3.6: Глава 3 Вправи з рішеннями

3.1 Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Джодія економить свої гроші, щоб придбати ігрову систему Playstation 3. За його оцінками, йому знадобиться 950 доларів, щоб придбати сам пристрій, аксесуари та кілька ігор. Зараз він заощадив 600 доларів, і він може розумно покласти 60 доларів у свої заощадження наприкінці кожного місяця. Оскільки кількість зекономлених грошей залежить від того, скільки місяців пройшло, виберіть час, в місяцях, як свою самостійну змінну і розмістіть його на горизонтальній осі. Нехай т представляють кількість пройшли місяців, і зробіть позначку за кожен місяць. Виберіть заощаджені гроші, в доларах, як залежну змінну і розмістіть її на вертикальній осі. Нехай A представляють суму, збережену в доларах. Оскільки Jodiah економить 60 доларів щомісяця, буде зручно дозволити кожній коробці представляти 60 доларів. Скопіюйте наступну систему координат на аркуш графічного паперу.

а) У місяці 0 Jodiah має $600 збережено. Це відповідає точці (0, 600). Покладіть цю точку на вашій системі координат.

б) За наступний місяць він заощадив ще 60 доларів. Починаючи з точки (0, 600), перемістіть на 1 місяць вправо і 60 доларів вгору і побудуйте нову точку даних. Які координати цієї точки?

в) Кожен раз, коли ви йдете прямо 1 місяць, ви повинні піднятися на $60 і побудувати нову точку даних. Повторюйте цей процес, поки не досягнете краю системи координат.

г) Маючи на увазі, що ми моделюємо цю дискретну ситуацію безперервно, проведіть лінію через ваші точки даних.

д) Використовуйте свій графік, щоб оцінити, скільки грошей Джодія заощадив через 7 місяців. f) Використовуючи свій графік, оцініть, скільки місяців йому знадобиться, щоб накопичити достатньо грошей, щоб придбати свою ігрову систему, аксесуари та ігри.

Відповідь

г)

д)

З графіка, коли t = 7 місяців, він заощадить $1020.

f)

Зверніть увагу, що ми моделювали дискретну проблему безперервно: він економить 60 доларів наприкінці кожного місяця, і він матиме 900 доларів до кінця п'ятого місяця; а потім 960 доларів до кінця шести місяців. Не буде часу, коли він має рівно 950 доларів, тому відповідь - 6 місяців, і в цей момент у нього буде 960 доларів.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

На вивісці вище вказані ціни на поїздку на таксі від компанії Liberty Cab. Оскільки вартість залежить від пройденої відстані, зробіть відстань незалежною змінною і розмістіть її на горизонтальній осі. Нехай d представляють пройдену відстань, в милі. Оскільки компанія таксі стягує плату за 1/6 милю, зручно позначати кожні 1/6 милі. Зробіть ціну, в $, залежну змінну і розмістіть її на вертикальній осі. Нехай C представляють вартість, в $. Оскільки вартість відбувається з кроком 40c, відзначайте кожні 40c уздовж вертикальної осі. Скопіюйте наступну систему координат на аркуш графічного паперу.

а) Для першої 1/6 милі проїзду вартість становить $2.30. Це відповідає точці (1/6, $2,30). Покладіть цю точку на вашій системі координат.

б) За наступну 1/6 милі вартість піднімається на 40\(\cent\). Починаючи з точки (1/6, $2,30), перемістіть 1/6 милі вправо і 40c вгору і побудуйте нову точку даних. Які координати цієї точки?

в) Кожен раз, коли ви йдете вправо 1/6 милі, ви повинні піднятися на 40\(\cent\) і побудувати нову точку даних. Повторюйте цей процес, поки не досягнете краю вашої системи координат.

г) Маючи на увазі, що ми моделюємо цю дискретну ситуацію безперервно, проведіть лінію через ваші точки даних.

д) Мелісса сходить у таксі в місті Ніагарський водоспад, приблизно в 2 милі від державного парку Ніагарського водоспаду. Використовуйте свій графік, щоб оцінити вартість проїзду в парк.

е) В іншому місці в районі Джорджина бере таксі. У неї всього 5 доларів за проїзд. Використовуйте графік, щоб оцінити, наскільки далеко вона може проїхати, у милі, лише 5 доларів за тариф.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Човен знаходиться в 200 футах від буя в море. Він наближається до буя з середньою швидкістю 15 футів/с.

а) Вибравши час, у секундах, як незалежну змінну та відстань від буя, у футах, як залежну змінну, складіть графік системи координат на аркуші графічного паперу із зображенням осей та одиниць. Використовуйте галочки для ідентифікації ваг.

б) Під час t = 0 човен знаходиться на відстані 200 футів від буя. До якого моменту це відповідає? Покладіть цю точку на вашій системі координат.

в) Через 1 секунду човен наблизився на 15 футів ближче до буя. Починаючи з попередньої точки, перемістіть на 1 секунду вправо і 15 футів вниз (оскільки відстань зменшується) і побудуйте нову точку даних. Які координати цієї точки?

г) Кожен раз, коли ви йдете вправо 1 секунду, ви повинні спуститися на 15 футів і побудувати нову точку даних. Повторюйте цей процес, поки не досягнете 12 секунд.

д) Намалюйте лінію через свої точки даних.

f) Коли човен знаходиться в межах 50 футів від буя, водій хоче почати гальмувати. Використовуйте свій графік, щоб оцінити, як скоро човен буде в межах 50 футів від буя.

Відповідь

д)

е) Проводимо лінію на 50 футів і бачимо, що вона відбувається через 10 секунд:

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Джо заборгував $24,000 студентських кредитів. Він закінчив коледж і зараз працює. Він може дозволити собі платити 1500 доларів на місяць на свої кредити.

а) Виберіть час у місяцях як незалежну змінну та суму заборгованості, у $, як залежну змінну. На аркуші графського паперу зробіть ескіз системи координат, використовуючи галочки і позначивши осі відповідним чином.

б) На час t = 0 Джо ще нічого не заплатив за свої кредити. До якого моменту це відповідає? Покладіть цю точку на вашій системі координат.

в) Через один місяць він платить 1500 доларів. Починаючи з попереднього пункту, перемістіть 1 місяць вправо і 1500 доларів вниз (вниз, оскільки борг зменшується). Ділянка цієї точки. Які його координати?

г) Кожен раз, коли ви йдете на 1 місяць вправо, ви повинні рухатися $1500 вниз. Продовжуйте робити це до тих пір, поки його кредити не будуть погашені.

д) Маючи на увазі, що ми моделюємо цю дискретну ситуацію безперервно, проведіть лінію через ваші точки даних.

е) Скористайтеся графіком, щоб визначити, скільки місяців йому знадобиться, щоб погасити всю суму своїх кредитів.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Граф білка має лише десять днів до зимової сплячки. Йому потрібно врятувати ще 50 жолудів. Йому набридло збирати жолуді, і тому він здатний збирати лише 8 жолудів кожні 2 дні.

а) Нехай t представляти час у днях і зробити його незалежною змінною. Нехай N представляють кількість зібраних жолудів і роблять його залежною змінною. Налаштуйте відповідним чином масштабовану систему координат на аркуші графічного паперу.

б) Під час t = 0 Ерл зібрав нуль потрібних йому жолудів. До якого моменту це відповідає? Покладіть цю точку на вашій системі координат.

в) Через два дні (t = 2) Ерл зібрав 8 жолудів. Починаючи з попередньої точки, рухайтеся на 2 дні вправо і 8 жолудів вгору. Ділянка цієї точки. Які його координати?

г) Кожен раз, коли ви йдете 2 дні вправо, ви повинні перемістити 8 жолудів вгору і намітити точку. Продовжуйте робити це, поки не досягнете 14 днів.

д) Маючи на увазі, що ми моделюємо цю дискретну ситуацію безперервно, проведіть лінію через ваші точки даних.

е) Використовуйте графік, щоб визначити, скільки жолудів він зібрав через 10 днів. Чи зібрав Ерл достатньо жолудів для зимової сплячки?

г) Зверніть увагу, що кількість зібраних жолудів збільшується зі швидкістю 8 жолудів кожні 2 дні. Зменшіть це до швидкості, яка повідомляє про середню кількість жолудів, які збираються щодня.

h) У таблиці нижче наведено кількість жолудів, які граф зібрав у різний час. Деякі записи були заповнені для вас. Наприклад, при t = 0 граф не має жолудів, тому N = 0. Через одну добу кількість збільшується на 4, тому N = 0 + 4 (1). Через дві доби відбулося два підвищення, тому N = 0+4 (2). Візерунок триває. Заповніть відсутні записи.

т	П
0	0
1	0 + 4 (1)
2	0 + 4 (2)
3	0 + 4 (3)
4
6
8
10
12
14

i) Висловіть кількість зібраних жолудів, N, як функцію часу t, в днях.

j) Використовуйте свою функцію, щоб передбачити кількість жолудів, які Earl матиме через 10 днів. Чи погоджується ця відповідь з вашою оцінкою з частини (f)?

Відповідь

д)

е) Якщо провести лінію в 10 днів, то можна побачити, що він зібрав 40 жолудів.

