8.5: Логарифмічні функції
- Page ID
- 58033
Тепер ми можемо застосувати обернену теорію функцій з попереднього розділу до експоненціальної функції. З розділу 8.2 ми знаємо, що функція або\(f(x) = b^x\) збільшується (якщо b > 1), або зменшується (якщо 0 < b < 1), і тому є один до одного. Отже, f має обернену функцію\(f^{−1}\).
Як приклад розглянемо експоненціальну функцію\(f(x) = 2^x\). f збільшується, має домен\(D_{f} = (−\infty, \infty)\) і діапазон\(R_{f} = (0, \infty)\). Її графік показаний на малюнку 1 (а). Графік оберненої функції\(f^{−1}\) є відображенням графіка f поперек лінії y = x, і показаний на малюнку 1 (б). Оскільки домени та діапазони поміняються місцями, область зворотної функції є,\(D_{f^{−1}} = (0, \infty)\) а діапазон є\(R_{f^{−1}} = (−\infty, \infty)\).
![Знімок екрана 2019-08-13 в 3.15.16 PM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/27676/Screen_Shot_2019-08-13_at_3.15.16_PM.png)
На жаль, коли ми намагаємося використовувати процедуру, наведену в розділі 8.4, щоб знайти формулу для\(f^{−1}\), ми стикаємося з проблемою. Починаючи з\(y = 2^x\), ми потім обмінюємося х і у, щоб отримати\(x = 2^y\). Але тепер у нас немає алгебраїчного методу для вирішення цього останнього рівняння для y. Звідси випливає, що обернене не\(f(x) = 2^x\) має формули, що включає звичайні арифметичні операції та функції, з якими ми знайомі. Таким чином, обернена функція є новою функцією. Ім'я цієї нової функції - логарифм від х до основи 2, і це позначається\(f^{−1}(x) = log_{2}(x)\).
Нагадаємо, що визначальний зв'язок між функцією та її оберненою (Властивість 14 в розділі 8.4) просто говорить про те, що входи та виходи двох функцій взаємозамінні. Таким чином, зв'язок між\(2^x\) і його зворотним\(log_{2}(x)\) набуває такого вигляду:
\(v = log_{2}(u) \longleftrightarrow u = 2^v\)
Більш загально, для кожної експоненціальної функції\(f(x) = b^x\) (b > 0,\(b \ne 1\)) обернена функція\(f^{−1}(x)\) називається логарифмом від x до основи b, і позначається символом\(log_{b}(x)\). Визначальне співвідношення дано в наступному визначенні.
Визначення\(\PageIndex{1}\)
Якщо b > 0 і\(b \ne 1\), то логарифм від u до основи b визначається співвідношенням
\(v = log_{b}(u) \longleftrightarrow u = b^v\). (2)
Для того щоб краще зрозуміти функцію логарифма, давайте попрацюємо кілька простих прикладів.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Обчислити\(log_{2}(8)\).
- Відповідь
-
Позначте необхідне значення по v, так\(v = log_{2}(8)\). Потім по (2), використовуючи b = 2 і u = 8, випливає\(2^v = 8\), що, а значить v = 3 (рішення шляхом огляду).
В останньому прикладі зверніть увагу, що\(log_{2}(8) = 3\) is the exponent v такий, що\(2^v = 8\). Таким чином, загалом, одним із способів інтерпретації визначення логарифма в (2)\(log_{b}(u)\) є те, що\(b^v = u\). показник v такий, що Іншими словами, значення логарифма є показником!
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Обчислити\(log_{10}(10000)\).
- Відповідь
-
Знову ж таки, позначте потрібне значення по v, так\(v = log_{10}(10000)\). За (2) випливає\(10^v = 10 000\), що, а значить v = 4. Зауважте, що тут ми знову знайшли показник v = 4, який потрібен для бази 10, щоб отримати\(10^v = 10 000\).
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Обчислити\(log_{3}(\frac{1}{9})\).
