5.1: Операції та властивості

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67102

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цей набір вправ призначений для того, щоб дати вам зрозуміти, що таке «бінарні операції», і дати вам глибше розуміння комутативних, асоціативних та розподільних властивостей. Для цього ми збираємося визначити і працювати з деякими дурницями операції. По-перше, нам потрібно добре зрозуміти, що таке операція. Двійкові операції, з якими ви знайомі, - це додавання, віднімання, множення та ділення. Це означає, що ви виконуєте правило, використовуючи два числа. Наприклад, ми знаємо, що робити, коли бачимо знак плюс (+), знак віднімання (—), знак множення ($\times$або$\bullet$) або знак ділення ($\div$) між двома числами. Існує певне «правило», яке ми застосовуємо.

Припустимо, вас попросили обчислити 5~~) (~~3. Ви б не знали, що робити, якщо хтось не сказав вам, що~~) (~~означало. Це все одно, що запитати когось, хто ніколи не чув про додавання, або бачив знак додавання (+) для обчислення 5 + 3. Для того, щоб зробити обчислення, використовувана операція повинна бути визначена. Операції, про які ви вже знаєте, - це додавання, множення, віднімання та ділення. Ви також знаєте, як обчислювати показники, і як порівнювати числа (<, = or >).

Почнемо з визначення того, що~~) (~~означає. Це просто вигадана операція, яку ми визначаємо для використання в цій робочій книзі, так що ви будете мати більш глибоке розуміння бінарних операцій. Там дійсно немає такої операції, як я в реальному світі.

Визначте~~) (~~ось так: М~~) (~~N = 3M + 2N + 8.

Змінні, які я використовую для визначення цієї двійкової операції, є довільними. Я міг би використовувати будь-які літери або символи, які я хочу. Або я міг би пояснити, як виконати бінарну операцію~~) (~~, що набагато громіздкіше.

Ось як я міг би пояснити, як обчислити: Обчислити з~~) (~~, помножте число перед~~) (~~на 3 і додайте це в два рази більше числа після~~) (~~, а потім додайте 8. Як бачите, простіше «пояснити» за допомогою змінних. Ось ще три способи, які я міг би визначити~~) (~~, не змінюючи значення~~) (~~.

а~~) (~~б = 3а + 2б + 8

б~~) (~~а = 3б + 2а + 8

х~~) (~~у = 3х+ 2у + 8

Зверніть увагу, що в кожному випадку один множить перший символ на 3, додає його в два рази другий символ, а потім додає 8! Це те ж правило, але я вибрав різні змінні, щоб «пояснити» правило. Ви повинні звернути пильну увагу на те, в чому сенс операції, і точно слідувати правилу. Це як працювати з функціями в алгебрі.

Давайте обчислимо і спростимо кілька проблем з~~) (~~:

5~~) (~~3 = 3 (5) + 2 (3) + 8 = 15 + 6 + 8 = 29

3~~) (~~5 = 3 (3) + 2 (5) + 8 = 9 + 10 + 8 = 27

р~~) (~~с = 3р + 2с + 8

Правило для операції не обов'язково залежить від обох використовуваних змінних, і насправді може не залежати від жодної з них. На наступній сторінці визначено декілька нових операцій; деякі обчислення використовують лише одну зі змінних, деякі не використовують жодної. Припустимо, існує вісім нових двійкових операцій, які визначаються наступним чином:

~~) (~~	а~~) (~~б = 3а + 2б + 8
*	а* б = а + 2b
,	а, б =$a^{2} + b^{2}$
!	а! b = 2 (Зверніть увагу, що відповідь не залежить від a або b)
$\oplus$	$a \oplus b$= 3аб
#	a # b = менша величина a або b
@	a @ b = 2b (Зверніть увагу, що відповідь не залежить від a)
$\odot$	а$\odot$ б = 2а + 2б
$\boxed{\times}$	a$\boxed{\times}$$b = a^{2} + b$

Пам'ятайте, що a і b - це просто «фіктивні» змінні. Будь-які змінні могли бути використані для визначення вищезазначених функцій. Першу операцію, *, можна було б визначити так: m * n = m + 2n. Сенс визначення точно такий же. Щоб застосувати визначення *, щоб отримати відповідь, він говорить взяти перше число і додати його в два рази друге число.