г)\(\frac{8}{2}\) жолуді/день = 4 жолуді/день

з) Слідуючи викрійці, отримуємо:

т	П
0	0
1	0 + 4 (1)
2	0 + 4 (2)
3	0 + 4 (3)
4	0+4 (4)
6	0+4 (6)
8	0+4 (8)
10	0+4 (10)
12	0+4 (12)
14	0+4 (14)

i) N = 0 + 4т або N = 4т

j) При t = 10, N = 0 + 4 (10) = 40 жолудів.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

На мережевому телебаченні типова година програмування містить 15 хвилин рекламних роликів та реклами та 45 хвилин самої програми.

а) Виберіть кількість телевізора, переглянутого як незалежну змінну, і розмістіть її на горизонтальній осі. Нехай T представляють кількість переглянутого телебачення, в годинами. Виберіть загальну кількість рекламних роликів/оголошень, які переглядаються як залежну змінну, і розмістіть її на вертикальній осі. Нехай C представляє загальну кількість переглянутих рекламних роликів/оголошень за лічені хвилини. Використовуючи аркуш графічного паперу, зробіть ескіз системи координат і позначте відповідним чином.

б) За 0 годин перегляду програмування було переглянуто 0 хвилин рекламних роликів. До якого моменту це відповідає? Помістіть його на вашій системі координат.

в) Після перегляду 1 години програмування було переглянуто 15 хвилин рекламних роликів/оголошень. Починаючи з попередньої точки, рухайтеся на 1 годину вправо і 15 хвилин вгору. Ділянка цієї точки. Які його координати?

г) Кожен раз, коли ви йдете на 1 годину вправо, ви повинні рухатися на 15 хвилин вгору і намітити точку. Продовжуйте робити це, поки не досягнете 5 годин програмування.

д) Намалюйте лінію через свої точки даних.

е) Біллі дивиться телевізор протягом п'яти годин у понеділок. Використовуйте графік, щоб визначити, скільки хвилин рекламних роликів він переглянув за цей час.

г) Припустимо, що людина переглянула одну годину рекламних роликів/оголошень. Використовуйте графік, щоб оцінити, скільки годин телебачення він дивився.

h) Наступна таблиця показує кількість годин перегляду програмування, як це стосується кількості хвилин переглянутих рекламних роликів/оголошень. За 0 годин ТБ переглядається 0 хвилин рекламних роликів/оголошень. За кожну годину перегляду телевізора ми повинні рахувати 15 хвилин рекламних роликів/оголошень. Так, протягом 1 години дивиться 0 + 15 (1) хвилин рекламних роликів. Протягом 2 годин 0 + 15 (2) хвилин; і так далі. Заповніть відсутні записи.

Т (год)	C (хв)
0	0
1	0 + 15 (1)
2	0 + 15 (2)
3
4
5

i) Висловіть кількість переглянутих рекламних роликів/оголошень, C, як функцію кількості переглянутого телебачення T. використовуйте своє рівняння для прогнозування кількості рекламних роликів/оголошень, переглянутих протягом 5 годин телевізійних програм. Чи погоджується ця відповідь з вашою оцінкою з частини (f)?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

За даними НАТО (Національної асоціації власників театрів), середня ціна квитка в кіно становила 5,65 доларів у 2001 році. З тих пір середня ціна щороку зростає приблизно на 20\(\cents\).

а) Виберіть рік, починаючи з 2000 року, як незалежну змінну і робіть позначки щороку на осі. Виберіть середню ціну квитка, в доларах, як залежну змінну і починайте з 5.65 доларів, з позначками кожні 10\(\cents\) вище. Зробіть ескіз системи координат і відповідним чином позначте.

б) У 2001 році середня ціна квитка становила 5,65 долара, що відповідає пункту (2001, 5,65). Помістіть його на вашій системі координат.

в) У 2002 році, через рік, середня ціна зросла приблизно на 20\(\cents\). Починаючи з попередньої точки, рухайтеся вправо на 1 рік і вгору на 20\(\cents\) і побудуйте точку. Які його координати?

г) Кожен раз, коли ви йдете на 1 рік вправо, ви повинні рухатися вгору на 20\(\cents\) і намітити точку. Продовжуйте робити це до 2010 року.

д) Маючи на увазі, що ми моделюємо цю дискретну ситуацію безперервно, проведіть лінію через ваші точки даних.

е) Скористайтеся графіком, щоб оцінити, в якому році середня ціна квитка пройде 7.00 доларів.

Відповідь

д)

е) Намалюйте лінію за $7.00 і шукайте рік.

Зверніть увагу, що рік між 2007 і 2008 роками. Але це дискретна проблема, так як ми маємо справу тільки з цілими роками. Таким чином, відповідь - 2008 рік.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Коли Джессіка їздить на своєму автомобілі на конференцію, пов'язану з роботою, її роботодавець відшкодовує їй приблизно 45 центів за милю, щоб покрити витрати на газ та знос автомобіля.

а) Використовуючи пройдену відстань d, у милах, як незалежну змінну та суму, відшкодовану A, у доларах, як залежну змінну, зробіть ескіз системи координат та відповідним чином позначте. Відзначайте відстань кожні 5 миль і суму відшкодовується кожні $0.45.

б) За проїзд 0 миль відшкодування становить 0. Це відповідає точці (0, 0). Помістіть його на вашій системі координат.

в) За поїздку, яка вимагає від неї проїхати загалом 5 миль, їй відшкодовується 5 (0,45) = $2,25. Це відповідає точці (5, 2,25 долара). Сюжет його.

г) За кожні 5 миль ви йдете вправо, ви повинні піднятися на $2,25 і побудувати точку. Робіть це, поки не досягнете 20 миль.

д) Маючи на увазі, що ми моделюємо цю дискретну ситуацію безперервно, проведіть лінію через ваші точки даних.

f) У березні Джессіка відвідує конференцію, яка знаходиться всього в 5 милі. Підраховуючи туди й назад, вона подорожує 10 загальних миль. Скористайтеся графіком, щоб визначити, скільки їй відшкодовується.

g) У грудні вона відвідує конференцію за 10 миль. Скільки триває її поїздка в цілому? Скористайтеся графіком, щоб визначити, скільки їй буде відшкодовано.

h) Для більш тривалих поїздок, таких як 200 загальних миль, вам, ймовірно, потрібно буде зробити набагато більший графік. А що робити, якщо вона проїде 400 миль? Або далі? Саме такі обмеження роблять корисним пошук рівняння, яке описує те, що показує графік. Щоб знайти рівняння, ми починаємо з таблиці, яка допомагає нам зрозуміти взаємозв'язок між залежними та незалежними змінними. Заповніть таблицю нижче.

d (милі)	А ($)
0	0
1	0 + 0,45 (1)
2	0 + 0,45 (2)
3
4
5
10
20
50
100

i) Використовуйте таблицю з частини (h), щоб придумати рівняння, яке пов'язує d і A.

j) Тепер використовуйте рівняння для визначення сум відшкодування за поїздки 200 миль і 400 миль.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Температура зазвичай вимірюється в градусах Фаренгейта в Сполучених Штатах; але в багатьох інших країнах вона вимірюється в градусах Цельсія. Відносини між Фаренгейтом і Цельсієм лінійні. Давайте виберемо вимірювання градусів за Цельсієм як наша незалежна змінна, а вимірювання градусів за Фаренгейтом - наша залежна змінна. Вода замерзає при 0 градусах Цельсія, що відповідає 32 градусам Фаренгейта; а вода кипить при 100 градусах Цельсія, що відповідає 212 градусам Фаренгейта. Ми можемо побудувати цю інформацію як дві точки (0,32) і (100,212). Відносини лінійні, тому мають наступний графік:

а) Використовуйте графік, щоб наблизити еквівалентну температуру за Фаренгейтом для 48 градусів Цельсія.

б) Щоб визначити швидкість зміни Фаренгейта щодо Цельсія, малюємо прямокутний трикутник зі сторонами, паралельними осям, який з'єднує дві відомі нам точки...

Бічний PR має довжину 100 градусів, що представляє собою збільшення на 100 градусів Цельсія. Бічний RQ становить 180 градусів, що представляє собою збільшення на 180 градусів за Фаренгейтом. Знайдіть швидкість збільшення Фаренгейта на Цельсію. в) У наступній таблиці наведені деякі значення температур в Цельсії та відповідні їм показання Фаренгейта. Нуль градусів Цельсія відповідає 32 градусам за Фаренгейтом. Наш показник становить 9 градусів за Фаренгейтом на кожні 5 градусів Цельсія, або 9/5 градуса Фаренгейта для кожного 1 градуса Цельсія. Отже, для 1 градуса Цельсія збільшуємо показання Фаренгейта на 9/5 градуса, отримуючи 32 + 9/5 (1). Для 2 градусів Цельсія ми збільшуємо на два випадки 9/5 градусів, щоб отримати 32 + 9/5 (2). Заповніть відсутні записи, дотримуючись шаблону.

C (град)	F (град)
0	32
1	\(32 + \frac{9} {5} (1)\)
2	\(32 + \frac{9} {5} (2)\)
3	\(32 + \frac{9} {5} (3)\)
4
5
10
20
48
100

г) Використовуйте таблицю, щоб сформувати рівняння, яке дає градуси Фаренгейта через градуси Цельсія.

Відповідь

а) Робимо рядок при 48 градусах Цельсія і зачитуємо оцінку Фаренгейта.

Оцінка повинна складати приблизно 120 градусів за Фаренгейтом.

