7.8: Застосування раціональних функцій

У цьому розділі ми дослідимо використання раціональних функцій в декількох додатках.

Проблеми з числом

Почнемо з того, що згадаємо визначення зворотного числа.

Визначення

Для будь-якого ненульового дійсного числа a зворотним числом a є число 1/a. зверніть увагу, що добуток числа і його зворотний завжди дорівнює числу 1. Тобто, $$a \cdot \frac{1}{a}=1$$

Наприклад, зворотний числа 3 дорівнює 1/3. Зверніть увагу, що ми просто «інвертуємо» число 3, щоб отримати його зворотну 1/3. Далі врахуйте, що твір 3 і його зворотна 1/3 дорівнює

$$3 \cdot \frac{1}{3}=1$$

Як другий приклад, щоб знайти зворотне значення −3/5, ми могли б зробити обчислення

$$\frac{1}{-\frac{3}{5}}=1 \div\left(-\frac{3}{5}\right)=1 \cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{5}{3}$$

але, ймовірно, швидше просто «інвертувати» −3/5, щоб отримати його зворотний −5/3. Знову зауважте, що добуток −3/5 та його зворотний −5/3 дорівнює

$$\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=1$$

Давайте розглянемо деякі програми, які передбачають взаємні числа.

Приклад$\PageIndex{1}$

Сума числа і його зворотного дорівнює 29/10. Знайдіть число (и).

Рішення

Нехай x представляють ненульове число. Відповідне значення x дорівнює 1/x. Отже, сума x і його зворотна представлена раціональним виразом x + 1/x. Встановіть це рівне 29/10.

$$x+\frac{1}{x}=\frac{29}{10}$$

Щоб очистити дроби від цього рівняння, помножте обидві сторони на загальний знаменник 10х.

$$\begin{aligned} \color{blue}{10 x}\left(x+\frac{1}{x}\right) &=\left(\frac{29}{10}\right) \color{blue}{10 x}\\ 10 x^{2}+10 &=29 x \end{aligned}$$

Це рівняння нелінійне (воно має ступінь x більше 1), тому зробіть одну сторону рівною нулю, віднімаючи 29x з обох сторін рівняння.

$$10 x^{2}-29 x+10=0$$

Спробуємо використовувати ac-test to factor. Зверніть увагу, що ac = (10) (10) = 100. Пара цілих чисел {−4, −25} має добуток 100 та суму −29. Розбийте середній член квадратичного триноміала за допомогою цієї пари, потім множник шляхом групування.

$$\begin{aligned} 10 x^{2}-4 x-25 x+10 &=0 \\ 2 x(5 x-2)-5(5 x-2) &=0 \\(2 x-5)(5 x-2) &=0 \end{aligned}$$

Використовуючи властивість нульового добутку, або

$$2 x-5=0 \quad \text { or } \quad 5 x-2=0$$

Кожне з цих лінійних рівнянь легко вирішується.

$$x=\frac{5}{2} \quad \text { or } \quad x=\frac{2}{5}$$

Отже, у нас є два рішення для х, однак обидва вони ведуть до однієї і тієї ж пари число-взаємна. Тобто, якщо х = 5/2, то його зворотний дорівнює 2/5. З іншого боку, якщо х = 2/5, то його зворотний дорівнює 5/2.

Давайте перевіримо наше рішення, взявши суму рішення і його взаємну. Зверніть увагу, що

$$\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{25}{10}+\frac{4}{10}=\frac{29}{10}$$

як того вимагає постановка проблеми.

Давайте розглянемо ще одне застосування взаємної концепції.

Приклад$\PageIndex{2}$

Є два числа. Друге число на 1 більше, ніж в два рази більше першого числа. Сума зворотних двох чисел дорівнює 7/10. Знайдіть два числа.

Рішення

Нехай x представляють перше число. Якщо друге число на 1 більше в два рази більше першого числа, то друге число можна представити виразом 2х+ 1.