Ось кілька прикладів для вивчення, перш ніж перейти на наступну сторінку

6~~) (~~7 = 3 (6) +2 (7) +8 = 18+14+8 = 40	2$\oplus$ 5 = 3 (2) (5) = 30
7~~) (~~6 = 3 (7) +2 (6) +8 = 21+12+8= 41	р$\oplus$ с = 3рс
4~~) (~~4 = 3 (4) +2 (4) +8 = 12+8+8 = 28	4 # 7 = 4
в~~) (~~з = 3в+ 2з+ 8	5 # 2 = 2
5* 3 = 5+ 2 (3) = 5 + 6 = 11	7 # 4 = 4
4* 7 = 4 + 2 (7) = 4 + 14 = 18	c # d = менше значення c або d
3 * 5 = 3 + 2 (5) = 3 + 10 = 13	5 @ 6 = 2 (6) = 12
в* з = з + 2з	7 @ 3 = 2 (3) = 6
5, 3 =$5^{2} + 3^{2} = 25 + 9 = 34$	6 @ 5 = 2 (5) = 10
4, 3$4^{2} + 3^{2}$ = 16 + 9 = 25	р @ q = 2q
3, 5$3^{2} + 5^{2}$ = 9 + 25 = 34	6$\odot$ 3 = 2 (6) + 2 (3) = 12 + 6 = 18
v, z =$v^{2} + z^{2}$	5$\odot$ 8 = 2 (5) + 2 (8) = 10 + 16 = 26
5! 3 = 2	3$\odot$ 6 = 2 (3) + 2 (6) = 6 + 12 = 18
8! 7 = 2	ч$\odot$ к = 2ч + 2к
(мотлох)! (речі) = 2	4$\boxed{\times}$$7 = 4^{2}$ + 7 = 16 + 7 = 23
ш! q = 2	6$\boxed{\times}$$9 = 6^{2}$ + 9 = 36 + 9 = 45
$5 \oplus 2 = 3(5)(2) = 30$	7$\boxed{\times}$$4 = 7^{2}$ + 4 = 49 + 4 = 53
$4 \oplus 7 = 3(4)(7) = 84$	z$\boxed{\times}$$n = z^{2} + n$

Вправа 1

Обчислити наступне. Показати всі кроки. Якщо вам потрібна допомога, подивіться приклади на попередній сторінці

7~~) (~~6 = ______________________	4$\oplus$ 7 = _____________________
4~~) (~~4 = ______________________	2$\oplus$ 5 = _____________________
в~~) (~~з = ______________________	р$\oplus$ с = _____________________
5* 3 = _____________________	4 # 7 = _____________________
4* 7 = _____________________	5 # 2 = _____________________
3 * 5 = _____________________	7 # 4 = _____________________
в* з = _____________________	с # д = _____________________
5, 3 = _____________________	5 @ 6 = ____________________
4, 3 = _____________________	7 @ 3 = ____________________
3, 5 = _____________________	6 @ 5 = ____________________
v, z = ______________________	р @ q = ____________________
5! 3 = _____________________	6$\odot$ 3 = _____________________
8! 7 = _____________________	5$\odot$ 8 = ____________________
(мотлох)! (матеріал) = _____________	3$\odot$ 6 = ____________________
ш! q = ____________________	ч$\odot$ к = ____________________
$5 \oplus 2$= _____________________	4$\boxed{\times}$ 7 = ____________________
	6$\boxed{\times}$ 9 = ____________________
	7$\boxed{\times}$ 4 = ____________________
	з$\boxed{\times}$ н = ____________________

Наведені вище проблеми - це ті ж приклади, які були зроблені на попередній сторінці. Якщо вам потрібна допомога, озирніться на приклади ще раз. Не продовжуйте, поки ви не зможете отримати їх все в порядку.

Вправа 2

Обчислити і спростити наступне. Показати всі кроки.