б)\(\dfrac{changeinF}{ changeinC} = \dfrac{180}{ 100 }= \dfrac{9}{ 5}\)

в)

C (град)	F (град)
0	32
1	\(32 + \frac{9} {5} (1)\)
2	\(32 + \frac{9} {5} (2)\)
3	\(32 + \frac{9} {5} (3)\)
4	\(32 + \frac{9} {5} (4)\)
5	\(32 + \frac{9} {5} (5)\)
10	\(32 + \frac{9} {5} (10)\)
20	\(32 + \frac{9} {5} (20)\)
48	\(32 + \frac{9} {5} (48)\)
100	\(32 + \frac{9} {5} (100)\)

г) Ф = 9 5С + 32

Вправа\(\PageIndex{10}\)

16 червня 2006 року курс конвертації з євро в долари США становив приблизно 0,8 до 1, що означає, що кожні 0,8 євро коштували 1 долар США.

а) Вибираючи долари як незалежну змінну, а євро - залежну змінну, складіть графік координатної системи. Відзначте кожен долар на осі долара і кожні 0,8 євро на осі євро. Позначте відповідним чином.

б) Нульові долари коштують 0 євро. Це відповідає точці (0, 0). Помістіть його на вашій системі координат.

в) Один долар коштує 0,8 євро. Помістіть це як точку на вашій системі координат.

г) За кожен долар, який ви рухаєтеся вправо, ви повинні піднятися на 0,8 євро і намітити точку. Робіть це, поки не досягнете 10 доларів.

д) Намалюйте лінію через свої точки даних.

f) Використовуйте графік, щоб оцінити, скільки євро $8 коштують.

g) Використовуйте графік, щоб оцінити, скільки доларів 5 євро коштують.

h) Наступна таблиця показує деякі значення доларів і їх відповідну вартість в євро. Заповніть відсутні записи.

Доларів	Євро
0	0
1	0 + 0.8 (1)
2	0 + 0.8 (2)
3
4
5
10

i) Скористайтеся таблицею, щоб скласти рівняння, яке можна використовувати для перетворення доларів в євро.

j) Використовуйте рівняння з (i) для перетворення $8 в євро. Чи згодна ваша відповідь з відповіддю (f), яку ви отримали за допомогою графіка?

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Пізанська вежа в Італії має свою знамениту схильність на південь, тому що глинистий і піщаний грунт, на якому вона побудована, м'якша на південній стороні, ніж північна. Нахил часто знаходять шляхом вимірювання відстані, яке верхня частина вежі звисає над основою, позначене h на малюнку нижче. У 1980 році вежа мала нахил h = 4.49м, і цей нахил збільшувався приблизно на 1 мм/рік.

На рис\(\PageIndex{1}\). h вимірюється нахил Пізанської вежі.

Ми будемо досліджувати, як змінювався нахил вежі з 1980 по 1995 рік.

а) По-перше, зверніть увагу, що наші агрегати не відповідають: нахил в 1980 році був заданий як 4,49 м, але щорічне збільшення нахилу дається як 1 мм/рік. Наша перша мета - зробити одиниці однаковими. Ми будемо використовувати міліметри (мм). Перетворіть 4,49 м на мм.

б) Отримати аркуш графського паперу. Оскільки нахил вежі залежить від року, зробіть рік незалежною змінною і розмістіть її на горизонтальній осі. Нехай він уособлює рік. Зробіть нахил залежною змінною і розмістіть її на вертикальній осі. Нехай h представляють собою нахил, виміряний в міліметрах (мм). Виберіть 1980 рік як перший рік на горизонтальній осі і відзначайте щороку після цього, до 1995 року. Нехай вертикальна вісь починається з 4,49 м, перетворюється на мм від частини (а), оскільки це було наше перше вимірювання; а потім ми відзначаємо кожні 1 мм після цього до 4510 мм.

в) Подумайте про 1980 рік як початковий рік. Разом з вимірюванням нахилу з того року він утворює точку. Які координати цієї точки? Покладіть точку на вашій системі координат.

г) Починаючи з першої точки, з частини (c), рухайтеся на рік вправо (до 1981) і на 1 мм вгору (тому що нахил збільшується) і побудуйте нову точку даних.

д) Кожен раз, коли ви рухаєтеся на один рік вправо, ви повинні рухатися на 1 мм вгору і намітити нову точку. Повторюйте цей процес, поки не досягнете 1995 року.

f) Маючи на увазі, що ми моделюємо цю дискретну ситуацію безперервно, проведіть лінію через ваші точки даних. Ми можемо використовувати цю модель для прогнозів.

г) Згідно з комп'ютерними імітаційними моделями, в яких використовується складна математика, вежа буде загрожувати руйнуванням, коли h досягне приблизно 4495 мм. Використовуйте свій графік, щоб оцінити, в якому році це станеться.

з) В реальності нахил вежі пройшов 4495 мм і вежа не зруйнувалася. Насправді нахил збільшився до 4500 мм, перш ніж вежа була закрита 7 січня 1990 року, щоб пройти реконструкцію, щоб зменшити нахил. (Вежа була знову відкрита в 2001 році, після того, як інженери використовували ваги і видалили бруд з-під основи, щоб зменшити нахил на 450 мм.) Які можуть бути причини, чому прогнозування комп'ютерної моделі виявилося неправильним?

i) У наступній таблиці наведено нахил вежі, h, рік та кількість років, починаючи з 1980 року. У 1980 році нахил становив 4490 мм, і жодних випадків збільшення 1 мм ще не відбулося, тому ми заповнюємо 4490 + 0 (1) = 4490. У 1981 році сталося одне збільшення 1 мм, оскільки минув рік з 1980 року. Тому нахил склав 4490 + 1 (1). У 1982 році відбулося два випадки збільшення 1 мм, оскільки минуло 2 роки з 1980 року. Таким чином, нахил склав 4490 + 2 (1). І візерунок продовжується таким чином. Заповніть інші записи.

Рік	років х після 80-го	нахил h
1980	0	4490 + 0 (1)
1981	1	4490 + (1)
1982	2	4490 + (1)
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995

j) Нехай х представляють кількість років з 1980 року і h представляють нахил. Використовуючи таблицю вище, напишіть рівняння, яке пов'язує h і x.

k) Використовуйте своє рівняння, щоб передбачити нахил у 1990 році. Чи згоден він з фактичною вартістю від 1990 року? Чи згоден він із значенням, яке показано на складеному вами графіку?

l) Частково (g) ви використовували графік, щоб передбачити рік, в якому нахил становитиме 4495 мм. Використовуйте своє рівняння, щоб зробити той самий прогноз. Чи згодні відповіді?

Відповідь

а) Є 1000 мм в 1м, тому 4,49 = 4,49 (1000) = 4490 мм.

f)

г) Проводимо лінію для h = 4495 і бачимо, що вона відповідає 1985 році.

h) Жодна модель не є ідеальною. Комп'ютерна модель не повинна була враховувати певні несподівані фактори.

i)

Рік	років х після 80-го	нахил h
1980	0	4490 + 0 (1)
1981	1	4490 + (1)
1982	2	4490 + (2)
1983	3	4490 + (23)
1984	4	4490 + (24)
1985	5	4490 + (25)
1986	6	4490 + (26)
1987	7	4490 + (27)
1988	8	4490 + (28)
1989	9	4490 + (29)
1990	10	4490 + (10)
1991	11	490 + (11)
1992	12	4490 + (12)
1993	13	4490 + (13)
1994	14	4490 + (14)
1995	15	4490 + (15)

j) ч = 4490 + 1х

k) У 1990 р х = 10, і так h = 4490+1 (10) = 4500мм. Так, це погоджується з фактичним значенням 1990 року.

л) Щоб дізнатися, коли нахил буде 4495, ставимо h = 4495 і вирішуємо для х. 4495 = 4490 + 1х призводить до 5 = х, і так наша відповідь 1985. Це погоджується з відповіддю з (г).

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Згідно зі Статистичною анотацією Сполучених Штатів (www.census.gov), у Сполучених Штатах було зареєстровано приблизно 31 000 злочинів у 1998 році, і це знижувалося приблизно на 2900 на рік.

а) На аркуші графічного паперу складіть систему координат і побудуйте дані 1998 року як точку. Зауважте, що вам потрібно буде лише скласти графік першого квадранта системи координат, оскільки даних за роки до 1998 року немає, і не може бути негативної кількості злочинів. Використовуйте вказану ставку, щоб знайти бали за 1999 по 2006 рік, а потім проведіть лінію через ваші дані. Ми будуємо неперервну модель для нашої дискретної ситуації.

б) У наступній таблиці наведено кількість злочинів, про які повідомлялося, C, рік та кількість років з 1998 року. У 1998 році це число становило 31 000, і жодних випадків зменшення 2900 ще не відбулося, тому ми заповнюємо 31000 − 2900 (0). У 1999 році сталося одне зменшення 2900, оскільки минув рік з 1998 року. Таким чином, кількість зареєстрованих злочинів становила 31000−2900 (1). І візерунок продовжується таким чином. Заповніть інші записи.

Рік	років х після 1998	Кількість злочинів C
1998	0	31000 − 2900 (0)
1999	1	31000 − 2900 (1)
2000
2001
2002

в) Спостерігаючи закономірність в таблиці, ми придумуємо рівняння C = 31000 − 2900x, щоб співвіднести кількість злочинів С до числа років х після 1998 року. Тут C є функцією x, і тому ми можемо використовувати позначення C (x) = 31000 − 2900x, щоб підкреслити це.

i. Обчислення С (5).

II. У повному реченні поясніть, що означає C (5).

iii. Обчислення C (8).

