1.6: Властивості дійсних чисел

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Використовуйте комутативні та асоціативні властивості
• Використовуйте властивості ідентичності, оберненої та нульової
• Спрощення виразів за допомогою властивості розподілу

Використання комутативних та асоціативних властивостей

Порядок додавання двох чисел не впливає на результат. Якщо додати$8+9$ або$9+8$, результати однакові - вони обидва рівні 17. Отже,$8+9=9+8$. Порядок, в якому ми додаємо, значення не має!

Аналогічно при множенні двох чисел порядок не впливає на результат. Якщо ми помножимо$9·8$ або$8·9$ результати однакові - вони обидва дорівнюють 72. Отже,$9·8=8·9$. Порядок, в якому ми розмножуємо, значення не має! Ці приклади ілюструють Комутативне майно.

КОМУТАТИВНА ВЛАСНІСТЬ

$$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

При додаванні або множенні зміна порядку дає той же результат.

Комутативна власність має відношення до порядку. Віднімаємо$9−8$ і$8−9$, і бачимо, що$9−8\neq 8−9$. Оскільки зміна порядку віднімання не дає однакового результату, ми знаємо, що віднімання не є комутативним.

Розподіл також не є комутативним. Так як$12÷3\neq 3÷12$, зміна порядку поділу не дало такого ж результату. Комутативні властивості застосовуються тільки до додавання і множення!

• Додавання і множення є комутативними.
• Віднімання і ділення не є комутативними.

При складанні трьох чисел зміна угруповання чисел дає однаковий результат. Наприклад$(7+8)+2=7+(8+2)$, так як кожна сторона рівняння дорівнює 17.

Це справедливо і для множення. Наприклад$\left(5·\frac{1}{3}\right)·3=5·\left(\frac{1}{3}·3\right)$, так як кожна сторона рівняння дорівнює 5.

Ці приклади ілюструють асоціативну властивість.

АСОЦІАТИВНА ВЛАСНІСТЬ

$$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

При додаванні або множенні зміна угруповання дає той же результат.

Асоціативна властивість має відношення до групування. Якщо ми змінимо спосіб групування чисел, результат буде однаковим. Зверніть увагу, що це ті ж три числа в тому ж порядку - єдина різниця полягає в групуванні.

Ми побачили, що віднімання та поділ не були комутативними. Вони також не асоціативні.

$$\begin{array}{cc} (10−3)−2\neq 10−(3−2) & (24÷4)÷2\neq 24÷(4÷2) \\ 7−2\neq 10−1 & 6÷2\neq 24÷2 \\ 5\neq 9 & 3\neq 12 \end{array}$$

Спрощуючи вираз, завжди є гарною ідеєю планувати, якими будуть кроки. Для того, щоб об'єднати подібні терміни в наступному прикладі, ми будемо використовувати Commutative Property of addition, щоб написати подібні терміни разом.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:$18p+6q+15p+5q$.

Відповідь

$$\begin{array}{lc} \text{} & 18p+6q+15p+5q \\ \text{Use the Commutative Property of addition to} & 18p+15p+6q+5q \\ \text{reorder so that like terms are together.} & {} \\ \text{Add like terms.} & 33p+11q \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:$23r+14s+9r+15s$.

Відповідь

$32r+29s$

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:$37m+21n+4m−15n$.

Відповідь

$41m+6n$

Коли нам доводиться спростити алгебраїчні вирази, ми часто можемо полегшити роботу, застосувавши спочатку Комутативну властивість або асоціативну властивість.

ПРИКЛАД$\PageIndex{4}$

Спростити:$(\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4}$.