а. 8 * 4

б. 4, 7

c. 79! 88

д. 7$\oplus$ 2

е. 6 # 4

ф. 4 @ 9

г. 5$\odot$ 2

ч. 6$\boxed{\times}$ 5

я. 2~~) (~~3)

Операція є комутативною$\blacklozenge$, якщо для будь-яких двох значень, X і Y, X$\blacklozenge$ Y = Y$\blacklozenge$ X.

Знову ж таки,$\blacklozenge$ це просто «фіктивна» операція і «X» і «Y» є фіктивними змінними. Щоб певна операція була комутативною, рівняння завжди має бути істинним, незалежно від того, які значення використовуються для X та Y.

Наприклад, операція * є комутаційною, лише якщо m * n = n * m завжди вірно незалежно від того, які значення введені для m або n.

Щоб показати, що операція не є комутативною, все, що вам потрібно зробити, це надати контрприклад (з конкретними значеннями), який показує, що рівняння не відповідає дійсності принаймні для цих конкретних значень. Щоб довести, що операція є комутативною, більше бере участь, тому що ви повинні довести, що це завжди вірно незалежно від того, які значення ви використовуєте. Вам доведеться змінити порядок вихідних значень (a і b, або X і Y тощо), і показати алгебраїчно, що обидва вирази спрощують до одного і того ж.

З моїх прикладів після визначення операцій та проблем, які ви працювали у вправі 2, повинно бути зрозуміло, які з восьми операцій не є комутативними.

Нехай @ буде визначено наступним чином: m @ n = 2n. @ комутативний?

Рішення: Якщо @ є комутативним, то m @ n = n @ m для всіх значень m і n.

Але, 5 @ 6 = 12 і 6 @ 5 = 10.

Тому @ не є комутативним, оскільки 5 @$\neq$ 6 @ 5.

Нехай & буде визначено наступним чином: m & n = 2mn. Це & комутативний?

Рішення: Якщо & є комутаційним, то m & n = n & m для всіх значень m і n. по-перше, я б спробувати деякі числа в для a і b, щоб побачити, чи можу я придумати контрприклад. Наприклад, 5 & 6 = 2 (5) (6) = 60 і 6 & 5 = 2 (6) (5) = 60. Тут немає зустрічного прикладу. Отже, я використовую алгебру, щоб довести, що m & n = n & m Оскільки m & n = 2mn, а n & m = 2nm, питання: Чи 2mn = 2nm? Так, це так! Оскільки m & n = n & m для всіх m і n, то & є комутативним.

Вправа 3

Для кожної перерахованої операції визначте, комутативна вона чи ні. Якщо це не комутативно, наведіть контрприклад, як я зробив для @. Якщо це комутативно, довести, що це комутативно, як я зробив для & вище. Почніть кожну задачу, вказавши, яке рівняння має бути істинним, якщо перерахована операція є комутативною

а.! визначається так: m! п = 2. Визначте, чи! є комутативним.

Напишіть загальне рівняння, яке істинно, якщо! є комутативним: _____________

Є! комутативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть! є комутативним. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати його не комутативно.

б.$\oplus$ визначається так: m$\oplus$ n = 3mn. Визначте$\oplus$, чи є комутативним.

Запишіть загальне рівняння, яке є$\oplus$ істинним, якщо є комутативним: ______________

$\oplus$Комутативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть, що$\oplus$ є комутативним. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати його не комутативно.

c. # визначається: m # n = менша величина m або n. визначити, чи є # комутативним.

Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо # є комутативним: ______________

Це # комутативний? ________. Якщо ви відповіли «так», наведіть приклад. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати це не комутативно.

d.$\odot$ визначається так: m$\odot$ n = 2m + 2n. Визначте$\odot$, чи є комутативним.

Запишіть загальне рівняння, яке є$\odot$ істинним, якщо є комутативним:

$\odot$Комутативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть, що$\odot$ є комутативним. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати його не комутативно.

е.$\boxed{\times}$ Визначається так: m$\boxed{\times}$$n = m^{2} + n$. Визначте$\boxed{\times}$, чи є комутативним.

Запишіть загальне рівняння, яке є$\boxed{\times}$ істинним, якщо є комутативним:

$\boxed{\times}$Комутативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть, що$\boxed{\times}$ є комутативним. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати його не комутативно.