Таким чином, наші два числа - х і 2х+1. Їх зворотні, відповідно, складають 1/х і 1/ (2х+ 1). Тому суму їх зворотних поступків можна представити раціональним виразом 1/x + 1/ (2x + 1). Встановіть це рівним 7/10.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x+1}=\frac{7}{10}$$

Помножте обидві сторони цього рівняння на загальний знаменник 10x (2x + 1).

$$\begin{aligned} \color{blue}{10 x(2 x+1)}\left[\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x+1}\right] &=\left[\frac{7}{10}\right] \color{blue}{10 x(2 x+1)}\\ 10(2 x+1)+10 x &=7 x(2 x+1) \end{aligned}$$

Розгорніть і спростіть кожну сторону цього результату.

$$\begin{aligned} 20 x+10+10 x &=14 x^{2}+7 x \\ 30 x+10 &=14 x^{2}+7 x \end{aligned}$$

Знову ж таки, це рівняння нелінійне. Ми перенесемо все в праву частину цього рівняння. Відніміть 30x і 10 з обох сторін рівняння, щоб отримати

$$\begin{array}{l}{0=14 x^{2}+7 x-30 x-10} \\ {0=14 x^{2}-23 x-10}\end{array}$$

Зауважте, що правий бік цього рівняння є квадратичним з ac = (14) (−10) = −140. Пара цілих чисел {5, −28} має добуток −140 і суму −23. Розбийте середній термін за допомогою цієї пари та фактора шляхом групування.

$$\begin{array}{l}{0=14 x^{2}+5 x-28 x-10} \\ {0=x(14 x+5)-2(14 x+5)} \\ {0=(x-2)(14 x+5)}\end{array}$$

Використовуючи властивість нульового добутку, або

$$x-2=0 \quad \text { or } \quad 14 x+5=0$$

Ці лінійні рівняння легко вирішуються для x, забезпечуючи

$$x=2 \quad \text { or } \quad x=-\frac{5}{14}$$

Нам ще потрібно відповісти на питання, яке полягало в тому, щоб знайти два числа такі, щоб сума їх взаємних була 7/10. Нагадаємо, що друге число було 1 більше, ніж в два рази перше число і той факт, що ми дозволимо х представляти перше число.

Отже, якщо перше число x = 2, то друге число дорівнює 2x + 1, або 2 (2) + 1. Тобто друге число - 5. Перевіримо, чи є пара {2, 5} рішенням шляхом обчислення суми зворотних 2 і 5.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$$

Таким чином, пара {2, 5} є рішенням.

Однак ми знайшли друге значення для першого числа, а саме x = −5/14. Якщо це перше число, то друге число

$$2\left(-\frac{5}{14}\right)+1=-\frac{5}{7}+\frac{7}{7}=\frac{2}{7}$$

Отже, у нас є друга пара {−5/14, 2/7}, але яка сума зворотних цих двох чисел? Взаємні рівні −14/5 та 7/2, а їх сума дорівнює

$$-\frac{14}{5}+\frac{7}{2}=-\frac{28}{10}+\frac{35}{10}=\frac{7}{10}$$

як того вимагає постановка проблеми. Отже, пара {−14/5, 7/2} також є розв'язком.

Проблеми з відстанню, швидкістю та часом

Коли ми розробили Рівняння руху в главі про квадратичні функції, ми показали, що якщо об'єкт рухається з постійною швидкістю, то пройдена відстань задається формулою

$$d=v t$$

де d представляє пройдену відстань, v - швидкість, а t - час подорожі.

Наприклад, якщо автомобіль їде по шосе з постійною швидкістю 50 миль на годину (50 миль/год) протягом 4 годин (4 год), то він проїде

$$\begin{aligned} d &=v t \\ d &=50 \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}} \times 4 \mathrm{h} \\ d &=200 \mathrm{mi} \end{aligned}$$

Давайте поставимо це відношення до використання в деяких додатках.

Приклад$\PageIndex{3}$

Човен їздить з постійною швидкістю 3 милі на годину в негазованій воді. У річці з невідомою течією, човен займає вдвічі довше, щоб проїхати 60 миль вгору за течією (проти течії), ніж це потрібно для повернення на 60 миль (з поточною). Яка швидкість течії в річці?

Рішення

Швидкість катера в негазованій воді становить 3 милі на годину. Коли човен рухається вгору за течією, течія проти напрямку, в якому рухається човен, і працює, щоб зменшити фактичну швидкість човна. Коли човен їде вниз за течією, то фактична швидкість човна - це його швидкість в негазованій воді, збільшена на швидкість течії. Якщо дозволити c представляти швидкість течії в річці, то швидкість човна вгору за течією (проти течії) дорівнює 3 − c, тоді як швидкість човна вниз за течією (з течією) дорівнює 3 + c Підсумуємо те, що ми знаємо в таблиці відстань-швидкість-час (див. Таблицю$\PageIndex{1}$).