IV. У повному реченні поясніть, що означає C (8).

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Згідно зі Статистичною анотацією Сполучених Штатів (www.census.gov), у в'язницях Сполучених Штатів у 1999 році налічувалося приблизно 606 000 ув'язнених, і це збільшувалося приблизно на 14 000 на рік.

а) На аркуші графічного паперу складіть систему координат і побудуйте дані 1999 року як точку. Зауважте, що вам потрібно буде лише скласти графік першого квадранта системи координат, оскільки даних за роки до 1999 року немає, і не може бути негативної кількості злочинів. Використовуйте вказану ставку, щоб знайти бали за 2000 до 2006 року, а потім проведіть лінію через ваші дані. Ми будуємо неперервну модель для нашої дискретної ситуації.

б) У наступній таблиці наведено кількість ув'язнених, N, рік та кількість років з 1999 року. У 1999 році це число становило 606 000, і жодних випадків збільшення 14 000 ще не відбулося, тому ми заповнюємо 606000 + 14000 (0). У 2000 році сталося одне збільшення на 14 000, оскільки минув рік з 1999 року. Таким чином, кількість зареєстрованих злочинів становила 606000 + 14000 (1). І візерунок продовжується таким чином. Заповніть інші записи.

Рік	років x після '99	Кількість ув'язнених N
1999	0	606000+14000 (0)
2000	1	606000+14000 (1)
2001
2002

в) Спостерігаючи закономірність в таблиці, придумуємо рівняння N = 606000+14000x, щоб співвіднести кількість злочинів С до числа років х після 1999 року. Тут N є функцією х, і тому ми можемо використовувати позначення N (x) = 606000+14000x, щоб підкреслити це.

i. Обчислення N (5).

II. У повному реченні поясніть, що означає N (5).

iii. Обчислення N (7).

IV. У повному реченні поясніть, що означає N (7).

Відповідь

а)

б)

Рік	років x після '99	Кількість ув'язнених N
1999	0	606000+14000 (0)
2000	1	606000+14000 (1)
2001	2	606000+14000 (2)
2002	3	606000+14000 (3)

в)

i. N (5) = 606000 + 14000 (5) = 676000.

II. Це означає, що, за нашою моделлю, через 5 років після 1999 року (тобто в 2004 році) кількість ув'язнених становитиме 676 000.

ііі. П (7) = 606000 + 14000 (7) = 704000.

IV. Це означає, що за нашою моделлю, у 2006 році кількість ув'язнених становитиме 704 000

3.2 Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Припустимо, ви їдете на велосипеді в гору, як показано нижче.

Малюнок\(\PageIndex{1}\). Їзда на велосипеді в гору.

а) Якщо пагорб прямий, як показано, враховуйте нахил, або крутизну його нахилу. Коли ви їдете вгору по гірці, що ви можете сказати про ухил? Чи змінюється це? Якщо так, то як?

б) Ухил - це те, що математики називають нахилом. Щоб підтвердити свою відповідь на частину (а), ви розмістите пагорб на систему координат і обчислите його нахил уздовж різних відрізків пагорба. Див. Малюнок нижче.

Три точки - P, Q і R - були позначені вздовж пагорба. Вертикальну відстань (висоту) називаємо підйом, а горизонтальну відстань пробігом. Коли ви їдете вгору по пагорбу від точки P до точки Q, що таке підйом? Що таке пробіг? Використовуйте ці значення для обчислення нахилу від P до Q.

в) Тепер розглянемо, як ви їдете від П до Р. Що таке підйом? Що таке пробіг? Використовуйте ці значення для обчислення нахилу від P до R.

г) Нарешті, розгляньте, як ви їдете від Q до R. Що таке підйом? Що таке пробіг? Використовуйте ці значення для обчислення нахилу від Q до R.

д) Як порівнюються значення ухилу від деталей (б) - (г)? Чи підтверджують ці результати вашу відповідь на частину (а)?

f) Зверніть увагу, що нахил є позитивним у цьому прикладі. У цьому контексті їзди на велосипеді через пагорб, що означало б негативний нахил?

Відповідь

а) Ні, вона не змінюється. Ухил всюди однаковий по прямому пагорбу.

б)\(m_{PQ} = \dfrac{3−1 }{9−3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

в)\(m_{PR} = \dfrac{4−1 }{12−3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)

г)\(m_{QR} = \dfrac{4-3}{12−9} = \dfrac{1}{3}\)

д) Вони всі однакові. Це має сенс, тому що нахил або крутизна пагорба однакові у всьому.

f) Позитивний нахил означає, що ви їдете в гору; негативний схил буде означати, що ви їдете вниз.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Налаштуйте систему координат на аркуші графічного паперу, намалювавши точки P (3, 4) та Q (−2, −7) та проведіть лінію через них.

а) Що можна сказати про нахил лінії? Це позитивний, нульовий, негативний або невизначений? Чи скрізь по лінії нахил однаковий, або змінюється місцями? Якщо це все ж зміниться, де схили відрізняються?

б) Використовуйте свій графік, щоб визначити зміну у (підйом) та зміну x (run). Використовуйте ці результати для обчислення нахилу лінії.

в) Використовуйте формулу нахилу для обчислення нахилу лінії.

г) Чи погоджується ваше числове рішення з частини (c) з вашим графічним рішенням з частини (b)? Якщо немає, перевірте свою роботу на наявність помилок.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Налаштуйте систему координат на аркуші графічного паперу, намалювавши точки P (−1, 3) та Q (5, −3) та проведіть лінію через них.

а) Що можна сказати про нахил лінії? Це позитивний, нульовий, негативний або невизначений? Чи скрізь по лінії нахил однаковий, або змінюється місцями? Якщо це все ж зміниться, де схили відрізняються?

б) Використовуйте свій графік, щоб визначити зміну у (підйом) та зміну x (run). Використовуйте ці результати для обчислення нахилу лінії.

в) Використовуйте формулу нахилу для обчислення нахилу лінії.

г) Чи погоджується ваше числове рішення з частини (c) з вашим графічним рішенням з частини (b)? Якщо немає, перевірте свою роботу на наявність помилок.

Відповідь

а) Нахил негативний, оскільки лінія нахиляється вниз. Ухил скрізь по лінії однаковий, тому що нахил лінії не змінюється.

б)

нахил = −6/6 = −1

в) Δy = −3 − (3) = −6; Δx = 5 − (−1) = 6; нахил =\ dfrac {\ дельта y} {\ дельта х}\)\( \dfrac{−6 }{6}\) = −1

г) Так.

У Вправи\(\PageIndex{4}\) -\(\PageIndex{10}\) виконуйте кожне з наступних завдань.

i. зробити ескіз системи координат; розкласти задані точки і провести лінію через точки.

II. Використовуйте формулу нахилу для обчислення нахилу прямої через задані точки. Зменшіть ухил там, де це можливо.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

(0, 0) і (3, 4)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

(−5, 2) і (0, 3)

Відповідь

\(slope = \dfrac{3−2}{ 0−(−5)} = \dfrac{1}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

(−3, −3) та (6, −5)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

(2, 0) і (2, 2)

Відповідь

\(slope = \dfrac{2−0 }{2−2} = \dfrac{2}{0}\)= невизначений

Вправа\(\PageIndex{8}\)

(−9, −3) та (6, −3)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

(−8, 4) і (3, −8)

Відповідь

\(slope = \dfrac{−8−4}{ 3−(−8)} = \dfrac{−12}{ 11}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

(−2, 6) і (5, −2)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Для наступного рядка вибрано дві зручні точки P і Q. Ми вибрали дві точки, які були в кутах коробок на нашій сітці, тому їх координати легко читаються.

а) Позначте їх координати.

б) Думаючи про P як початкову точку, а Q як кінцеву точку, намалюйте прямокутний трикутник, що з'єднує точки.

в) Чітко вказати зміну у (підйом) та зміну x (run) від P до Q.

г) Обчислити ухил.

Відповідь

а) Точки є (0, 0) і (6, 3).

б)

в) Δy = 3 − 0 = 3; ∆x = 6 − 0 = 6

г) нахил =\(\dfrac{\delta y}{\delta x} =\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{ 2}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Для наступного рядка вибрано дві зручні точки A і B. Ми вибрали дві точки, які були в кутах коробок на нашій сітці, тому їх координати легко читаються.

а) Позначте їх координати.

б) Думаючи про A як початкову точку, а B як кінцеву точку, намалюйте прямокутний трикутник, що з'єднує точки.

в) Чітко вказати зміну у (підйом) та зміну x (run) від A до B.

г) Обчислити ухил.

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Скопіюйте систему координат нижче на аркуш графічного паперу. Потім виконайте наступне:

а) Виберіть будь-які дві зручні точки P і Q на графіку прямої. Позначте кожну точку своїми координатами.

б) Чітко сформулюйте зміну у (підйом) та зміну x (run). Обчислити нахил лінії.

Відповідь

ПРИМІТКА: Рішення можуть відрізнятися в залежності від того, які дві зручні точки були обрані.

а) Ви можете вибрати будь-які дві точки на лінії; наприклад, (0, 0) і (5, 4), як показано нижче.

б) Δy = 4 − 0 = 4; Δx = 5 − 0 = 5; нахил =\(\dfrac{\delta y }{\delta x} = \dfrac{4}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Скопіюйте систему координат нижче на аркуш графічного паперу. Потім виконайте наступне:

а) Виберіть будь-які дві зручні точки P і Q на графіку прямої. Позначте кожну точку своїми координатами.

