3})$

Спробуйте$\PageIndex{13}$

Спростити:

1. $5+\sqrt{75}$
2. $\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}$

Відповідь

1. $5+5 \sqrt{3}$
2. $2-\sqrt{3}$

Спробуйте$\PageIndex{14}$

Спростити:

1. $2+\sqrt{98}$
2. $\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}$

Відповідь

1. $2+7 \sqrt{2}$
2. $2-\sqrt{5}$

Використовуйте властивість коефіцієнта для спрощення радикальних виразів

Всякий раз, коли вам доведеться спростити радикальний вираз, перший крок, який ви повинні зробити, - це визначити, чи є радиканд ідеальною силою індексу. Якщо немає, перевірте чисельник і знаменник на наявність будь-яких загальних факторів, і видаліть їх. Ви можете знайти дріб, в якому і чисельник, і знаменник є досконалими степенями індексу.

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{45}{80}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}$

Рішення:

а.

$\sqrt{\dfrac{45}{80}}$

Спростити всередині радикалу першим. Перепишіть, показуючи загальні множники чисельника і знаменника.

$\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}$

Спростити дріб, видаливши загальні фактори.

$\sqrt{\dfrac{9}{16}}$

Спростити. Примітка$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$.

$\dfrac{3}{4}$

б.

$\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}$

Спростити всередині радикалу першим. Перепишіть, показуючи загальні множники чисельника і знаменника.

$\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}$

Спростити дріб, видаливши загальні фактори.

$\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}$

Спростити. Примітка$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}$.

$\dfrac{2}{3}$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}$

Спростити всередині радикалу першим. Перепишіть, показуючи загальні множники чисельника і знаменника.

$\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}$

Спростити дріб, видаливши загальні фактори.

$\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$

Спростити. Примітка$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}$.

$\dfrac{1}{2}$

Спробуйте$\PageIndex{15}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{75}{48}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}$

Відповідь

1. $\dfrac{5}{4}$
2. $\dfrac{3}{5}$
3. $\dfrac{2}{3}$

Спробуйте$\PageIndex{16}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{98}{162}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}$

Відповідь

1. $\dfrac{7}{9}$
2. $\dfrac{2}{5}$
3. $\dfrac{1}{3}$

В останньому прикладі нашим першим кроком було спрощення фракції під радикалом шляхом усунення загальних факторів. У наступному прикладі ми будемо використовувати властивість Quotient для спрощення під радикалом. Ми ділимо подібні бази, віднімаючи їх показники,

$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}$

Рішення:

а.

$\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}$

Спростити дріб всередині радикала першим. Розділіть подібні основи, віднімаючи показники.

$\sqrt{m^{2}}$

Спростити.

$|m|$

б.

$\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}$

Використовуйте часткову властивість експонентів, щоб спростити дріб під першим радикалом.

$\sqrt[3]{a^{3}}$

Спростити.

$a$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}$

Використовуйте часткову властивість експонентів, щоб спростити дріб під першим радикалом.

$\sqrt[4]{a^{8}}$

Перепишіть радиканд, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.

$\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}$

Спростити.

$a^{2}$

Спробуйте$\PageIndex{17}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}$
2. $\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}$

Відповідь

1. $|a|$
2. $|x|$
3. $y^{3}$

Спробуйте$\PageIndex{18}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}$
3. $\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}$

Відповідь

1. $x^{2}$
2. $m^{2}$
3. $n^{2}$

Пам'ятайте частку до власності влади? Він сказав, що ми можемо підняти дріб до степені, піднявши чисельник і знаменник до влади окремо.

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

Визначення$\PageIndex{3}$

Коефіцієнтна властивість радикальних виразів

Якщо$\sqrt[n]{a}$ і$\sqrt[n]{b}$ є дійсними числами$b \neq 0$, і для будь-якого цілого числа$n \geq 2$ тоді,

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { and } \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$

Приклад$\PageIndex{10}$ how to simplify the quotient of radical expressions

Спростити:$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$

Рішення:

Крок 1: Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.

$\dfrac{27 m^{3}}{196}$спростити не можна.

$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$

Крок 2: Використовуйте властивість частки, щоб переписати радикал як частку двох радикалів.

Переписуємо$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$ як частку$\sqrt{27 m^{3}}$ і$\sqrt{196}$.

$\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}$

Крок 3: Спростіть радикали в чисельнику та знаменнику.

$9m^{2}$і$196$ є ідеальними квадратами.

$\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}$

$\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}$

Спробуйте$\PageIndex{19}$

Спростити:$\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}$.

Відповідь

$\dfrac{2|p| \sqrt{6 p}}{7}$

Спробуйте$\PageIndex{20}$

Спростити:$\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}$.

Відповідь

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}$

Спрощення квадратного кореня за допомогою властивості частки

1. Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.
2. Використовуйте властивість частки, щоб переписати радикал як частку двох радикалів.
3. Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}$

Рішення:

а.

$\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}$

Ми не можемо спростити дріб в радиканді. Перепишіть, використовуючи властивість Коефіцієнт.

$\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}$

Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.

$\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}$

Спростити.

$\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}$

б.