ф$m , n = m^{2} + n^{2}$. Визначте, чи o є комутативним.

Запишіть загальне рівняння, яке істинно, якщо, є комутативним:

Є, комутативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть, є комутативним. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати його не комутативно.

гр. м * п = м + 2н. Визначте, чи * є комутативним.

Напишіть рівняння, яке має бути істинним, якщо * є комутативним:

Чи є комутативним? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть, що * є комутативним. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати його не комутативно.

ч. м~~) (~~п = 3м + 2н + 8. Визначте, якщо~~) (~~є комутативним.

Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо~~) (~~є комутативним:

Є~~) (~~комутативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть~~) (~~є комутативним. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати його не комутативно.

Перш ніж перейти до визначення того, чи є операція асоціативною чи розподільною, ми повинні обчислити ще кілька проблем, які трохи більше задіяні. Переконайтеся, що ви дотримуєтеся порядку операцій, як ви працюєте через ці наступні кілька проблем. Подивіться спочатку приклади

Приклад 1:

$(2 \oplus 3) \oplus 4$

(по-перше зробити$2 \oplus 3) \quad 18 \oplus 4$

216

Приклад 2:

4, (3, 2)

(перший робити 3, 2) 4, 13

185

Вправа 4

Спростіть кожне з наведених нижче дій. Виконайте порядок операцій (спочатку зробіть те, що в дужках) і показуйте кожен крок.

а. (3 * 5) * 2	б. (3 @ 5) @ 2	c. (3! 5)! 7
д. ($\oplus$3$\oplus$ 42)	д. (3$\odot$$\odot$ 52)	ф. ($\boxed{\times}$3$\boxed{\times}$ 24)

Вправа 5

Обчисліть наступне, використовуючи визначення для операцій, як показано вище. Зверніть увагу, що в деяких проблемах є більше однієї операції. При спрощенні використовуйте порядок операцій (спочатку зробіть те, що є в дужках) і показуйте кожен крок.

а. 3$\oplus$ (5$\oplus$ 2)	б. 3$\odot$ (5$\odot$ 2)	с. 3$\boxed{\times}$ (4$\boxed{\times}$ 2)
д. 8 # (9 # 6)	е. (8 # 9) # 6	ф. (4, 3), 2
г. 2 @ (3 # 4)	ч. (2 @ 3) # 4	я. ($\odot$15) # 40

Операція є асоціативною$\blacklozenge$, якщо (X$\blacklozenge$ Y)$\blacklozenge$ Z = X$\blacklozenge$ (Y$\blacklozenge$ Z) для значень X, Y та Z.

Знову ж таки,$\blacklozenge$ це просто «фіктивна» операція і «X» і «Y» і «Z» є фіктивними змінними. Щоб конкретна операція була асоціативною, рівняння завжди має бути істинним незалежно від того, які значення використовуються для X, Y та Z.

Наприклад, операція* є асоціативною, лише якщо (v * w) * x = v * (w * x) завжди вірно незалежно від того, які значення вводяться для v, w або x.

Щоб показати, що операція не є асоціативною, все, що вам потрібно зробити, це надати контрприклад (використовуючи фактичні числа), який показує, що рівняння не відповідає дійсності принаймні для цих конкретних чисел. Щоб довести, що операція асоціативна більше бере участь, тому що ви повинні довести, що це завжди вірно незалежно від того, які значення ви використовуєте. Вам доведеться переключити дужки і показати алгебраїчно, що обидва вирази завжди спрощують одне і те ж.

Приклад

Нехай @ буде визначено наступним чином: m @ n = 2n. @ асоціативний?

Якщо @ асоціативний, то (a @ b) @ c = a @ (b @ c) для всіх значень a, b і c Спочатку я б спробувати деякі числа для a, b і c, щоб побачити, чи можу я придумати контрприклад: (2 @ 3) @ 4 = 6 @ 4 = 8, і 2 @ (3 @ 4) = 2 @ 8 = 16. Це показує, що @ не є асоціативним і надає нам зустрічний приклад: Оскільки$(2 @ 3) @ 4 \neq 2 @ (3 @ 4)$ @ не є асоціативним.