б) Чітко сформулюйте зміну у (підйом) та зміну x (run). Обчислити нахил лінії.

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Скопіюйте систему координат нижче на аркуш графічного паперу. Потім виконайте наступне:

а) Виберіть будь-які дві зручні точки P і Q на графіку прямої. Позначте кожну точку своїми координатами.

б) Чітко сформулюйте зміну у (підйом) та зміну x (run). Обчислити нахил лінії.

Відповідь

ПРИМІТКА: Рішення можуть відрізнятися в залежності від того, які дві зручні точки були обрані.

а) Ви можете вибрати будь-які дві точки на лінії; наприклад, (1, 1) і (3, 7), як показано нижче.

б) Δy = 7 − 1 = 6; Δx = 3 − 1 = 2; нахил =\( \dfrac{\delta y }{\delta x} = \dfrac{6}{2} = 3\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Скопіюйте систему координат нижче на аркуш графічного паперу. Потім виконайте наступне:

а) Виберіть будь-які дві зручні точки P і Q на графіку прямої. Позначте кожну точку своїми координатами.

б) Чітко сформулюйте зміну у (підйом) та зміну x (run). Обчислити нахил лінії.

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Наступна система координат показує графіки трьох ліній, кожна з яких має різний нахил. Зіставте кожен нахил з (a), (b) або (c) відповідним чином.

нахил = 1

нахил = 2/3

нахил = −2

Відповідь

нахил = 1: (б)

нахил = 2/3: (c)

нахил = −2: (а)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Наступна система координат показує графіки трьох ліній, кожна з яких має різний нахил. Зіставте кожен нахил з (a), (b) або (c) відповідним чином.

нахил = 2

нахил = −1/3

нахил = 1/2

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Намалюйте систему координат на аркуші графічного паперу, для якого осі x та y коливаються від −10 до 10.

а) Намалюйте лінію, яка містить точку (0, 1) і має нахил 2. Позначте рядок як (a).

б) На тій самій системі координат проведіть лінію, яка містить точку (0, 1) і має нахил −1/2. Позначте його як (b).

в) Використовуйте нахили цих двох ліній, щоб показати, що вони перпендикулярні.

Відповідь

б)

в)\(m_{1}m_{2} = 2(−1/2) = −1\), тому лінії розташовуються перпендикулярно.

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Намалюйте систему координат на аркуші графічного паперу, для якого осі x та y коливаються від −10 до 10.

а) Намалюйте лінію, яка містить точку (1, −2) і має нахил 1/3. Позначте рядок як (a).

б) На тій самій системі координат проведіть лінію, яка містить точку (0, 1) і має нахил −3. Позначте його як (b).

в) Використовуйте нахили цих двох ліній, щоб показати, що вони перпендикулярні.

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Проведіть лінію через точку Р (1, 3), яка паралельна лінії через початок координат з нахилом −1/4.

Відповідь

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Проведіть лінію через точку Р (1,3), яка паралельна лінії через початок з нахилом 3/5.

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Намалюйте систему координат на аркуші графічного паперу, для якого осі x та y коливаються від −10 до 10.

a) Намалюйте лінію, яка містить точку (−1, −2) і має нахил 3/4. Позначте рядок як (a).

б) На тій же системі координат проведіть лінію, яка містить точку (0, 1) і має нахил 4/3. Позначте його як (b).

в) Ці лінії паралельні, перпендикулярні чи ні? Показуйте за допомогою їх укосів.

Відповідь

б)

в)\(m_{1}m_{2} = (4/3)(3/4) = 1 \neq −1\), тому лінії не перпендикулярні; нахили не рівні, тому лінії теж не паралельні. Таким чином, лінії можна класифікувати як ні паралельні, ні перпендикулярні.

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Графік системи координат на аркуші графічного паперу, для якого осі x і y коливаються від −10 до 10.

a) Намалюйте лінію, яка містить точку (−4, 0) і має нахил 1. Позначте рядок як (a).

б) На тій самій системі координат проведіть лінію, яка містить точку (0, 2) і має нахил −1. Позначте його як (b).

в) Ці лінії паралельні, перпендикулярні чи ні? Показуйте за допомогою їх укосів.

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\). Сорт - це спосіб вираження нахилу.

По дорозі з Форт-Брегг в Віллітс або з форту Брегг в Санта-Росу часто проходить такі знаки, як показано вище. Клас просто нахил виражається у відсотках замість дробу або десяткового дробу. Іншими словами, клас вимірює крутизну дороги так само, як і схил.

а) Клас 80/0 означає, що для кожної горизонтальної відстані 100 футів дорога піднімається або падає 8 футів (залежно від того, чи їдете ви в гору або вниз). Напишіть 80 /0 клас як нахил у зменшеній дробовій формі.

б) Припустимо, що пагорб падає 16 футів на кожні 180 футів по горизонталі. Знайдіть сорт пагорба до найближчої десятої частки відсотка.

в) Поясніть у повному реченні або реченнях, що буде представляти клас 00 /0.

Відповідь

а) сорт\(=\dfrac{ 8}{ 100} = \dfrac{2}{ 25}\)

б)\(= \dfrac{16}{ 180} = \dfrac{4}{ 45} = 8.90 \) сорт%

в) 0% клас не представляє ухилу або ухилу; тобто рівну дорогу.

3.3 Вправи

У Вправи\(\PageIndex{1}\) -\(\PageIndex{6}\) виконуйте кожне з наступних завдань для заданої лінійної функції.

i) Налаштуйте систему координат на аркуші графського паперу. Позначте та масштабуйте кожну вісь. Не забудьте намалювати всі лінії лінійкою.

II. Визначте нахил і y-перехоплення графіка заданої лінійної функції.

ііі. Використовуйте нахил і перехоплення y, щоб намалювати графік заданої лінійної функції у вашій системі координат. Позначте y-перехоплення з його координатою, а графік - рівнянням.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

ф (х) = 2х+ 1

Відповідь

Порівняйте f (x) = 2x + 1 з f (x) = mx + b. зверніть увагу, що нахил дорівнює m = 2, а y-координата перехоплення y дорівнює b = 1. Тому y-перехоплення буде точкою (0, 1). Побудуйте точку Р (0, 1). Для отримання лінії ухилу m = 2/1 почніть в точці Р (0, 1), потім перемістіть 1 одиницю вправо і на 2 одиниці вгору, доходячи до точки Q (1, 3), як показано на малюнку нижче. Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

f (х) = −2х + 3

Вправа\(\PageIndex{3}\)

f (x) = 3 − х

Відповідь

Порівняйте f (x) = 3 − x, або еквівалентно f (x) = −x + 3, з f (x) = mx + b. Зауважте, що нахил дорівнює m = −1, а y-координата перехоплення y дорівнює b = 3. Тому y-перехоплення буде точкою (0, 3). Побудуйте точку Р (0, 3). Щоб отримати лінію ухилу m = −1, починайте в точці Р (0, 3), потім перемістіть 1 одиницю вправо і на 1 одиницю вниз, доходячи до точки Q (1, 2), як показано на малюнку нижче. Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

f (x) = 2 − 3х

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(f(x) = −\frac{3}{4} x + 3\)

Відповідь

Порівняйте f (x) = (−3/4) x+3 з f (x) = mx+b. Зауважте, що нахил дорівнює m = −3/4, а y-координата перетину y дорівнює b = 3. Тому y-перехоплення буде точкою (0, 3). Побудуйте точку Р (0, 3). Щоб отримати лінію нахилу m = −3/4, починайте в точці Р (0, 3), потім перемістіть 4 одиниці вправо і на 3 одиниці вниз, доходячи до точки Q (4, 0), як показано на малюнку нижче. Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(f(x) = \frac{2}{3} x − 2\)

У Вправи\(\PageIndex{7}\) -\(\PageIndex{12}\) виконуйте кожне з наступних завдань.

i. зробити копію заданого графіка на аркуші графського паперу.

II. Позначте y-перехоплення з його координатами, потім намалюйте прямокутний трикутник і позначте сторони, щоб допомогти визначити нахил.

ііі. Позначте лінію її рівнянням.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Відповідь

Ухил знаходять шляхом поділу підйому на прогін (див. Малюнок). Значить, ухил дорівнює 1/2. Перехоплення y знаходить шляхом зазначення місця перетину графіка прямої осі y (див. Рис.), в даному випадку, at (0, −3). Отже, m = 1/2 і b = −3, тому рівняння прямої у формі перехоплення нахилу дорівнює

\[y = mx + b \quad \text{or} \quad y = \frac{1}{2}x − 3\]

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Відповідь

Ухил знаходять шляхом поділу підйому на прогін (див. Малюнок). Значить, ухил дорівнює 2/3. Y-перехоплення знаходять, вказавши, де графік прямої перетинає вісь y (див. Рис.), в даному випадку в (0, −2). Отже, m = 2/3 і b = −2, тому рівняння прямої у формі перехоплення нахилу дорівнює

\[y = mx + b \quad \text{or} \quad y = \frac{2}{3}x − 2\]

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Відповідь

Ухил знаходять шляхом поділу підйому на прогін (див. Малюнок). Значить, ухил дорівнює 3/2. Y-перехоплення знаходять, зазначивши, де графік прямої перетинає вісь y (див. Рис.), в даному випадку в (0, 1). Значить, m = 3/2 і b = 1, тому рівняння лінії в формі перехоплення нахилу дорівнює

\[y = mx + b \quad \text{or} \quad y = \frac{3}{2}x + 1\]

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Кейт заробляє 39 000 доларів на рік і отримує збільшення 1000 доларів щороку. Так як її зарплата залежить від року, нехай час t представляє рік, причому t = 0 є поточним роком, і розмістіть його уздовж горизонтальної осі. Нехай зарплата S, в тисячах доларів, буде залежною змінною і розмістіть її уздовж вертикальної осі. Будемо вважати, що темп приросту в 1000 доларів на рік постійний, тому ми можемо моделювати цю ситуацію лінійною функцією.