Відповідь

$\begin{array}{lc} \text{} & (\frac{5}{13}+\frac{3}{4})+\frac{1}{4} \\ {\text{Notice that the last 2 terms have a common} \\ \text{denominator, so change the grouping.} } & \frac{5}{13}+(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) \\ \text{Add in parentheses first.} & \frac{5}{13}+(\frac{4}{4}) \\ \text{Simplify the fraction.} & \frac{5}{13}+1 \\ \text{Add.} & 1\frac{5}{13} \\ \text{Convert to an improper fraction.} & \frac{18}{13} \end{array}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{5}$

Спростити:$(\frac{7}{15}+\frac{5}{8})+\frac{3}{8}.$

Відповідь

$1 \frac{7}{15}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{6}$

Спростити:$(\frac{2}{9}+\frac{7}{12})+\frac{5}{12}$.

Відповідь

$1\frac{2}{9}$

Використання властивостей ідентичності, зворотного та нульового

Що відбувається, коли ми додаємо 0 до будь-якого числа? Додавання 0 не змінює значення. З цієї причини ми називаємо 0 аддитивної ідентичністю. Властивість Identity of Addition, яка стверджує, що для будь-якого реального числа$a,a+0=a$ і$0+a=a.$

Що відбувається, коли ми помножимо будь-яке число на одиницю? Множення на 1 не змінює значення. Таким чином, ми називаємо 1 мультиплікативна ідентичність. Властивість ідентичності множення, яка стверджує, що для будь-якого дійсного числа$a,a·1=a$ і$1⋅a=a.$

Ми підсумовуємо Властивості ідентичності тут.

ІДЕНТИЧНІСТЬ ВЛАСНОСТІ

$$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \\ \\ \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \\ \\ \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

Яке число, додане до 5, дає адитивну ідентичність, 0? Ми знаємо

Відсутнє число було протилежним числу!

$−a$Називаємо добавку, обернену$a$. Протилежністю числу є його адитивна зворотна. Число і його протилежність додають до нуля, що є адитивною ідентичністю. Це призводить до зворотного властивості додавання, яке вказує на будь-яке дійсне число.$a,a+(−a)=0.$

Яке число, помножене на$\frac{2}{3}$ дає мультиплікативну ідентичність, 1? Іншими словами,$\frac{2}{3}$ раз, що призводить до 1? Ми знаємо

Відсутнє число було відповідним числом!

Ми$\frac{1}{a}$ називаємо мультиплікативну обернену a. Зворотне число - це його мультиплікативний зворотний. Це призводить до оберненої властивості множення, яка стверджує, що для будь-якого дійсного числа$a,a\neq 0,a·\frac{1}{a}=1.$

Ми формально заявляємо зворотні властивості тут.

ОБЕРНЕНА ВЛАСТИВІСТЬ

$$\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

Властивість Identity додавання говорить, що коли ми додаємо 0 до будь-якого числа, результат - це те саме число. Що відбувається, коли ми помножимо число на 0? Множення на 0 робить добуток рівним нулю.

А як щодо поділу за участю нуля? Що таке$0÷3$? Подумайте про реальний приклад: якщо в банку печива немає печива і 3 людини повинні поділитися ними, скільки печива отримує кожна людина? Немає файлів cookie для спільного використання, тому кожна людина отримує 0 файлів cookie. Отже,$0÷3=0.$

Ми можемо перевірити ділення з відповідним фактом множення. Отже, ми знаємо,$0÷3=0$ тому що$0·3=0$.

Тепер подумайте про поділ на нуль. Який результат ділення 4 на 0? Подумайте про пов'язаний факт множення:

Чи є число, яке помножене на 0 дає 4? Оскільки будь-яке дійсне число, помножене на 0, дає 0, не існує реального числа, яке можна помножити на 0, щоб отримати 4. Ми робимо висновок, що відповіді немає,$4÷0$ і тому ми говоримо, що поділ на 0 не визначено.

Підсумовуємо тут властивості нуля.