Таблиця$\PageIndex{1}$ А відстань, швидкість і розклад.

	д (миль)	v (ми/год)	т (ч)
Вгору за течією	60	3-с	?
вниз за течією	60	3+с	?

Ось корисна порада щодо відстані, швидкості та часових таблиць.

Таблиці відстані, швидкості та часу

Оскільки відстань, швидкість та час пов'язані рівнянням d = vt, щоразу, коли у вас є два поля в рядку таблиці заповнені, третій рядок у цьому рядку можна обчислити за допомогою формули d = vt.

Зауважте, що кожен рядок таблиці$\PageIndex{1}$ містить два введені записи. Третій запис у кожному рядку - час. Розв'яжіть рівняння d = vt для t для отримання

$$t=\frac{d}{v}$$

Співвідношення t = d/v може бути використано для обчислення запису часу в кожному рядку таблиці$\PageIndex{1}$.

Наприклад, у першому ряду d = 60 миль і v = 3 − c миль на годину. Тому час подорожі - це

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60}{3-c}$$

Зверніть увагу, як ми заповнили цей запис у таблиці$\PageIndex{2}$. Аналогічним чином час подорожі вниз за течією розраховується з

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60}{3+c}$$

Ми також додали цей запис до стовпця часу в таблиці$\PageIndex{2}$.

Таблиця$\PageIndex{2}$

	д (миль)	v (ми/год)	т (ч)
Вгору за течією	60	3-с	$\frac{60}{3-c}$
вниз за течією	60	3+с	$\frac{60}{3+c}$

Щоб встановити рівняння, нам потрібно використати той факт, що час для подорожі вгору за течією вдвічі більше часу для подорожі вниз за течією. Це призводить до результату

$$\frac{60}{3-c}=2\left(\frac{60}{3+c}\right)$$

або еквівалентно,

$$\frac{60}{3-c}=\frac{120}{3+c}$$

Помножте обидві сторони на спільний знаменник, в даному випадку (3 − c) (3 + c).

$$\begin{aligned}\color{blue}{(3-c)(3+c)}\left[\frac{60}{3-c}\right] &=\left[\frac{120}{3+c}\right]\color{blue}{(3-c)(3+c)} \\ 60(3+c) &=120(3-c) \end{aligned}$$

Розгорніть кожну сторону цього рівняння.

$$180+60 c=360-120 c$$

Це рівняння є лінійним (немає потужності c, крім 1). Отже, ми хочемо виділити всі члени, що містять c на одній стороні рівняння. Додаємо 120c до обох сторін рівняння, потім віднімаємо 180 з обох сторін рівняння.

$$60 c+120 c=360-180$$

Звідси це просто вирішити для c.

$$\begin{aligned} 180 c &=180 \\ c &=1 \end{aligned}$$

Значить, швидкість течії становить 1 милю на годину.

Важливо перевірити, чи задовольняє рішення обмеженням постановки задачі.

• Якщо швидкість катера в негазованій воді становить 3 милі на годину, а швидкість течії - 1 миля на годину, то швидкість човна вище за течією (проти течії) складе 2 милі на годину. Це займе 30 годин, щоб проїхати 60 миль за такою швидкістю.
• Швидкість човна, як вона йде вниз за течією (з течією) складе 4 милі на годину. Це займе 15 годин, щоб проїхати 60 миль за такою швидкістю.

Зверніть увагу, що час подорожі вгору за течією (30 годин) вдвічі більше часу для подорожі вниз за течією (15 годин), тому наше рішення є правильним.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{4}$

Швидкісний катер може проїхати 32 милі на годину в негазованій воді. Він проїжджає 150 миль вгору за течією проти течії, а потім повертається до початкового місця. Загальний час поїздки - 10 годин. Яка швидкість струму?

Рішення

Нехай c представляють швидкість струму. Йдучи вгору за течією, човен бореться проти течії, тому його чиста швидкість становить 32−c миль на годину. У зворотній поїздці човен отримує вигоду від течії, тому його чиста швидкість на зворотній поїздці становить 32 + c милями на годину. Поїздка в кожну сторону становить 150 миль. Ми ввели ці дані в табл$\PageIndex{3}$.

Таблиця$\PageIndex{3}$ Введення заданих даних в таблиці відстані, швидкості та часу.

	д (миль)	v (ми/год)	т (ч)
Вгору за течією	150	32 − c	?
вниз за течією	150	32 + см	?