а) На аркуші графського паперу складіть графік для моделювання цієї ситуації, зайшовши аж до t = 10 років.

б) Що таке S-перехоплення?

в) Що таке ухил?

г) Припустимо, ми хочемо передбачити зарплату Кейт через 20 років або 30 років. Ми не можемо використовувати графічну модель, оскільки вона показує лише до t = 10 років. Ми могли б намалювати більший графік, але що, якби ми тоді хотіли передбачити 50 років у майбутньому? Справа в тому, що графічна модель обмежується тим, що вона показує. Модель алгебраїчної функції, однак, може бути використана для прогнозування на будь-який рік! Знайдіть форму перехоплення нахилу лінійної функції, яка моделює зарплату Кейт.

д) Запишіть функцію за допомогою позначення функції, яка підкреслює, що S є функцією t.

f) Тепер використовуйте алгебраїчну модель з (e) для прогнозування зарплати Кейт 10 років, 20 років, 30 років та 50 років у майбутньому.

г) Обчислити S (40).

з) У повному реченні поясніть, що означає значення S (40) з частини (g) в контексті проблеми.

Відповідь

а)

б) При t = 0 (поточний рік) її зарплата становить 39 000 доларів. Оскільки S знаходиться в тисячах доларів, S = 39, коли t = 0. Таким чином, S-перехоплення є (0, 39).

в) Підвищення зарплати Кейт становить 1 000 доларів на рік, але S - в тисячах доларів, тому темп збільшення S становить 1. Тобто ухил дорівнює 1.

г) Використовуючи форму ухил-перехоплення, отримаємо S = t + 39.

д) S (т) = т + 39.

f)

• Щоб знайти зарплату Кейт через 10 років, обчислите S (10) = 10 + 39 = 49, а це означає, що вона буде заробляти 49 000 доларів на рік.
• Щоб знайти зарплату Кейт через 20 років, обчислите S (20) = 20 + 39 = 59, а це означає, що вона буде заробляти 59 000 доларів на рік.
• Щоб знайти зарплату Кейт через 30 років, обчислите S (30) = 30 + 39 = 69, а це означає, що вона буде заробляти 69 000 доларів на рік.
• Щоб знайти зарплату Кейт через 50 років, обчислите S (50) = 50 + 39 = 89, а це означає, що вона буде заробляти 89 000 доларів на рік.

г) S (40) = 40 + 39 = 79. год) Якщо нинішні темпи підвищення продовжуватимуться, через 40 років зарплата Кейт складе 79 000 доларів.

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Для кожного DVD, який продає Blue Charles Co. вони отримують прибуток 5c. Прибуток залежить від кількості проданих DVD, тому нехай число продано n буде незалежною змінною, а прибуток P, в $, буде залежною змінною.

а) На аркуші графічного паперу складіть графік для моделювання цієї ситуації, зайшовши аж до n = 15.

б) Використовуйте графік для прогнозування прибутку, якщо n = 10 DVD продаються.

c) Графічна модель обмежується прогнозуванням значень n на вашому графіку. Будь-яке велике значення n вимагає більшого графіка або іншого типу моделі. Щоб почати пошук алгебраїчної моделі, виявляють P-перехоплення графа.

г) Який нахил лінії у вашій графічній моделі?

д) Знайти форму перехоплення нахилу лінійної функції, яка моделює продажі Blue Charles Co.

f) Запишіть функцію за допомогою позначення функції.

g) Поясніть, чому ця модель не має такого ж обмеження, як графічна модель.

з) Знайти Р (100), Р (1000) і Р (10000).

i) У повних реченнях поясніть, що означають значення P (100), P (1000) і P (10000) в контексті задачі.

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Енріке заощадив 1000 доларів, коли він почав відкладати додаткові 25 доларів щомісяця.

а) Нехай t представляє час, в місяцях, і S представляють заощадження Енріке, в $. Визначте, які повинні бути незалежними та залежними змінними.

б) Для початку знаходження лінійної функції для моделювання цієї ситуації виявляють S-перехоплення і нахил.

в) Знайдіть форму перехоплення нахилу лінійної функції для моделювання економії Енріке з плином часу.

г) Запишіть лінійну функцію в позначенні функцій.

д) Використовуйте функціональну модель, щоб передбачити, скільки буде в його заощадженнях за один рік.

f) Використовуйте функціональну модель, щоб передбачити, коли він збереже 2000 доларів.

g) Графік функції на системі координат.

h) При цьому Анн-Марі також починає економити 25 доларів на місяць, але вона починає з 1200 доларів вже в своїх заощадженнях. Складіть графічну модель її ситуації та розмістіть її на тій же системі координат, що і графічна модель для економії Енріке. Позначте його відповідним чином.

i) Як лінії порівнюються між собою? Скажіть щось про свої схили.

j) Знайти форму ухил-перехоплення лінійної функції, яка моделює заощадження Анн-Марі. Використовуйте ті ж змінні, що і для моделі Енріке.

k) Запишіть функцію за допомогою позначення функції.

л) Довести, що графіки двох функцій є паралельними лініями.

м) Для Анн-Марі, дивлячись на графіки, як ви думаєте, їй знадобиться більше часу або менше часу, ніж Енріке, щоб заощадити 2000 доларів?

n) Використовуйте лінійну функціональну модель для Анн-Марі, щоб передбачити, скільки часу знадобиться їй, щоб заощадити 2000 доларів. Чи погоджується це з вашими очікуваннями від (м)?

Відповідь

a) t повинна бути незалежною змінною, а S повинна бути залежною змінною.

б) S-перехоплення = (0, 1000); нахил = 25

в) S = 25т + 1000

г) S (т) = 25т + 1000

д) S (12) = 25 (12) + 1000 = 1300

е) Встановити S = 2000 і вирішити для t. 2000 = 25t + 1000 1000 = 25t 40 = t Так що буде потрібно 40 місяців, щоб він досяг $2000.

ч)

i) Лінії мають однаковий нахил; вони паралельні.

ж) С = 25т + 1200

к) С (т) = 25т + 1200

l) Вони є рядками, оскільки вони знаходяться у формі y = mx+ b. Вони паралельні, оскільки їх нахили рівні (обидва - 25).

м) Це повинно зайняти у неї менше часу, оскільки її графік знаходиться вище графіка Енріке. Це має сенс інтуїтивно, оскільки вона почала з більшою кількістю грошей, ніж він.

п) Встановити S = 2000 і вирішити для t. 2000 = 25t + 1200 800 = 25t 32 = t Так що для неї знадобиться 32 місяці, щоб досягти $2000. Це погоджується з нашими очікуваннями від (м): Це займає у неї менше часу, ніж Енріке

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Хосе спочатку знаходиться в 400 метрах від автобусної зупинки. Він починає бігти до зупинки зі швидкістю 5 метрів в секунду.

а) Експрес відстань Хосе d від автобусної зупинки як функція часу t.

б) Використовуйте свою модель, щоб визначити відстань Хосе від автобусної зупинки через одну хвилину.

в) Використовуйте свою модель, щоб визначити час, який займе Хосе, щоб дістатися до автобусної зупинки.

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Куля опускається з спокою над поверхнею землі. У міру падіння його швидкість збільшується з постійною швидкістю 32 фути в секунду в секунду.

а) Висловіть швидкість v м'яча як функцію часу t.

б) Використовуйте свою модель, щоб визначити швидкість м'яча через 5 секунд.

в) Використовуйте свою модель, щоб визначити час, який знадобиться м'ячу, щоб досягти швидкості 256 футів в секунду.

Відповідь

а) Ми зробимо «грубий» графік швидкості v проти часу t Швидкість залежить від часу, тому розміщуємо швидкість на вертикальній осі і час на горизонтальній осі на наступному малюнку. Початкова швидкість дорівнює 0 футів/с, що дає нам v-перехоплення при P (0, 0). Швидкість, з якою швидкість збільшується (прискорення), постійна і буде нахилом лінії; тобто нахил лінії m = 32 ft/s2 (32 футів в секунду в секунду).

Оскільки ми знаємо нахил і перехоплення лінії, ми можемо використовувати форму перехоплення нахилу y = mx + b і підставити m = 32 і b = 0 для отримання

\[y = mx + b\\ y = 32x + 0 \\y = 32x\]

Однак ми використовуємо v та t замість y та x, тому ми замінюємо їх у останній формулі, щоб отримати

\[v = 32t\]

або використовуючи позначення функцій,

\[v(t) = 32t\]
б) Щоб знайти швидкість кульки через 5 секунд, підставляємо t = 5 в рівняння, розроблене в попередній частині.

\[v(t) = 32t \\ v(5) = 32(5) \\ v(5) = 160\]

Значить, швидкість м'яча через 5 секунд становить 160 футів в секунду.

