8.8: Додаткові теми

Обчислення великих потужностей

Логарифми спочатку використовувалися для обчислення великих продуктів і повноважень. До віку калькуляторів та комп'ютерів студенти математики проводили багато годин, вивчаючи та практикуючи ці процедури. У нинішній час більшість цих обчислень можна легко зробити на калькуляторі, тому оригінальне використання логарифмів зазвичай більше не навчається.

Однак калькулятори все ж обмежені. Вони не можуть обчислити великі повноваження, такі як$253^{789}$ (спробуйте!) , і більшість комп'ютерних програм теж не можуть (всі такі інструменти мають обмеження на розмір обчислень, які вони можуть виконувати).

Отже, як ми можемо обчислити великі повноваження, такі як ці? Ідея полягає в тому, щоб використовувати наші знання про властивості логарифмічних і експоненціальних функцій. Ось процедура:

1. Спочатку давайте$y = 253^{789}$, і візьмемо колоду з обох сторін:

   $log(y) = log(253^{789})$
   = 789 log (253) (властивість колод)
   $\approx 1896.062091$ (калькулятор наближення)

2. Тепер ідея полягає в тому, щоб експоненціювати обидві сторони, використовуючи функцію$10^x$. Однак ваш калькулятор все ще не може обчислити$10^{1896.062091}$ (спробуйте). Отже, тепер ми відокремлюємо цілу частину, і наша остаточна відповідь буде в наукових позначеннях:

   $y = 10^{log(y)} = 10^{1896.062091} = 10^{1896+0.062091} = 10^{1896} \cdot 10^{0.062091} \approx 10^{1896} \cdot 1.153694972$(наближення калькулятора)

Таким чином, остаточна відповідь приблизно$1.153695 \cdot 10^{1896}$. Ось ще один приклад:

Приклад$\PageIndex{1}$

Обчислити значення$2^{400}$ і висловити свою відповідь в наукових позначеннях.

1. Нехай$y = 2^{400}$, і візьмемо колоду з обох сторін:

   $log(y) = log(2^{400})$
   = 400 log (2) (властивість колод)
   $\approx 120.4119983$ (калькулятор наближення)

2. Зведіть в експоненту обидві сторони, використовуючи функцію$10^x$ і відокремивши цілу частину показника:

   $y = 10^{log(y)} = 10^{120.4119983} = 10^{120+4119983} = 10^{120} \cdot 10^{0.4119983}$

   $\approx 10120 \cdot 2.582250083$(наближення калькулятора)

Остаточна відповідь приблизно$2.582250 \cdot 10^{120}$.

Вправа

У вправах 1 - 10 обчислити значення виразу. Висловіть свою відповідь в наукових позначеннях$c \cdot 10^{n}$.

Вправа$\PageIndex{1}$

$131^{808}$

Відповідь

$5.691 \cdot 10^{1710}$

Вправа$\PageIndex{2}$

$132^{759}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$148^{524}$

Відповідь

$1.649 \cdot 10^{1137}$

Вправа$\PageIndex{4}$

$143^{697}$

Вправа$\PageIndex{5}$

$187^{642}$

Відповідь

$3.329 \cdot 10^{1458}$

Вправа$\PageIndex{6}$

$198^{693}$

Вправа$\PageIndex{7}$

$162^{803}$

Відповідь

$1.740 \cdot 10^{1774}$

Вправа$\PageIndex{8}$

$142^{569}$

Вправа$\PageIndex{9}$

$134^{550}$

Відповідь

$8.084 \cdot 10^{1169}$

Вправа$\PageIndex{10}$

$153^{827}$