Розв'язування d = vt за час t,

$$t=\frac{d}{v}$$

У першому рядку таблиці$\PageIndex{3}$ ми маємо d = 150 миль і v = 32 − c миль на годину. Отже, час, який займає човен, щоб піднятися вгору за течією, дається

$$t=\frac{d}{v}=\frac{150}{32-c}$$

Аналогічно, вивчивши дані у другому рядку таблиці$\PageIndex{3}$, час, необхідний човну, щоб повернутися вниз за течією до початкового місця, становить

$$t=\frac{d}{v}=\frac{150}{32+c}$$

Ці результати заносяться в табл$\PageIndex{4}$.

Таблиця$\PageIndex{4}$. Розрахунок часу, щоб піти вгору за течією і повернутися.

	д (миль)	v (ми/год)	т (ч)
Вгору за течією	150	32 − c	150/ (32 − с)
вниз за течією	150	32 + см	150/ (32 + см)

Оскільки загальний час, щоб піти вгору за течією і повернутися становить 10 годин, ми можемо написати

$$\frac{150}{32-c}+\frac{150}{32+c}=10$$

Помножте обидві сторони на спільний знаменник (32 − c) (32 + c).

$$\begin{aligned}\color{blue}{(32-c)(32+c)}\left(\frac{150}{32-c}+\frac{150}{32+c}\right) &=10\color{blue}{(32-c)(32+c)} \\ 150(32+c)+150(32-c) &=10\left(1024-c^{2}\right) \end{aligned}$$

Ми можемо зробити числа трохи менше, зазначивши, що обидві сторони останнього рівняння діляться на 10.

$$15(32+c)+15(32-c)=1024-c^{2}$$

Розгорніть, спростіть, зробіть одну сторону нуль, потім коефіцієнт.

$$\begin{aligned} 480+15 c+480-15 c &=1024-c^{2} \\ 960 &=1024-c^{2} \\ 0 &=64-c^{2} \\ 0 &=(8+c)(8-c) \end{aligned}$$

Використовуючи властивість нульового добутку, або

$$8+c=0 \quad \text { or } \quad 8-c=0$$

надання двох рішень для поточної,

$$c=-8 \quad \text { or } \quad c=8$$

Відкинувши негативну відповідь (швидкість - позитивна величина в даному випадку), швидкість течії становить 8 миль на годину.

Чи має сенс наша відповідь?

• Оскільки швидкість течії становить 8 миль на годину, човен проїжджає 150 миль вгору за течією з чистою швидкістю 24 милі на годину. Це займе 150/24 або 6,25 години.
• Човен рухається вниз за течією 150 миль з чистою швидкістю 40 миль на годину. Це займе 150/40 або 3,75 години.

Зверніть увагу, що загальний час, щоб перейти вгору за течією і повернутися становить 6.25 + 3.75, або 10 годин.

Давайте розглянемо інший клас проблем.

Проблеми роботи

Приємне застосування раціональних функцій передбачає обсяг роботи, яку людина (або команда осіб) може виконати за певний проміжок часу. Ми можемо обробляти ці програми, що включають роботу таким чином, як метод, який ми використовували для вирішення проблем відстані, швидкості та часу. Ось такий керівний принцип.

Примітка

Обсяг виконаної роботи дорівнює добутку швидкості, з якою виконується робота, і кількості часу, необхідного для виконання роботи. Тобто,

$$\text { Work }=\text { Rate } \times \text { Time. }$$

Наприклад, припустимо, що Емілія може косити газони зі швидкістю 3 газони на годину. Через 6 годин

$$\text { Work }=3 \frac{\text { lawns }}{\mathrm{hr}} \times 6 \mathrm{hr}=18 \text { lawns. }$$

Другим важливим поняттям є той факт, що ставки додаються. Наприклад, якщо Емілія може косити газони зі швидкістю 3 газони на годину, а Мікеле може косити ті ж галявини на

швидкість 2 галявини на годину, тоді разом вони можуть косити газони з комбінованою швидкістю 5 газонів на годину.

Давайте розглянемо приклад.

Приклад$\PageIndex{5}$

Законопроект може закінчити звіт за 2 години. Марія може закінчити той же звіт за 4 години. Скільки часу знадобиться їм, щоб закінчити звіт, якщо вони працюватимуть разом?