в) Щоб знайти час, який потрібно м'ячу, щоб досягти 256 футів в секунду, ми повинні знайти t так, щоб v (t) = 256.

\[v(t) = 256\\ 32t = 256\\ t = 8\]

Таким чином, потрібно 8 секунд, щоб м'яч досяг швидкості 256 футів в секунду.

Вправа\(\PageIndex{18}\)

У повітря кидається м'яч з початковою швидкістю 200 метрів в секунду. Він відразу починає втрачати швидкість зі швидкістю 9,5 метра в секунду в секунду.

а) Висловіть швидкість v м'яча як функцію часу t.

б) Використовуйте свою модель, щоб визначити швидкість м'яча через 5 секунд.

в) Використовуйте свою модель, щоб визначити час, який знадобиться м'ячу для досягнення максимальної висоти.

У Вправи\(\PageIndex{19}\) -\(\PageIndex{24}\) лінійна функція задана в стандартній формі Ax+ By = C. У кожному випадку вирішуйте задане рівняння для y, поміщаючи рівняння у вигляді нахилу-перехоплення. Використовуйте нахил і перехоплення, щоб намалювати графік рівняння на аркуші графського паперу.

Вправа\(\PageIndex{19}\)

3x − 2г = 6

Відповідь

Розмістіть 3x − 2y = 6 у формі перехоплення нахилу. Спочатку відніміть 3x з обох сторін рівняння, потім розділіть обидві сторони отриманого рівняння на −2.

\[\begin{array} {lll} 3x − 2y & = &6 −2 \\ y &=& −3x + 6 \\ y &= &\frac{3}{2}x − 3 \end{array}\]

Порівняйте y = (3/2) x − 3 з y = mx + b, щоб побачити, що нахил дорівнює m = 3/2, а y-координата перехоплення y дорівнює b = −3. Отже, y-перехоплення буде точкою (0, −3). Побудуйте точку P (0, −3). Щоб отримати лінію ухилу m = 3/2, починайте в точці Р (0, −3), потім перемістіть 3 одиниці вгору і 2 одиниці вправо, прибувши в точку Q (2, 0), як показано на малюнку нижче. Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

Вправа\(\PageIndex{20}\)

3х+ 5г = 15

Вправа\(\PageIndex{21}\)

3х+ 2г = 6

Відповідь

Помістіть 3x+ 2y = 6 у формі нахилу перехоплення. Спочатку відніміть 3x з обох сторін рівняння, потім розділіть обидві сторони отриманого рівняння на 2.

\[\begin{array}{lll} 3x + 2y & =& 6 \\ 2y &=& −3x + 6 \\ y &=& −\frac{3}{2} x + 3 \end{array}\]

Порівняйте y = (−3/2) x + 3 з y = mx + b, щоб побачити, що нахил дорівнює m = −3/2, а y-координата перехоплення y дорівнює b = 3. Тому y-перехоплення буде точкою (0, 3). Побудуйте точку Р (0, 3). Для отримання лінії нахилу m = −3/2 почніть з точки Р (0, 3), потім просуньте 3 одиниці вниз і на 2 одиниці вправо, доходячи до точки Q (2, 0), як показано на малюнку нижче. Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

Вправа\(\PageIndex{22}\)

4x − у = 4

Вправа\(\PageIndex{23}\)

x − 3й = −3

Відповідь

Помістіть x − 3y = −3 у формі перехоплення нахилу. Спочатку відніміть x з обох сторін рівняння, потім розділіть обидві сторони отриманого рівняння на −3.

\[\begin{array} {lll} x − 3y &=& −3 \\ −3y &=& −x − 3 \\ y &=& \frac{1}{3} x + 1 \end{array}\]

Порівняйте y = (1/3) x + 1 з y = mx + b, щоб побачити, що нахил m = 1/3, а y-координата перехоплення y дорівнює b = 1. Тому y-перехоплення буде точкою (0, 1). Побудуйте точку Р (0, 1). Щоб отримати лінію ухилу m = 1/3, починайте в точці Р (0, 1), потім просуньте 1 одиницю вгору і на 3 одиниці вправо, прибувши в точку Q (3, 2), як показано на малюнку нижче. Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

Вправа\(\PageIndex{24}\)

х + 4у = −4

У Вправи\(\PageIndex{25}\) -\(\PageIndex{30}\) вам дається лінійна функція у формі нахилу-перехоплення. Помістіть лінійну функцію в стандартному вигляді Ax+ By = C, де A, B і C - цілі числа, а A > 0.

Вправа\(\PageIndex{25}\)

\(y = \frac{2}{3}x − 5\)

Відповідь

Почніть з\[y =\frac{ 2}{ 3} x − 5\] і помножте обидві сторони на 3, щоб очистити дроби.

\[3y = 2x − 15\]

Нарешті, відніміть 3y з обох сторін рівняння, а потім додайте 15 до обох сторін рівняння, щоб отримати\[15 = 2x − 3y\], або еквівалентно,\[2x − 3y = 15\].

Вправа\(\PageIndex{26}\)

\(y = \frac{5}{6}x + 1\)

Вправа\(\PageIndex{27}\)

\(y = −\frac{4}{ 5} x + 3\)

Відповідь

Почніть з\[y = −\frac{4}{5} x + 3\] і помножте обидві сторони на 5, щоб очистити дроби. \[5y = −4x + 15\]

Нарешті, додайте 4x до обох сторін рівняння.

\[4x + 5y = 15\]

Вправа\(\PageIndex{28}\)

\(y = −\frac{3}{7} x + 2\)

Вправа\(\PageIndex{29}\)

\(y = −\frac{2}{5} x − 3\)

Відповідь

Почніть з\[y = −\frac{2}{5} x − 3\] і помножте обидві сторони на 5, щоб очистити дроби.

\[5y = −2x − 15\]

Нарешті, додайте 2x до обох сторін рівняння.

\[2x + 5y = −15\]

Вправа\(\PageIndex{30}\)

\(y = −\frac{1}{4}x + 2\)

Вправа\(\PageIndex{31}\)

Що таке x-перехоплення лінії?

Відповідь

X-перехоплення - це місце, де лінія перетинає вісь x.

Отже, перехоплення x має значення (−4, 0).

Вправа\(\PageIndex{32}\)

Що таке y-перехоплення лінії?

Вправа\(\PageIndex{33}\)

Що таке y-перехоплення лінії?

Відповідь

Y-перехоплення - це місце, де лінія перетинає вісь y.

Тому y-перехоплення є (0, 4).

Вправа\(\PageIndex{34}\)

Що таке x-перехоплення лінії?

У Вправи\(\PageIndex{35}\) -\(\PageIndex{40}\) знайдіть x- і y-перехоплення лінійної функції, яка дана в стандартній формі. Використовуйте перехоплення для побудови графіка лінії на аркуші графського паперу.

Вправа\(\PageIndex{35}\)

3x − 2г = 6

Відповідь

Встановіть x = 0 у 3x − 2y = 6, щоб отримати −2y = 6 або y = −3. Перехоплення y дорівнює (0, −3). Встановіть y = 0 у 3x − 2y = 6, щоб отримати 3x = 6 або x = 2. X-перехоплення є (2, 0). Сюжет перехоплення. Лінія через перехоплення - обов'язкова рядок.

Вправа\(\PageIndex{36}\)

4х+ 5й = 20

Вправа\(\PageIndex{37}\)

x − 2y = −2

Відповідь

Встановіть x = 0 у x−2y = −2, щоб отримати −2y = −2 або y = 1. Y-перехоплення є (0, 1). Встановіть y = 0 у x − 2y = −2, щоб отримати x = −2. Перехоплення x має значення (−2, 0). Сюжет перехоплення. Лінія через перехоплення - обов'язкова рядок.

Вправа\(\PageIndex{38}\)

6х+ 5г = 30

Вправа\(\PageIndex{39}\)

2x − у = 4

Відповідь

Встановіть x = 0 у 2x − y = 4, щоб отримати −y = 4 або y = −4. Перехоплення y дорівнює (0, −4). Встановіть y = 0 у 2x − y = 4, щоб отримати 2x = 4. X-перехоплення є (2, 0). Сюжет перехоплення. Лінія через перехоплення - обов'язкова рядок.

Вправа\(\PageIndex{40}\)

8x − 3й = 24

Вправа\(\PageIndex{41}\)

Намалюйте графік горизонтальної лінії, яка проходить через точку (3, −3). Позначте лінію її рівнянням.

Відповідь

Кожна горизонтальна лінія має рівняння у вигляді y = d, оскільки ця лінія повинна проходити через точку (3, −3), з цього випливає, що рівняння y = −3.

Вправа\(\PageIndex{42}\)

Намалюйте графік горизонтальної лінії, яка проходить через точку (−9, 9). Позначте лінію її рівнянням.

Вправа\(\PageIndex{43}\)

Намалюйте графік вертикальної лінії, яка проходить через точку (2, −1). Позначте лінію її рівнянням.

Відповідь

Кожна вертикальна лінія має рівняння вигляду x = c, оскільки ця лінія повинна проходити через точку (2, −1), з цього випливає, що рівняння дорівнює x = 2.

Вправа\(\PageIndex{44}\)

Намалюйте графік вертикальної лінії, яка проходить через точку (15, −16). Позначте лінію її рівнянням.

У Вправи\(\PageIndex{45}\) -\(\PageIndex{48}\) знайти область і діапазон заданої лінійної функції.