- Відповідь
-
\(v = log_{3}(\frac{1}{9})\)
\(\rightarrow 3^v = \frac{1}{9}\)по (2)
\(\rightarrow v = −2\)так як\(3^{−2} = \frac{1}{9}\)
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Вирішити рівняння\(log_{5}(x) = 1\).
- Відповідь
-
\(log_{5}(x) = 1\)
\(\rightarrow 5^1 = x\)по (2)
\(\rightarrow x = 5\)
Приклад\(\PageIndex{7}\)
Розв'яжіть рівняння\(log_{b}(64) = 3\) для b.
- Відповідь
-
\(log_{b}(64) = 3\)
\(\rightarrow b^3 = 64\)по (2)
\(\rightarrow b = \sqrt[3]{64} = 4\)
Приклад\(\PageIndex{8}\)
Вирішити рівняння\(log_{\frac{1}{2}}(x) = −2\).
- Відповідь
-
\(log_{\frac{1}{2}}(x) = −2\)
\(\rightarrow (\frac{1}{2})^{−2} = x\)по (2)
\(\rightarrow \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\)
Співвідношення складу у власності 15 розділу 8.4, застосовані до\(b^x\) і\(log_{b}(x)\), стають
НЕРУХОМІСТЬ\(\PageIndex{9}\)
\[log_{b}(b^x) = x \label{10}\]
і
\[b^{log_{b}(x)} = x \label{11}.\]
Обидва рівняння важливі. Зауважте, що Equatio n\ ref {11} ag ain показує, що показник v такий, що\(b^v = x\). Equatio n\ ref {10} буде часто використовуватися в цьому та пізніших розділах, щоб допомогти нам розв'язати експоненціальні рівняння.\(log_{b}(x)\)
Логарифмічні функції використовуються в багатьох областях науки і техніки. Наприклад, вони використовуються для визначення шкали Ріхтера для величин землетрусів, децибел шкали гучності звуку та астрономічної шкали для зоряної яскравості. Вони також є важливими інструментами для використання в обчисленні (як ми побачимо в розділі 8.8). Наше основне використання логарифмів у цьому підручнику полягатиме у вирішенні експоненціальних рівнянь, і тим самим допоможе нам вивчити фізичні явища, які описуються експоненціальними функціями (як у розділі 8.7).
Обчислення логарифмів
У прикладах 3 - 8 вище, ми змогли обчислити логарифми шляхом перетворення в експоненціальні рівняння, які можуть бути вирішені шляхом перевірки. Але легко помітити, що більшу частину часу це не спрацює. Наприклад, як би ми обчислили значення\(log_{2}(7)\)?
На щастя, математики знайшли інші методи обчислення логарифмів з високою точністю, і тепер їх можна легко наблизити за допомогою калькулятора або комп'ютера.
Ваш калькулятор має вбудовані кнопки для обчислення двох різних логарифмів,\(log_{10}(x)\) і\(log_{e}(x)\). \(log_{10}(x)\)називається загальним логарифмом, і\(log_{e}(x)\) називається натуральним логарифмом.
Загальний логарифм: Загальний логарифм\(log_{10}(x)\) обчислюється за допомогою LogButton на калькуляторі. Зверніть також увагу, що його зворотна функція\(10^x\), може бути обчислена за допомогою тієї ж кнопки в поєднанні з 2-й кнопкою. Загальний логарифм, як правило, найзручніший для використання для обчислень, що включають наукові позначення (тому що ми використовуємо базову систему числення 10), і тому є логарифмом, який найчастіше використовується у фізичних науках. Через це, це часто просто скорочено log (x), і ми будемо робити це, а в решті частини тексту.
ЗАГАЛЬНИЙ ЛОГАРИФМ
log (x) і\(log_{10}(x)\) є еквівалентними позначеннями. Таким чином, ми маємо визначальні відносини
\(v = log(u) \longleftrightarrow u = 10^v\).