Приклад

Нехай & буде визначено наступним чином: m & n = 2mn. Це & асоціативний?

Якщо & є асоціативним, то (a & b) & c = a & (b & c) для всіх значень a, b і c. по-перше, я б спробувати деякі числа в для a, b і c, щоб побачити, чи можу я придумати контрприклад: (2 & 3) & 4 = 12 & 4 = 96, і 2 & (3 & 4) = 2 & 24 = 96. Тут немає зустрічного прикладу. Я можу спробувати інший приклад з числами, або я можу перейти безпосередньо до використання алгебри, щоб побачити, чи можу я довести, що це завжди правда, що (a & b) & c = a & (b & c). Спочатку нам потрібно спростити ліву сторону: (a & b) & c = 2ab & c = 4abc. Тепер ми повинні спростити праву сторону: a & (b & c) =a &2bc = 4abc. Оскільки (a &b) & c = a & (b & c), то & є асоціативним.

Вправа 6

Для кожної перерахованої операції визначте, асоціативна вона чи ні. Якщо він не асоціативний, наведіть контрприклад, як я зробив для @ і~~) (~~. Якщо це асоціативно, доведіть, що це асоціативно, як я зробив для & вище. Починайте кожну задачу з визначення загального рівняння, яке є істинним, якщо перелічена операція є асоціативною.

а.! визначається так: m! п = 2. Визначте, чи є q асоціативним.

Напишіть загальне рівняння, яке істинно, якщо! асоціативний:

Є! асоціативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть! асоціативний. Якщо ви відповіли «ні», надайте контрприклад, щоб проілюструвати це не асоціативно.

б.$\oplus$ визначається так: m$\oplus$ n = 3mn. Визначте$\oplus$, чи є асоціативним.

Напишіть загальне рівняння, яке є$\oplus$ істинним, якщо асоціативне:

Є$\oplus$ асоціативним? ________. Якщо ви відповіли «так»,$\oplus$ доведіть асоціативно. Якщо ви відповіли «ні», наведіть контрприклад, щоб проілюструвати його не асоціативно.

c. m # n = менше значення m або n. визначити, чи є # асоціативним.

Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо # асоціативне:

Це # асоціативний? ________. Якщо ви відповіли «так», наведіть приклад. Якщо ви відповіли «ні», наведіть контрприклад, щоб проілюструвати його не асоціативно.

d.$\odot$ визначається так: m$\odot$ n = 2m + 2n. Визначте$\odot$, чи є асоціативним.

Напишіть загальне рівняння, яке є$\odot$ істинним, якщо асоціативне:

Є$\odot$ асоціативним? ________. Якщо ви відповіли «так»,$\odot$ доведіть асоціативно. Якщо ви відповіли «ні», наведіть контрприклад, щоб проілюструвати його не асоціативно.

е.$\boxed{\times}$ Визначається так: m$\boxed{\times}$$n = m^{2} + n$. Визначте$\boxed{\times}$, чи є асоціативним.

Напишіть загальне рівняння, яке є$\boxed{\times}$ істинним, якщо асоціативне:

Є$\boxed{\times}$ асоціативним? ________. Якщо ви відповіли «так»,$\boxed{\times}$ доведіть асоціативно. Якщо ви відповіли «ні», наведіть контрприклад, щоб проілюструвати його не асоціативно.

ф. м,$n = m^{2} + n^{2}$. Визначте, якщо, є асоціативним.

Запишіть загальне рівняння, яке істинно if, є асоціативним:

Є, асоціативний? ________. Якщо ви відповіли так, доведіть, асоціативно. Якщо ви відповіли «ні», наведіть контрприклад, щоб проілюструвати його не асоціативно.

г. а* б = а + 2b. Визначте, чи * є асоціативним.

Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо * є асоціативним:

Являє* асоціативний? ________. Якщо ви відповіли «так», доведіть * асоціативно. Якщо ви відповіли «ні», наведіть контрприклад, щоб проілюструвати його не асоціативно.