ВЛАСТИВОСТІ НУЛЯ

Множення на нуль: для будь-якого дійсного числа

$$a⋅0=0 \; \; \; 0⋅a=0 \; \; \; \; \text{The product of any number and 0 is 0.}$$

поділ на нуль: для будь-якого дійсного числа a,$a\neq 0$

$$\begin{array}{cl} \dfrac{0}{a}=0 & \text{Zero divided by any real number, except itself, is zero.} \\ \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} & \text{Division by zero is undefined.} \end{array}$$

Тепер ми будемо практикувати використання властивостей тотожностей, зворотних і нульових для спрощення виразів.

ПРИКЛАД$\PageIndex{7}$

Спростити:$−84n+(−73n)+84n.$

Відповідь

$\begin{array}{lc} \text{} & −84n+(−73n)+84n \\ \text{Notice that the first and third terms are} \\ \text{opposites; use the Commutative Property of} & −84n+84n+(−73n) \\ \text{addition to re-order the terms.} \\ \text{Add left to right.} & 0+(−73n) \\ \text{Add.} & −73n \end{array}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{8}$

Спростити:$−27a+(−48a)+27a$.

Відповідь

$−48a$

ПРИКЛАД$\PageIndex{9}$

Спростити:$39x+(−92x)+(−39x)$.

Відповідь

$−92x$

Тепер ми побачимо, як корисно розпізнавати взаємні дії. Перш ніж множити зліва направо, шукайте взаємні - їх продукт дорівнює 1.

ПРИКЛАД$\PageIndex{10}$

Спростити:$\frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7}$.

Відповідь

$\begin{array}{lc} \text{} & \frac{7}{15}⋅\frac{8}{23}⋅\frac{15}{7} \\ \text{Notice the first and third terms} \\ {\text{are reciprocals, so use the Commutative} \\ \text{Property of multiplication to re-order the} \\ \text{factors.}} & \frac{7}{15}·\frac{15}{7}·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply left to right.} & 1·\frac{8}{23} \\ \text{Multiply.} & \frac{8}{23} \end{array}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{11}$

Спростити:$\frac{9}{16}⋅\frac{5}{49}⋅\frac{16}{9}$.

Відповідь

$\frac{5}{49}$

Спростити:$\frac{6}{17}⋅\frac{11}{25}⋅\frac{17}{6}$.

Відповідь

$\frac{11}{25}$

Наступний приклад дає нам знати про різницю між діленням 0 на деяке число або деяке число ділиться на 0.

Спростити: a.$\frac{0}{n+5}$, де$n\neq −5$ б.$\frac{10−3p}{0}$ де$10−3p\neq 0.$

Відповідь

а.

$\begin{array}{lc} {} & \dfrac{0}{n+5} \\ \text{Zero divided by any real number except itself is 0.} & 0 \end{array}$

б.

$\begin{array}{lc} {} & \dfrac{10−3p}{0} \\ \text{Division by 0 is undefined.} & \text{undefined} \end{array}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{14}$

Спростити: а.$\frac{0}{m+7}$, де$m\neq −7$ б.$\frac{18−6c}{0}$, де$18−6c\neq 0$.

Відповідь

а. 0
б. невизначено

ПРИКЛАД$\PageIndex{15}$

Спростити: а.$\frac{0}{d−4}$, де$d\neq 4$ б.$\frac{15−4q}{0}$, де$15−4q\neq 0$.

Відповідь

а. 0
б. невизначено

Спрощення виразів за допомогою властивості розподілу

Припустимо, що в кіно збираються троє друзів. Кожному з них потрібно $9.25 - це 9 доларів і 1 квартал - щоб оплатити свої квитки. Скільки грошей їм потрібно всім разом?

Можна подумати про доларах окремо від кварталів. Їм потрібно 3 рази $9 так $27 і 3 рази 1 квартал, так 75 центів. Всього їм потрібно $27,75. Якщо ви думаєте про те, щоб зробити математику таким чином, ви використовуєте розподільну властивість.

РОЗПОДІЛЬНЕ МАЙНО

$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$

В алгебрі ми використовуємо властивість Distributive для видалення дужок, оскільки ми спрощуємо вирази.