Рішення

Поширена помилка полягає в тому, що часи додають в цьому випадку. Тобто, Білл займає 2 години, щоб завершити звіт, і Марія займає 4 години, щоб заповнити той самий звіт, тому якщо Білл та Марія працюють разом, для завершення звіту знадобиться 6 годин. Трохи роздумів виявляє, що цей результат - нісенітниця. Зрозуміло, що якщо вони працюватимуть разом, їм знадобиться менше часу, ніж Білл, щоб заповнити звіт самостійно; тобто комбінований час, безумовно, складе менше 2 годин.

Однак, як ми бачили вище, ставки, з якими вони працюють, додадуть. Щоб скористатися цим фактом, ми налаштовуємо те, що ми знаємо в таблиці роботи, ставки та часу (див. Таблицю$\PageIndex{5}$).

• Законопроект займає 2 години, щоб заповнити 1 звіт. Це відображається в записах у першому рядку таблиці$\PageIndex{5}$.

• Марії потрібно 4 години, щоб заповнити 1 звіт. Це відображається в записах у другому рядку таблиці$\PageIndex{5}$.

• Нехай т представляє час, необхідний їм, щоб заповнити 1 звіт, якщо вони працюють разом. Це відображається в записах в останньому рядку таблиці$\PageIndex{5}$.

Таблиця$\PageIndex{5}$. Робота, ставка та графік роботи.

	w (звіти)	r (звіти/год)	т (ч)
Білл	1	?	2
Марія	1	?	4
Разом	1	?	т

У нас є поради, подібні до тієї, що даються для відстані, швидкості та графіків.

Таблиці роботи, тарифу та часу

Оскільки робота, швидкість та час пов'язані рівнянням $$\text { Work }=\text { Rate } \times \text { Time }$$ кожного разу, коли у вас є два поля поспіль завершені, третє поле в цьому рядку можна обчислити за допомогою$=$ співвідношення$\times$ Час роботи.

У випадку з таблицею$\PageIndex{5}$, ми можемо обчислити швидкість, з якою Білл працює, вирішивши рівняння$\times$ Час роботи$=$ ставки для ставки, а потім замінити дані Білла з першого рядка таблиці$\PageIndex{5}$.

\[Rate $=\frac{\text { Work }}{\text { Time }}=\frac{1 \text { report }}{2 \mathrm{h}}$\]

Таким чином, Білл працює зі швидкістю 1/2 звіту на годину. Зверніть увагу, як ми ввели цей результат у першому рядку таблиці 6. Аналогічно, Марія працює зі швидкістю 1/4 звіту на годину, який ми також ввели в табл$\PageIndex{6}$.

Ми дозволили т представляти час, який потрібно їм, щоб написати 1 звіт, якщо вони працюють разом (див. Таблицю$\PageIndex{5}$), тому наступний розрахунок дає нам комбіновану ставку.

\[Rate $=\frac{\text { Work }}{\text { Time }}=\frac{1 \text { report }}{t \mathrm{h}}$\]

Тобто разом вони працюють зі швидкістю 1/т звітів на годину. Цей результат також занесений в табл$\PageIndex{6}$.

Таблиця$\PageIndex{6}$. Розрахунок записів ставки.

	w (звіти)	r (звіти/год)	т (ч)
Білл	1	1/2	2
Марія	1	1/4	4
Разом	1	1/т	т

У нашому обговоренні вище ми вказали на той факт, що ставки додають. Таким чином, рівняння, яке ми шукаємо, лежить у стовпці Rate таблиці$\PageIndex{6}$. Білл працює зі швидкістю 1/2 звіту на годину, а Марія працює зі швидкістю 1/4 звіту на годину. Тому їх сукупна норма становить 1/2 + 1/4 звітів на годину. Однак останній рядок таблиці$\PageIndex{6}$ вказує на те, що комбінована ставка також становить 1/т звітів на годину. Таким чином,

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{t}$$

Помножте обидві сторони цього рівняння на загальний знаменник 4t.

$$\begin{aligned}\color{blue}{(4 t)}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right] &=\left[\frac{1}{t}\right]\color{blue}{(4 t)} \\ 2 t+t &=4 \end{aligned}$$

Це рівняння є лінійним (немає потужності t крім 1) і легко вирішується.

$$\begin{aligned} 3 t &=4 \\ t &=4 / 3 \end{aligned}$$

Таким чином, буде потрібно 4/3 години, щоб заповнити 1 звіт, якщо Білл і Марія працюватимуть разом.