Операція,$\blacklozenge$, розподіляється по іншій операції,$\phi$ якщо для будь-яких значень X, Y і Z:

Х$\blacklozenge$ (У$\phi$ З) = ($\blacklozenge$Х У)$\phi$ (Х$\blacklozenge$ З). Це лівостороння розподільна властивість, оскільки символ зліва (у цьому випадку X) розподіляється по дужках праворуч. Правостороння розподільна власність держави: Операція,$\blacklozenge$, розподіляється над

інша операція,$\phi$ якщо для будь-яких значень X, Y і Z: (Y$\phi$ Z)$\blacklozenge$ X = (Y$\blacklozenge$ X)$\phi$ (Z$\blacklozenge$ X).

Якщо не вказано інше, припустимо, що розподільна властивість відноситься до Лівостороннього розподільного майна.

Пам'ятайте, що$\blacklozenge$ і$\phi$ просто «фіктивні» операції і «X» і «Y» і «Z» є фіктивними змінними. Для конкретної операції, розподіленої над іншою операцією, рівняння

завжди має бути true незалежно від того, які значення або змінні використовуються для X, Y і Z.

Наприклад, операція * розподіляється над +, лише якщо v * (w + x) = (v * w) + (v * x) завжди вірно незалежно від того, яке значення ви ввели для v, w та x.

Щоб показати, що операція не розподіляється над іншою операцією, вам потрібно лише надати контрприклад (використовуючи фактичні числа), який показує, що рівняння не відповідає дійсності принаймні для цих конкретних чисел. Щоб довести, що операція поширюється над іншою операцією більше бере участь, тому що ви повинні довести, що це завжди вірно незалежно від того, які значення ви використовуєте. Спочатку вам доведеться працювати з лівою стороною рівняння (використовуючи порядок операцій - спочатку спрощуючи в дужках), а потім працювати з правою частиною рівняння (використовуючи порядок операцій шляхом спрощення в дужках спочатку), і, нарешті, вам потрібно буде показати алгебраїчно, що обидва вирази завжди спрощують до одного і того ж.

Вправа 7

Нехай @ буде визначено наступним чином: m @ n = 2n. Ми збираємося визначити, якщо @ розподіляє над додаванням. Напишіть рівняння, яке було б істинним, якщо @ розподіляється над додаванням:

Я допоможу вам з рештою рішення. Якщо @ розподіляється над додаванням, то @ (b + c) = (a @ b) + (a @ c) для всіх значень a, b і c По-перше, я б спробувати деякі числа в для a, b і c, щоб побачити, чи можу я придумати контрприклад: 5 @ (3 + 4) = 5 @ 7 = 14 і (5 @ 3) + (5 @ 4) = 6 = 8 14. Тут немає зустрічного прикладу. Я можу спробувати інший приклад з цифрами або спробувати довести це алгебраїчно. Спочатку спростіть ліву сторону, використовуючи визначення @: a @ (b + c) = 2 (b + c) = 2b + 2c. Тепер, щоб спростити праву сторону: (a @ b) + (a @ c) = 2b + 2c. Оскільки обидва вирази дорівнюють одному і тому ж (2a + 2b), a @ (b + c) = (a @ b) + (a @ c), а отже, ми говоримо, що YES, @ розподіляється над додаванням.

Вправа 8

Нехай @ буде визначено наступним чином: m @ n = 2n. Ми збираємось визначити, чи розповсюджується додавання над @. Запишіть рівняння, яке є істинним, якщо додавання розподіляється над @:

Я допоможу вам з рештою рішення. Якщо додавання розподіляється над @, то a + (b @ c) = (a + b) @ (a + c) для всіх значень a, b і c Спочатку я б спробувати деякі числа в a, b і c, щоб побачити, чи можу я придумати контрприклад: 5 + (3 @ 4) = 5 + 8 = 13 і (5 + 3) @ (5 + 4) = 8 @ 18. Це показує, що додавання не поширюється над @ і надає нам зустрічний приклад.
Так як$5 + (3 @ 4) \neq (5 + 3) @ (5 + 4)$, додавання не поширюється над @.

Вправа 9

Дозволяти & визначатися за допомогою: m & n = 2mn і нехай $ буде визначено: m $$n = m^{2}$. Ми збираємося визначити, якщо & розподіляє над $ або якщо $ розподіляється над &. По-перше, давайте визначимо, якщо & розподіляє по $.