ПРИКЛАД$\PageIndex{16}$

Спростити:$3(x+4)$.

Відповідь

$\begin{array} {} & 3(x+4) \\ \text{Distribute.} \; \; \; \; \; \; \; \; & 3·x+3·4 \\ \text{Multiply.} & 3x+12 \end{array}$

Спростити:$4(x+2)$.

Відповідь

$4x8$

ПРИКЛАД$\PageIndex{18}$

Спростити:$6(x+7)$.

Відповідь

$6x42$

Деякі студенти вважають корисним малювати стрілки, щоб нагадати їм, як використовувати розподільну властивість. Тоді перший крок у прикладі виглядатиме так:

ПРИКЛАД$\PageIndex{19}$

Спростити:$8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})$.

Відповідь

Розподілити.
Помножити.

ПРИКЛАД$\PageIndex{20}$

Спростити:$6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})$.

Відповідь

$5y+3$

ПРИКЛАД$\PageIndex{21}$

Спростити:$12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})$

Відповідь

$4n+9$

Використання розподільної властивості, як показано в наступному прикладі, буде дуже корисно, коли ми вирішуємо грошові додатки в наступних розділах.

ПРИКЛАД$\PageIndex{22}$

Спростити:$100(0.3+0.25q)$.

Відповідь

Розподілити.
Помножити.

ПРИКЛАД$\PageIndex{23}$

Спростити:$100(0.7+0.15p).$

Відповідь

$70+15p$

ПРИКЛАД$\PageIndex{24}$

Спростити:$100(0.04+0.35d)$.

Відповідь

$4+35d$

Коли ми розподіляємо негативне число, нам потрібно бути особливо обережними, щоб знаки були правильними!

ПРИКЛАД$\PageIndex{25}$

Спростити:$−11(4−3a).$

Відповідь

$\begin{array}{lc} {} & −11(4−3a) \\ \text{Distribute. } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;& −11·4−(−11)·3a \\ \text{Multiply.} & −44−(−33a) \\ \text{Simplify.} & −44+33a \end{array}$

Зверніть увагу, що ви також можете написати результат як$33a−44.$ Чи знаєте ви чому?

Спростити:$−5(2−3a)$.

Відповідь

$−10+15a$

ПРИКЛАД$\PageIndex{27}$

Спростити:$−7(8−15y).$

Відповідь

$−56+105y$

У наступному прикладі ми покажемо, як використовувати властивість Distributive, щоб знайти протилежне виразу.

Спростити:$−(y+5)$.

Відповідь

$\begin{array}{lc} {} & −(y+5) \\ \text{Multiplying by }−1 \text{ results in the opposite.}& −1(y+5) \\ \text{Distribute.} & −1·y+(−1)·5 \\ \text{Simplify.} & −y+(−5) \\ \text{Simplify.} & −y−5 \end{array}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{29}$

Спростити:$−(z−11)$.

Відповідь

$−z+11$

ПРИКЛАД$\PageIndex{30}$

Спростити:$−(x−4)$.

Відповідь

$−x+4$

Будуть випадки, коли нам потрібно буде використовувати розподільну властивість як частину порядку операцій. Почніть з погляду на дужки. Якщо вираз всередині дужок не можна спростити, наступним кроком буде множення за допомогою розподільної властивості, яка видаляє дужки. Наступні два приклади проілюструють це.

ПРИКЛАД$\PageIndex{31}$

Спростити:$8−2(x+3)$

Відповідь

Стежимо за порядком операцій. Множення відбувається перед відніманням, тому ми спочатку розподілимо 2, а потім віднімаємо.

$\begin{array}{lc} {} & \text{8−2(x+3)} \\ \text{Distribute.} & 8−2·x−2·3 \\ \text{Multiply.} & 8−2x−6 \\ \text{Combine like terms.} &−2x+2 \end{array}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{32}$

Спростити:$9−3(x+2)$.