Властивості складу для загального логарифма
\(log(10^x) = x\)(12)
і
\(10^{log(x)} = x\).
Природний логарифм: Натуральний логарифм\(log_{e}(x)\) is computed using the LNbutton on your calculator. Its inverse function, \(e^x\) обчислюється за допомогою тієї ж кнопки у поєднанні з 2-ю кнопкою. Натуральний логарифм виявляється найзручнішим для використання в математиці, тому що безліч формул, особливо в численні, набагато простіше, коли використовується натуральний логарифм. Натуральний логарифм скорочено ln (x).
НАТУРАЛЬНИЙ ЛОГАРИФМ
ln (x) і\(log_{e}(x)\) є еквівалентними позначеннями. Таким чином, ми маємо визначальні відносини
\(v = ln(u) \longleftrightarrow u = e^v\).
Властивості складу для загального логарифма
\[ln(e^x) = x \label{13}\]
і
\[e^{\ln(x)} = x \lable{14}\]
Зверніть увагу, що при використанні калькулятора для обчислення журналу (x) та ln (x) ви зазвичай отримуєте лише приблизні значення, оскільки ці значення часто є ірраціональними числами.
А як щодо інших баз? Ви також можете обчислити їх на своєму калькуляторі, але спочатку нам потрібно буде розробити Змінити базову формулу в наступному розділі. Однак на цьому етапі ми можемо принаймні вирішити експоненціальні рівняння за участю основ 10 і e, як показано в наступних двох прикладах.
Приклад\(\PageIndex{14}\)
Вирішити рівняння\(704 = 2(10)^{x}\).
- Відповідь
-
Першим кроком є виділення експоненціальної з правого боку, розділивши обидві сторони на 2:
\(352 = 10^x\)
Потім просто застосуйте\(log_{10}(x)\) функцію до обох сторін рівняння:
\(log_{10}(352) = log_{10}(10^x)\)
Але (10) означає, що\(log_{10}(10^x) = x\). Тому\(x = log_{10}(352) = log(352)\) є точним рішенням. Орієнтовна величина, за допомогою калькулятора, дорівнює 2.546542663 (див. Рис. Крім того, замість того, щоб взяти логарифм обох сторін на другому кроці, ви можете застосувати (2) до рівняння,\(352 = 10^x\) щоб отримати\(x = log_{10}(352)\).
Малюнок 2. Наближення\(log(352) = log_{10}(352)\).
Цей останній приклад показує, як логарифми можна використовувати для розв'язання експоненціальних рівнянь. Основна стратегія полягає в тому, щоб спочатку виділити експоненціальну з одного боку рівняння, а потім прийняти відповідні логарифми обох сторін. Ось ще один приклад на даний момент, а потім ми повернемося до цього процесу повторно в інших розділах, особливо коли ми працюємо з проблемами додатків.
Приклад\(\PageIndex{15}\)
Вирішити рівняння\(30 = 20e^x\).
- Відповідь
-
Спочатку виділіть експоненціальну з правого боку, розділивши обидві сторони на 20:
\(1.5 = e^x\)
Цього разу, оскільки основою експоненціальної функції є e, застосуйте функцію натурального логарифма до обох сторін:
\(log_{e}(1.5) = log_{e}(e^x)\)
Спростити праву сторону, так як\(log_{e}(e^x) = x\) по (10):
\(log_{e}(1.5) = x\)
Тому\(x = log_{e}(1.5) = ln(1.5)\) є точним рішенням. Приблизне значення, за допомогою калькулятора, становить 0,4054651081 (див. Рис.
Малюнок 3. Наближення\(ln1.5 = log_{e}(1.5)\).
У наступному розділі ми дізнаємося, як розв'язувати експоненціальні рівняння за участю інших основ.