Знову ж таки, дуже важливо, щоб ми перевірили цей результат.

• Ми знаємо, що Білл робить 1/2 звітів на годину. Через 4/3 години Білл завершить

$$\text { Work }=\frac{1}{2} \frac{\text { reports }}{\mathrm{h}} \times \frac{4}{3} \mathrm{h}=\frac{2}{3} \text { reports. }$$

Тобто, Білл завершить 2/3 звіту.

• Ми знаємо, що Марія робить 1/4 звітів на годину. Через 4/3 години Марія завершить

$$\text { Work }=\frac{1}{4} \frac{\text { reports }}{\mathrm{h}} \times \frac{4}{3} \mathrm{h}=\frac{1}{3} \mathrm{reports}$$

Тобто Марія завершить 1/3 доповіді.

Зрозуміло, що працюючи разом, Білл і Марія завершать 2/3 + 1/3 звітів, тобто один повний звіт.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{6}$

Лія займає 7 годин більше, щоб пофарбувати кухню, ніж Хенку, щоб виконати ту ж роботу. Разом вони можуть виконати одну і ту ж роботу за 12 годин. Скільки часу потрібно Хенку, щоб завершити роботу, якщо він працює один?

Рішення

Нехай H представляє час, який потрібен Хенку, щоб завершити роботу по фарбуванню кухні, коли він працює один. Оскільки Лія займає 7 годин більше, ніж Хенк, нехай H + 7 представляє час, який потрібен Лії, щоб пофарбувати кухню, коли вона працює одна. Це призводить до записів у табл$\PageIndex{7}$.

Таблиця$\PageIndex{7}$. Введення даних для Хенка і Лія.

	w (кухні)	r (кухня/год)	т (ч)
Хенк	1	?	Ч
Лія	1	?	Ч+7
Разом	1	?	12

Ми можемо обчислити швидкість, з якою Хенк працює поодинці, вирішивши рівняння Work$=$ Rate$\times$ Time для швидкості, а потім підставляючи дані Хенка з першого рядка таблиці$\PageIndex{7}$.

$$\text { Rate }=\frac{\text { Work }}{\text { Time }}=\frac{1 \text { kitchen }}{H \text { hour }}$$

Таким чином, Хенк працює зі швидкістю 1/H кухні на годину. Аналогічно Лія працює зі швидкістю 1/ (Н + 7) кухні на годину. Оскільки їм потрібно 12 годин, щоб виконати завдання під час спільної роботи, їх комбінована норма становить 1/12 кухні на годину. Кожна з цих ставок заноситься в табл$\PageIndex{8}$.

Таблиця$\PageIndex{8}$. Розрахунок ставок.

	w (кухні)	r (кухня/год)	т (ч)
Хенк	1	1/ГОД	Ч
Лія	1	1/Ч+7	Ч+7
Разом	1	1/12	12

Оскільки ставки додають, ми можемо написати

$$\frac{1}{H}+\frac{1}{H+7}=\frac{1}{12}$$

Помножте обидві сторони цього рівняння на загальний знаменник 12Н (H + 7).

$$\begin{aligned} \color{blue}{12 H(H+7)}\left(\frac{1}{H}+\frac{1}{H+7}\right) &=\left(\frac{1}{12}\right)\color{blue}{12 H(H+7)} \\ 12(H+7)+12 H &=H(H+7) \end{aligned}$$

Розширюйте і спрощуйте.

$$\begin{aligned} 12 H+84+12 H &=H^{2}+7 H \\ 24 H+84 &=H^{2}+7 H \end{aligned}$$

Це останнє рівняння нелінійне, тому зробіть нуль з однієї сторони, віднімаючи 24H і 84 з обох сторін рівняння.

$$\begin{array}{l}{0=H^{2}+7 H-24 H-84} \\ {0=H^{2}-17 H-84}\end{array}$$

Зауважте, що ac = (1) (−84) = −84. Пара цілих чисел {4, −21} має добуток −84 і становить −17. Отже,

$$0=(H+4)(H-21)$$

Використовуючи властивість нульового добутку, або

$$H+4=0 \quad \text { or } \quad H-21=0$$

що веде до рішень

$$H=-4 \quad \text { or } \quad H=21$$

Виключаємо з розгляду розчин Н = −4 (для фарбування кухні Хенку не потрібно негативного часу), тому робимо висновок, що Хенку потрібно 21 годину, щоб пофарбувати кухню.