Відповідь

$3−3x$

ПРИКЛАД$\PageIndex{33}$

Спростити:$7x−5(x+4)$.

Відповідь

$2x−20$

ПРИКЛАД$\PageIndex{34}$

Спростити:$4(x−8)−(x+3)$.

Відповідь

$\begin{array}{lc} {} & 4(x−8)−(x+3) \\ \text{Distribute.} & 4x−32−x−3 \\ \text{Combine like terms.} & 3x−35 \end{array}$

ПРИКЛАД$\PageIndex{35}$

Спростити:$6(x−9)−(x+12)$.

Відповідь

$5x−66$

ПРИКЛАД$\PageIndex{36}$

Спростити:$8(x−1)−(x+5)$.

Відповідь

$7x−13$

Усі властивості дійсних чисел, які ми використовували в цьому розділі, узагальнені тут.

Комутативне майно При додаванні або множенні зміна порядку дає той же результат $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

Асоціативна властивість При додаванні або множенні зміна угруповання дає той же результат. $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

Розподільна власність $$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$$

Ідентичність власності $$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

Зворотна властивість $$\begin{array}{lc} \textbf{of addition } \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

Властивості нуля $$\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}$$

Ключові концепції

Комутативне властивість При додаванні або множенні зміна порядку дає однаковий результат $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a+b=b+a. \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a \text{ and }b \text{are real numbers, then} & a·b=b·a. \end{array}$$

Асоціативна властивість При додаванні або множенні зміна групування дає однаковий результат. $$\begin{array}{lll} \textbf{of Addition} & \text{If }a,b, \text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a+b)+c=a+(b+c). \\ \textbf{of Multiplication} & \text{If }a,b,\text{ and }c \text{ are real numbers, then} & (a·b)·c=a·(b·c). \end{array}$$

Розподільна власність $$\begin{array}{lc} \text{If }a,b \text{,and }c \text{are real numbers, then} \; \; \; \; \; & a(b+c)=ab+ac \\ {} & (b+c)a=ba+ca \\ {} & a(b−c)=ab−ac \\{} & (b−c)a=ba−ca \end{array}$$

Ідентичність власності $$\begin{array}{ll} \textbf{of Addition} \text{ For any real number }a:a+0=a & 0+a=a \\ \;\;\;\; \textbf{0} \text{ is the } \textbf{additive identity} \\ \textbf{of Multiplication} \text{ For any real number } a:a·1=a & 1·a=a \\ \;\;\;\; \textbf{1} \text{ is the } \textbf{multiplicative identity} \end{array}$$

Зворотна властивість $$\begin{array}{lc} \textbf{of addition} \text{For any real number }a, & a+(−a)=0 \\ \;\;\;\; −a \text{ is the } \textbf{additive inverse }\text{ of }a & {} \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{opposite } \text{add to zero.} \\ \\ \\ \textbf{of multiplication } \text{For any real number }a,a\neq 0 & a·\dfrac{1}{a}=1 \\ \;\;\;\;\;\dfrac{1}{a} \text{ is the } \textbf{multiplicative inverse} \text{ of }a \\ \;\;\;\; \text{A number and its } \textit{reciprocal} \text{ multiply to one.} \end{array}$$

Властивості нуля $$\begin{array}{lc} \text{For any real number }a, & a·0=0 \\ {} & 0·a=0 \\ \text{For any real number }a,a\neq 0, & \dfrac{0}{a}=0 \\ \text{For any real number }a, & \dfrac{a}{0} \text{ is undefined} \end{array}$$

Глосарій

адитивна ідентичність

Число 0 є адитивним ідентифікатором, оскільки додавання 0 до будь-якого числа не змінює його значення.

добавка обернена

Протилежністю числу є його адитивна зворотна.

мультиплікативна ідентичність

Число 1 є мультиплікативною ідентичністю, оскільки множення 1 на будь-яке число не змінює його значення.

мультиплікативний зворотний

Зворотне число - це його мультиплікативний зворотний.