Графіки логарифмічних функцій
На початку цього розділу ми розглянули графіки\(f(x) = 2^x\) і його обернену функцію\(f^{−1}(x) = log_{2}(x)\). Більш загально графік експоненціальної функції\(f(x) = b^x\) для b > 1 показаний на малюнку 4 (а) разом з її оберненою логарифмічною функцією\(f^{−1}(x) = log_{b}(x)\). Відповідно до розділу 8.4, два графіки є відображеннями через лінію y = x, аналогічно графіку для 0 < b < 1 показано на малюнку 4 (b).
![Знімок екрана 2019-08-13 в 4.03.13 PM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/27679/Screen_Shot_2019-08-13_at_4.03.13_PM.png)
Оскільки домени та діапазони обернених функцій змінюються місцями, випливає, що
НЕРУХОМІСТЬ\(\PageIndex{16}\)
\(Domain(log_{b}(x)) = (0, \infty)\)
і
\(Range(log_{b}(x)) = (−\infty, \infty)\).
Зокрема, зверніть увагу, що логарифм від'ємного числа, а також логарифм 0 не визначені.
Заслуговують на увагу дві конкретні точки на графіку логарифма. Так як\(b^0 = 1\), випливає\(log_{b}(1) = 0\), що, а значить і х -перехоплення графа\(log_{b}(x)\) є (1, 0). Аналогічно\(b^1 = b\), оскільки, випливає\(log_{b}(b) = 1\), що, а значить (б, 1) знаходиться на графіку.
НЕРУХОМІСТЬ\(\PageIndex{17}\)
\(log_{b}(1) = 0\)
і
\(log_{b}(b) = 1\)
Нарешті, оскільки графік\(b^x\) має горизонтальну асимптоту y = 0, графік\(log_{b}(x)\) повинен мати вертикальну асимптоту x = 0. Така поведінка є наслідком того, що входи і виходи обернених функцій змінюються місцями, і може спостерігатися на малюнку 4.
У останньому прикладі нижче ми застосуємо перетворення до логарифму і подивимося, як це впливає на графік.
Приклад\(\PageIndex{18}\)
Побудуйте графік функції\(f(x) = log_{2}(x+1)\).
- Відповідь
-
Графік\(f(x) = log_{2}(x+1)\) буде таким же, як і графік\(g(x) = log_{2}(x)\) зрушеного на одну одиницю вліво. Графік g показаний на малюнку 1 (б). X-перехоплення (1, 0) на графіку g буде зміщено на одну одиницю вліво до (0,0) на графіку f Аналогічно вертикальна асимптота x = 0 на графіку g буде зрушена на одну одиницю вліво до лінії x = −1 на графіку f. Остаточний графік f показаний на малюнку 5.
Малюнок 5. Графік\(f(x) = log_{2}(x+1)\).
Вправа
У вправах 1 - 18 знайти точне значення функції при заданому значенні b.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
\(f(x) = log_{3}(x)\);\(b = \sqrt[5]{3}\).
- Відповідь
-
\(\frac{1}{5}\)
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\(f(x) = log_{5}(x)\); б = 3125.
Вправа\(\PageIndex{3}\)
\(f(x) = log_{2}(x)\);\(b = \frac{1}{16}\).
- Відповідь
-
−4
Вправа\(\PageIndex{4}\)
\(f(x) = log_{2}(x)\); б = 4.
Вправа\(\PageIndex{5}\)
\(f(x) = log_{5}(x)\); б = 5.
- Відповідь
-
1
Вправа\(\PageIndex{6}\)
\(f(x) = log_{2}(x)\); б = 8.
Вправа\(\PageIndex{7}\)
\(f(x) = log_{2}(x)\); б = 32.
- Відповідь
-
5
Вправа\(\PageIndex{8}\)
\(f(x) = log_{4}(x)\);\(b = \frac{1}{16}\).
Вправа\(\PageIndex{9}\)
\(f(x) = log_{5}(x)\);\(b = \frac{1}{3125}\).
- Відповідь
-
−5
Вправа\(\PageIndex{10}\)
\(f(x) = log_{5}(x)\);\(b = \frac{1}{25}\).