Чи має сенс наше рішення?

• Хенку потрібно 21 годину, щоб завершити кухню, тому він обробляє 1/21 частини кухні на годину.
• Лія займає 7 годин довше, ніж Хенк, щоб завершити кухню, а саме 28 годин, тому вона обробляє 1/28 кухні на годину.

Разом вони працюють за комбінованою швидкістю

$$\frac{1}{21}+\frac{1}{28}=\frac{4}{84}+\frac{3}{84}=\frac{7}{84}=\frac{1}{12}$$

або 1/12 кухні на годину. Це погоджується з сукупною ставкою в табл$\PageIndex{8}$.

Вправа

Вправа$\PageIndex{1}$

Сума зворотних двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$−\frac{16}{63}$. Знайдіть два числа.

Відповідь

−9, −7

Вправа$\PageIndex{2}$

Сума зворотних двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$\frac{28}{195}$. Знайдіть два числа.

Вправа$\PageIndex{3}$

Сума зворотних двох послідовних цілих чисел дорівнює$−\frac{19}{90}$. Знайдіть два числа.

Відповідь

−10, −9

Вправа$\PageIndex{4}$

Сума числа і його зворотна дорівнює$\frac{41}{20}$. Знайдіть число (и).

Вправа$\PageIndex{5}$

Сума зворотних двох послідовних парних чисел дорівнює$\frac{5}{12}$. Знайдіть два числа.

Відповідь

4, 6

Вправа$\PageIndex{6}$

Сума зворотних двох послідовних цілих чисел дорівнює$\frac{19}{90}$. Знайдіть два числа.

Вправа$\PageIndex{7}$

Сума числа і подвоєного його зворотного дорівнює$\frac{9}{2}$. Знайдіть число (и).

Відповідь

$\frac{1}{2}$, 4

Вправа$\PageIndex{8}$

Сума числа і його зворотна дорівнює$\frac{5}{2}$. Знайдіть число (и).

Вправа$\PageIndex{9}$

Сума зворотних двох послідовних парних чисел дорівнює$\frac{11}{60}$. Знайдіть два числа.

Відповідь

10, 12

Вправа$\PageIndex{10}$

Сума числа і подвоєного його зворотного дорівнює$\frac{17}{6}$. Знайдіть число (и).

Вправа$\PageIndex{11}$

Сума зворотних двох чисел дорівнює$\frac{15}{8}$, а другого числа на 2 більше першого. Знайдіть два числа.

Відповідь

{$\frac{2}{3}$,$\frac{8}{3}$} і {$−\frac{8}{5}$,$\frac{2}{5}$}

Вправа$\PageIndex{12}$

Сума зворотних двох чисел дорівнює$\frac{16}{15}$, а другого числа на 1 більше першого. Знайдіть два числа.

Вправа$\PageIndex{13}$

Мойра може веслувати байдарку зі швидкістю 2 миль/год у негазованій воді. Вона пробиває 3 милі вгору за течією проти течії, а потім повертається до початкового місця. Загальний час поїздки - 9 годин. Яка швидкість (в миль/год) струму? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь

1. 63 миль/год

Вправа$\PageIndex{14}$

Борис кататися на байдарках у річці з течією 6 миль/год. Припустимо, що він може каяк 4 милі вгору за течією в ту ж кількість часу, що і він приймає його до байдарки 9 миль нижче за течією. Знайдіть швидкість (миль/год) байдарки Бориса в негазованій воді.

Вправа$\PageIndex{15}$

Джейкоб може кататися на байдарці зі швидкістю 6 миль/год у негазованій воді. Він пробиває 5 миль вгору за течією проти течії, а потім повертається до початкового місця. Загальний час поїздки - 5 годин. Яка швидкість (в миль/год) струму? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь

4. 90 миль/год

Вправа$\PageIndex{16}$

Борис може кататися на байдарці зі швидкістю 6 миль/год у негазованій воді. Якщо він може веслувати 5 миль вгору за течією за ту ж кількість часу, скільки йому потрібно весло 9 миль вниз за течією, яка швидкість течії?

Вправа$\PageIndex{17}$

Якоб веслується на каное в річці з течією 5 миль/год. Припустимо, що він може каное 4 милі вгору за течією за ту ж кількість часу, що і він приймає його на каное 8 миль нижче за течією. Знайдіть швидкість (миль/год) каное Якова в негазованій воді.