$\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}$

Дробу в радиканді спростити неможливо. Використовуйте властивість частки, щоб написати як два радикали.

$\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

Перепишіть кожен радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

Перепишіть чисельник як добуток двох радикалів.

$\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

Спростити.

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}$

Дробу в радиканді спростити неможливо.

$\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$

Використовуйте властивість частки, щоб написати як два радикали. Перепишіть кожен радиканд як продукт, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.

$\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$

Перепишіть чисельник як добуток двох радикалів.

$\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{\left(y^{2}\right)^{4}}}$

Спростити.

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}$

Спробуйте$\PageIndex{21}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}$

Відповідь

1. $\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\left|n^{3}\right|}$
2. $\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}$
3. $\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}$

Спробуйте$\PageIndex{22}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}$

Відповідь

1. $\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}$
2. $\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}$
3. $\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}$

Обов'язково спростіть дріб в радикуі спочатку, якщо це можливо.

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

Рішення:

а.

$\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$

Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.

$\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}$

Перепишіть, використовуючи властивість Коефіцієнт.

$\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}$

Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.

$\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}$

Спростити.

$\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}$

б.

$\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$

Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.

$\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}$

Перепишіть, використовуючи властивість Коефіцієнт.

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}$

Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}$

Спростити.

$\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}$

c.

$\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.

$\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}$

Перепишіть, використовуючи властивість Коефіцієнт.

$\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}$

Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.

$\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}$

Спростити.

$\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}$

Спробуйте$\PageIndex{23}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

Відповідь

1. $\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}$
2. $\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}$
3. $\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}$

Спробуйте$\PageIndex{24}$

Спростити:

1. $\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}$

Відповідь

1. $\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\left|n^{3}\right|}$
2. $\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}$
3. $\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}$

У наступному прикладі нічого спростити в знаменниках. Оскільки індекс на радикалах однаковий, ми можемо знову використовувати властивість частки, щоб об'єднати їх в один радикал. Потім ми подивимося, чи можемо ми спростити вираз.

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:

1. $\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$

Рішення:

а.

$\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}$

Знаменник не може бути спрощений, тому використовуйте Quotient Property для запису як один радикал.

$\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}$

Спростити дріб під радикалом.

$\sqrt{16 a^{6}}$

Спростити.

$4\left|a^{3}\right|$

б.

$\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}$

Знаменник не може бути спрощений, тому використовуйте Quotient Property для запису як один радикал.

$\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}$

Спростити дріб під радикалом.

$\sqrt[3]{-54}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні кубові фактори.

$\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}$

Спростити.

$-3 \sqrt[3]{2}$

c.

$\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$

Знаменник не може бути спрощений, тому використовуйте Quotient Property для запису як один радикал.

$\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}$

Спростити дріб під радикалом.

$\sqrt[4]{32 x^{5}}$

Перепишіть радиканд як продукт, використовуючи ідеальні четверті коефіцієнти потужності.

$\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}$

Перепишіть радикал як добуток двох радикалів.

$\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}$

Спростити.

$2|x| \sqrt[4]{2 x}$

Спробуйте$\PageIndex{25}$

Спростити:

1. $\dfrac{\sqrt{98 z^{5}}}{\sqrt{2 z}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}$

Відповідь

1. $7z^{2}$
2. $-5 \sqrt[3]{2}$
3. $3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}$

Спробуйте це$\PageIndex{26}$

Спростити:

1. $\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}$

Відповідь

1. $8m^{4}$
2. $-4$
3. $3|n| \sqrt[4]{2}$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики зі спрощенням радикальних виразів.

• Спрощення квадратного кореня та кореня куба зі змінними
• Висловіть радикал у спрощеній формі квадратних та кубових коренів зі змінними та показниками
• Спрощення кубічних коренів

Ключові концепції

• Спрощений радикальний вираз
  • Для дійсних чисел$a, m$ і$n≥2$
    $\sqrt[n]{a}$ вважається спрощеним, якщо не$a$ має факторів$m^{n}$
• Властивість продукту$n^{th}$ коренів
  • Для будь-яких дійсних чисел,$\sqrt[n]{a}$ і$\sqrt[n]{b}$, і для будь-якого цілого числа$n≥2$
    $\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ і$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$
• Як спростити радикальний вираз за допомогою Product Property
  1. Знайдіть найбільший коефіцієнт в радикаі тобто ідеальну потужність індексу.
     Перепишіть радиканд як добуток двох факторів, використовуючи цей фактор.
  2. Використовуйте правило продукту, щоб переписати радикал як добуток двох радикалів.
  3. Спростити корінь ідеальної потужності.
• Коефіцієнтна властивість радикальних виразів
  • Якщо$\sqrt[n]{a}$ і$\sqrt[n]{b}$ є дійсними числами$b≠0$, а для будь-якого цілого числа$n≥2$ то,$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ і$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
• Як спростити радикальний вираз за допомогою властивості коефіцієнта.
  1. Спростіть дріб в радиканді, якщо це можливо.
  2. Використовуйте властивість частки, щоб переписати радикал як частку двох радикалів.
  3. Спростити радикали в чисельнику і знаменнику.