Вправа\(\PageIndex{11}\)
\(f(x) = log_{5}(x)\);\(b = \sqrt[6]{5}\).
- Відповідь
-
\(\frac{1}{6}\)
Вправа\(\PageIndex{12}\)
\(f(x) = log_{3}(x)\);\(b = \sqrt[3]{3}\).
Вправа\(\PageIndex{13}\)
\(f(x) = log_{6}(x)\);\(b = \sqrt[6]{6}\).
- Відповідь
-
\(\frac{1}{6}\)
Вправа\(\PageIndex{14}\)
\(f(x) = log_{5}(x)\);\(b = \sqrt[5]{5}\).
Вправа\(\PageIndex{15}\)
\(f(x) = log_{2}(x)\);\(b = \sqrt[6]{2}\).
- Відповідь
-
\(\frac{1}{6}\)
Вправа\(\PageIndex{16}\)
\(f(x) = log_{4}(x)\);\(b = \frac{1}{4}\).
Вправа\(\PageIndex{17}\)
\(f(x) = log_{3}(x)\);\(b = \frac{1}{9}\).
- Відповідь
-
−2
Вправа\(\PageIndex{18}\)
\(f(x) = log_{4}(x)\); б = 64.
У вправах 19 - 26 скористайтеся калькулятором для оцінки функції при заданому значенні p Округліть відповідь до найближчої сотої.
Вправа\(\PageIndex{19}\)
ф (х) = лн (х); р = 10,06.
- Відповідь
-
2. 31
Вправа\(\PageIndex{20}\)
ф (х) = лн (х); р = 9,87.
Вправа\(\PageIndex{21}\)
ф (х) = лн (х); р = 2,40.
- Відповідь
-
0,88
Вправа\(\PageIndex{22}\)
ф (х) = лн (х); р = 9,30.
Вправа\(\PageIndex{23}\)
ф (х) = журнал (х); р = 7,68.
- Відповідь
-
0,89
Вправа\(\PageIndex{24}\)
ф (х) = журнал (х); р = 652,22.
Вправа\(\PageIndex{25}\)
f (x) = журнал (х); р = 6,47.
- Відповідь
-
0,81
Вправа\(\PageIndex{26}\)
ф (х) = журнал (х); р = 86,19.
У вправах 27 - 34 розв'яжіть задане рівняння, і округляйте свою відповідь до найближчих сотих.
Вправа\(\PageIndex{27}\)
\(13 = e^{8x}\)
- Відповідь
-
0,32
Вправа\(\PageIndex{28}\)
\(2 = 8e^{x}\)
Вправа\(\PageIndex{29}\)
\(19 = 10^{8x}\)
- Відповідь
-
0,16
Вправа\(\PageIndex{30}\)
\(17 = 10^{2x}\)
Вправа\(\PageIndex{31}\)
\(7 = 6(10)^{x}\)
- Відповідь
-
0,07
Вправа\(\PageIndex{32}\)
\(7 = e^{9x}\)
Вправа\(\PageIndex{33}\)
\(13 = 8e^{x}\)
- Відповідь
-
0,49
Вправа\(\PageIndex{34}\)
\(5 = 7(10)^{x}\)
У вправах 35 - 42 показаний графік логарифмічної функції виду.\(f(x) = log_{b}(x−a)\) Пропунктирна червона лінія являє собою вертикальну асимптоту. Визначте область функції. Висловіть свою відповідь в інтервальних позначеннях.
Вправа\(\PageIndex{35}\)
- Відповідь
-
\((0, \infty)\)
Вправа\(\PageIndex{36}\)
Вправа\(\PageIndex{37}\)
- Відповідь
-
\((−1, \infty)\)
Вправа\(\PageIndex{38}\)
Вправа\(\PageIndex{39}\)
- Відповідь
-
\((0, \infty)\)
Вправа\(\PageIndex{40}\)
Вправа\(\PageIndex{41}\)
- Відповідь
-
\((−3, \infty)\)
Вправа\(\PageIndex{42}\)