8.8: Додаткові теми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58025

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Обчислення великих потужностей

Логарифми спочатку використовувалися для обчислення великих продуктів і повноважень. До віку калькуляторів та комп'ютерів студенти математики проводили багато годин, вивчаючи та практикуючи ці процедури. У нинішній час більшість цих обчислень можна легко зробити на калькуляторі, тому оригінальне використання логарифмів зазвичай більше не навчається.

Однак калькулятори все ж обмежені. Вони не можуть обчислити великі повноваження, такі як\(253^{789}\) (спробуйте!) , і більшість комп'ютерних програм теж не можуть (всі такі інструменти мають обмеження на розмір обчислень, які вони можуть виконувати).

Отже, як ми можемо обчислити великі повноваження, такі як ці? Ідея полягає в тому, щоб використовувати наші знання про властивості логарифмічних і експоненціальних функцій. Ось процедура:

Спочатку давайте\(y = 253^{789}\), і візьмемо колоду з обох сторін:
\(log(y) = log(253^{789})\)
= 789 log (253) (властивість колод)
\(\approx 1896.062091\) (калькулятор наближення)
Тепер ідея полягає в тому, щоб експоненціювати обидві сторони, використовуючи функцію\(10^x\). Однак ваш калькулятор все ще не може обчислити\(10^{1896.062091}\) (спробуйте). Отже, тепер ми відокремлюємо цілу частину, і наша остаточна відповідь буде в наукових позначеннях:
\(y = 10^{log(y)} = 10^{1896.062091} = 10^{1896+0.062091} = 10^{1896} \cdot 10^{0.062091} \approx 10^{1896} \cdot 1.153694972\)(наближення калькулятора)

Таким чином, остаточна відповідь приблизно\(1.153695 \cdot 10^{1896}\). Ось ще один приклад:

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Обчислити значення\(2^{400}\) і висловити свою відповідь в наукових позначеннях.

Нехай\(y = 2^{400}\), і візьмемо колоду з обох сторін:
\(log(y) = log(2^{400})\)
= 400 log (2) (властивість колод)
\(\approx 120.4119983\) (калькулятор наближення)
Зведіть в експоненту обидві сторони, використовуючи функцію\(10^x\) і відокремивши цілу частину показника:
\(y = 10^{log(y)} = 10^{120.4119983} = 10^{120+4119983} = 10^{120} \cdot 10^{0.4119983}\)

\(\approx 10120 \cdot 2.582250083\)(наближення калькулятора)

Остаточна відповідь приблизно\(2.582250 \cdot 10^{120}\).

Вправа

У вправах 1 - 10 обчислити значення виразу. Висловіть свою відповідь в наукових позначеннях\(c \cdot 10^{n}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(131^{808}\)

Відповідь: \(5.691 \cdot 10^{1710}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

\(132^{759}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(148^{524}\)

Відповідь: \(1.649 \cdot 10^{1137}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(143^{697}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(187^{642}\)

Відповідь: \(3.329 \cdot 10^{1458}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(198^{693}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\(162^{803}\)

Відповідь: \(1.740 \cdot 10^{1774}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\(142^{569}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

\(134^{550}\)

Відповідь: \(8.084 \cdot 10^{1169}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

\(153^{827}\)