а. Напишіть рівняння, яке було б істинним, якщо & розподілити по $:

Я допоможу вам з рештою рішення. Якщо & розподіляється над $, то це рівняння вірно: a & (b $ c) = (a & b) $ (a & c). Давайте обчислимо кожну сторону рівняння, поставивши деякі значення для a, b і c, щоб побачити, якщо ми знайдемо контрприклад. Ми побачимо, якщо 2 & (3$ 4) і (2 & 3) $ (2 & 4) рівні. Оскільки 2 & (3$ 4) = 2 & 9 = 36, і
(2 & 3) $ (2 & 4) = 12$ 16 = 144, рівняння не відповідає дійсності, і ми маємо контрприклад. Тому & не поширюється на $.

Далі ми визначимо, якщо $ розподіляється над &.

б Запишіть рівняння, яке є істинним, якщо $ розподіляється над &:

Я допоможу вам з рештою рішення. Якщо $ розподіляється над &, то це рівняння вірно для всіх значень a, b і c: a $ (b & c) = (a $ b) & (a $ c). Давайте обчислимо кожну сторону рівняння, поставивши деякі значення для a, b і c, щоб побачити, якщо ми знайдемо контрприклад. Давайте подивимося, якщо рівні 2$ (3 & 4) і (2$ 3) & (2$ 4). Оскільки 2$ (3 & 4) = 2$ 24 = 4, і (2$ 3) & (2$ 4) = 4 & 4 = 32, рівняння не відповідає дійсності (оскільки$4 \neq 32$), і ми маємо зустрічний приклад. Таким чином, $ не поширюється на &.

Вправа 10

Нехай! і$\oplus$ визначитися наступним чином: a! б = 2 і$a \oplus b$ = 3аб.

a Напишіть загальне рівняння, яке істинно, якщо! розподіляє по$\oplus$.

б. робить! розподілити над$\oplus$? _________

c. якщо! розподіляє над$\oplus$, довести це. В іншому випадку надайте зустрічний приклад, щоб проілюструвати це! не розподіляється по$\oplus$.

Продовження вправи 10 де! б = 2 і а$\oplus$ б = 3аб.

d Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо$\oplus$ розподіляється!.

е.$\oplus$ поширюється над! ? __________

f Якщо$\oplus$ розподіляє над! , довести це. В іншому випадку наведіть контрприклад, щоб проілюструвати, що$\oplus$ не поширюється над!.

Вправа 11

Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо додавання розподіляється над множенням.
Чи поширюється додавання над множенням? _________
Якщо додавання розподіляється над множенням, доведіть це. В іншому випадку наведіть контрприклад, щоб проілюструвати, що додавання не розподіляється над множенням.

Вправа 12

Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо множення розподіляється над відніманням.
Чи розподіляється множення над відніманням? _________
Якщо множення розподіляється над відніманням, доведіть це. В іншому випадку наведіть контрприклад, щоб проілюструвати, що множення не розподіляється над відніманням.

Вправа 13

Нехай, і @ визначаються наступним чином: a,$b = a^{2} + b^{2}$ а @ b = 2b

Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо, розподіляється над @.
Чи, поширювати над @? __________
Якщо, розподіляє над @, довести це. В іншому випадку наведіть контрприклад, щоб проілюструвати це, не поширюється над @.
Запишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо @ розподіляє над,.
Чи розподіляє @ над,? __________
Якщо @ розподіляє більше, доведіть це. В іншому випадку наведіть контрприклад, щоб проілюструвати, що @ не поширюється над,.

Вправа 14

Складіть і визначте дві нові операції.
Напишіть загальне рівняння, яке є істинним, якщо одна операція розподіляється над іншою.
Визначте, чи володіє розподільна властивість для ваших операцій, доводячи це або надавши контрприклад, що ілюструє рівняння в частині b, не відповідає дійсності.

Вправа 15

Визначити$\oint$ і$\boxed{\wedge}$ наступним чином: m$\oint$ n = 2м + 3n і m$\boxed{\wedge}$ n = mn + 2

а) Створіть рівняння, яке є істинним, якщо$\oint$ є комутативним:

$\oint$Комутативний?