Відповідь

15 миль/год

Вправа$\PageIndex{18}$

Швидкість вантажного поїзда на 16 миль/год повільніше, ніж швидкість пасажирського поїзда. Пасажирський поїзд подорожує 518 миль в той же час, коли вантажний поїзд проїжджає 406 миль. Знайти швидкість вантажного поїзда.

Вправа$\PageIndex{19}$

Швидкість вантажного поїзда на 20 миль/год повільніше, ніж швидкість пасажирського поїзда. Пасажирський поїзд проїжджає 440 миль в той же час, коли вантажний поїзд проїжджає 280 миль. Знайти швидкість вантажного поїзда.

Відповідь

35 миль/год

Вправа$\PageIndex{20}$

Емілі може кататися на каное зі швидкістю 2 миль/год у негазованій воді. Вона пробиває 5 миль вгору за течією проти течії, а потім повертається до початкового місця. Загальний час поїздки - 6 годин. Яка швидкість (в миль/год) струму? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Вправа$\PageIndex{21}$

Якоб веслується на каное в річці з течією 2 милі/год. Припустимо, що він може ca- noe 2 милі вгору за течією в ту ж кількість часу, як він приймає його на каное 5 миль нижче за течією. Знайдіть швидкість (миль/год) каное Якова в негазованій воді.

Відповідь

$\frac{14}{3}$миль/год

Вправа$\PageIndex{22}$

Мойра може веслувати байдарку зі швидкістю 2 миль/год у негазованій воді. Якщо вона може веслувати 4 милі вгору за течією за ту ж кількість часу, скільки їй потрібно весло 8 миль вниз за течією, яка швидкість течії?

Вправа$\PageIndex{23}$

Борис може кататися на байдарці зі швидкістю 6 миль/год у негазованій воді. Якщо він може веслувати 5 миль вгору за течією за ту ж кількість часу, скільки йому потрібно весло 10 миль вниз за течією, яка швидкість течії?

Відповідь

2 милі/год

Вправа$\PageIndex{24}$

Швидкість вантажного поїзда на 19 миль/год повільніше, ніж швидкість пасажирського поїзда. Пасажирський поїзд проїжджає 544 милі в той же час, коли вантажний поїзд проїжджає 392 милі. Знайти швидкість вантажного поїзда.

Вправа$\PageIndex{25}$

Жан займає 15 годин довше, щоб заповнити звіт про інвентаризацію, ніж це займає Sanjay. Якщо вони працюють разом, це займає у них 10 годин. Скільки годин знадобилося б Санджаю, якби він працював один?

Відповідь

15 миль/год

Вправа$\PageIndex{26}$

Жан може пофарбувати кімнату за 5 годин. Амелі потрібно 10 годин, щоб пофарбувати ту ж кімнату. Скільки годин це займе, якщо вони працюють разом?

Вправа$\PageIndex{27}$

Амелі займає 18 годин довше, щоб заповнити звіт про інвентаризацію, ніж це займає Жан. Якщо вони працюють разом, це займає у них 12 годин. Скільки годин знадобилося б Жан, якби вона працювала одна?

Відповідь

18 миль/год

Вправа$\PageIndex{28}$

Санджай може пофарбувати кімнату за 5 годин. Амелі займає 9 годин, щоб пофарбувати ту ж кімнату. Скільки годин це займе, якщо вони працюють разом?

Вправа$\PageIndex{29}$

Рікардо займає 12 годин довше, щоб заповнити звіт про інвентаризацію, ніж це займає Санджай. Якщо вони працюють разом, на це йде 8 годин. Скільки годин знадобилося б Санджаю, якби він працював один?

Відповідь

12 миль/год

Вправа$\PageIndex{30}$

Рікардо займає 8 годин довше, щоб заповнити звіт про інвентаризацію, ніж це займає Амелі. Якщо вони працюють разом, це займе у них 3 години. Скільки годин знадобилося б Амелі, якби вона працювала одна?

Вправа$\PageIndex{31}$

Жан може пофарбувати кімнату за 4 години. Санджай займає 7 годин, щоб пофарбувати ту ж кімнату. Скільки годин це займе, якщо вони працюють разом?

Відповідь

$\frac{28}{11}$миль/год

Вправа$\PageIndex{32}$

Амелі може пофарбувати кімнату за 5 годин. Санджай займає 9 годин, щоб пофарбувати ту ж кімнату. Скільки годин це займе, якщо вони працюють разом?