Вправа\(\PageIndex{45}\)

f (x) = −37х − 86

Відповідь

Домен кожної лінійної функції є\((−\infty,\infty)\). Так як нахил графіка f є\(−37 \neq 0\), діапазон також\((−\infty,\infty)\).

Вправа\(\PageIndex{46}\)

ф (х) = 98

Вправа\(\PageIndex{47}\)

f (х) = −12

Відповідь

Домен кожної лінійної функції є\((−\infty,\infty)\). Оскільки f (x) = −12 для кожного x, діапазон дорівнює {−12}.

Вправа\(\PageIndex{48}\)

f (х) = −2х + 8

3.4 Вправи

У Вправи\(\PageIndex{1}\) -\(\PageIndex{4}\) виконуйте кожне з наступних завдань.

i. Намалюйте лінію на аркуші графського паперу з заданим ухилом m, який проходить через задану точку\((x_{0}, y_{0})\).

II. Оцініть y-перехоплення лінії.

ііі. Використовуйте форму точка-нахил для визначення рівняння прямої. Помістіть свою відповідь у формі перехоплення нахилу шляхом розв'язання для y. Порівняйте точне значення перехоплення y з наближенням, знайденим у частині (ii).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

м = 2/3 і\((x_{0}, y_{0}) = (−1, −1)\)

Відповідь

Побудуйте точку P (−1, −1). Щоб провести лінію через Р з ухилом m = 2/3, починайте в точці Р, потім просуньте вгору на 2 одиниці і вправо на 3 одиниці до точки Q (2, 1). Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

З наведеного вище графіка ми оцінили б y-перехоплення як (0, −0,3). Щоб знайти рівняння прямої, підставляємо m = 2/3 і\((x_{0}, y_{0}) = (−1, −1)\) в точково-похилу форму прямої.

\[y − y0 = m(x − x0) \\ y − (−1) = \frac{2}{ 3} (x − (−1))\\ y + 1 = \frac{2}{ 3} (x + 1)\]

Щоб помістити це у формі перехоплення нахилу y = mx + b, вирішіть для y.

\[y = \frac{2}{ 3} x + \frac{2}{ 3} − 1\\ y = \frac{2}{ 3} x + \frac{2}{ 3} − \frac{3}{ 3} \\ y = \frac{2}{ 3} x − \frac{1}{ 3}\]

Порівнюючи цей результат з y = mx + b, ми бачимо, що точною y-координатою yintercept є b = −1/3, що тісно узгоджується з наближенням −0.3, знайденим вище.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

м = -2/3 і\((x_{0}, y_{0}) = (1, −1)\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

м = -3/4 а\((x_{0}, y_{0}) = (−2, 3)\)

Відповідь

Побудуйте точку Р (−2, 3). Щоб провести лінію через Р з ухилом m = −3/4, почніть з точки Р, потім рухайте вниз на 3 одиниці і вправо на 4 одиниці до точки Q (2, 0). Лінія через точки Р і Q є необхідною лінією.

З наведеного вище графіка ми оцінили б y-перехоплення як (0, 1.5). Щоб знайти рівняння прямої, підставити m = −3/4 і\((x_{0}, y_{0}) = (−2, 3)\) в точку-нахил форми прямої.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − 3 = −\frac{3}{ 4} (x − (−2)) \\ y − 3 = −\frac{3}{ 4} (x + 2)\]

Щоб помістити це у формі перехоплення нахилу y = mx + b, вирішіть для y.

\[y = −\frac{3}{ 4} x − \frac{3}{ 2} + 3 \\ y = −\frac{3}{ 4} x − \frac{3}{ 2} + \frac{6}{ 2} \\ y = −\frac{3}{ 4} x + \frac{3}{ 2} \]

Порівнюючи цей результат з y = mx + b, ми бачимо, що точна y-координата y-перехоплення дорівнює b = 3/2, що знаходиться в тісній відповідності з наближенням 1.5, знайденим вище.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

м = 2/5 і\((x_{0}, y_{0}) = (−3, -2)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть рівняння прямої в ухилі-перехопленому вигляді, яка проходить через точку (1, 3) і має ухил 1.

Відповідь

Замініть 1 для m\(x_{1}\), 1 for та 3 for\(y_{1}\) у точково-схильну форму,\(y − y_{1} = m(x − x_{1})\) щоб отримати y − 3 = 1 (x − 1). Щоб помістити це у формі перехоплення нахилу y = mx + b, вирішіть для y.\[y = x − 1 + 3 \\ y = x + 2\]

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Знайдіть рівняння прямої в ухилі-перехопленому вигляді, яка проходить через точку (0, 2) і має ухил 1/4.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Знайти рівняння прямої у формі ухил-перехоплення, яка проходить через точку (1, 9) і має нахил −2/3.

Відповідь

Замініть −2/3 для m, 1 для x1 та 9 для y1 у форму точкового нахилу\(y − y_{1} = m(x − x_{1})\)

отримати\[y − 9 = −\frac{2}{3} (x − 1)\].

Щоб помістити це у формі перехоплення нахилу y = mx + b, вирішіть для y.

\[y = −\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} + 9 \\ y = −\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} + \frac{27}{3} \\ y = −\frac{2}{3} x + \frac{29}{3}\]

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Знайти рівняння прямої у формі ухил-перехоплення, яка проходить через точку (1, 9) і має нахил −3/4.

У Вправи\(\PageIndex{9}\) -\(\PageIndex{12}\) виконуйте кожне з наступних завдань.

i) Налаштуйте систему координат на аркуші графічного паперу та проведіть лінію через дві задані точки.

II. Використовуйте форму точка-нахил для визначення рівняння прямої.

ііі. Помістіть рівняння рядка в стандартному вигляді Ax+By = C, де A, B і C - цілі числа, а A > 0. Позначте рядок у вашому сюжеті з цим результатом.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

(−2, −1) і (3, 2)

Відповідь

Побудуйте точки P (−2, −1) і Q (3, 2) і проведіть через них лінію.

Обчисліть ухил лінії через точки Р і Q.

\[m = \dfrac{\delta y }{\delta x} = \dfrac{2 − (−1)}{ 3 − (−2)} = \dfrac{3}{5}\]

Підставляємо m = 3/5 і\((x_{0}, y_{0}) = (−2, −1)\) в точково-ухил форму лінії

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − (−1) = \dfrac{3}{5} (x − (−2)) \\ y + 1 =\dfrac{3}{5} (x + 2)\]

Помістіть цей результат у стандартну форму. Спочатку очистіть дроби, помноживши на 5.

\[y + 1 = \dfrac{3}{5} x + \dfrac{6}{5} \\ 5y + 5 = 3x + 6 \\ 3x − 5y = −1\]

Отже, стандартною формою лінії є 3x − 5y = −1.

Вправа\(\PageIndex{10}\)

(−1, 4) і (2, −3)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

(−2, 3) і (4, −3)

Відповідь

Побудуйте точки P (−2, 3) і Q (4, −3) і проведіть через них лінію.

Обчисліть ухил лінії через точки Р і Q.

\[m = \dfrac{\delta y}{\delta x} = \dfrac{−3 − 3}{4 − (−2)}= \dfrac{−6}{ 6} = −1\]

Заставте m = −1 і\((x_{0}, y_{0}) = (−2, 3)\) в точку-нахил форми лінії.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − 3 = −1(x − (−2)) \\ y − 3 = −1(x + 2) \]

Помістіть цей результат у стандартну форму.

\[y − 3 = −x − 2 \\ x + y = 1 \]

Значить, стандартна форма лінії x + y = 1.

Вправа\(\PageIndex{12}\)

(−4, 4) і (2, −4)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Знайти рівняння прямої в ухило-перехопленому вигляді, що проходить через точки (−5, 5) і (6, 8).

Відповідь

Замістіть 5 для\(y_{1}\), 8 для\(y_{2}\), −5 для та 6 для\(x_{2}\) формули нахилу\(x_{1}\), щоб знайти нахил m:

\[m = \dfrac{y_{1} − y_{2}}{x_{1} − x_{2} }= \dfrac{5 − 8}{−5 − 6} = \dfrac{3}{11}\]

Тепер\(\dfrac{3}{11}\) замініть m, −5 для x1 та 5 для y1 у форму точки-нахилу

\[y − y_{1} = m(x − x_{1})\]

а потім вирішити для y, щоб отримати рівняння

\[y = \dfrac{3}{ 11} x + \dfrac{70}{ 11}\]

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Знайти рівняння прямої у формі нахилу-перехоплення, що проходить через точки (6, −6) та (9, −7).

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Знайти рівняння прямої у формі нахилу-перехоплення, що проходить через точки (−4, 6) та (2, −4).

Відповідь

Замініть 6 для\(y_{1}\), −4 для\(y_{2}\), −4\(x_{1}\) for та 2 для\(x_{2}\) формули нахилу, щоб знайти нахил m:

\[m = \dfrac{ y_{1} − y_{2}}{ x_{1} − x_{2} }= \dfrac{6 − (−4) }{−4 − 2} = \dfrac{−5}{ 3}\]

Тепер\(\dfrac{−5}{ 3}\) замініть m, −4 для x1 та 6 на\(y_{1}\) форму точки-нахилу

\[y − y_{1} = m(x − x_{1})\]

а потім вирішити для y, щоб отримати рівняння

\[y = \dfrac{−5}{3} x − \dfrac{2}{ 3}\]

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Знайти рівняння прямої в ухило-перехопленому вигляді, що проходить через точки (−1, 5) і (4, 4).

У Вправи\(\PageIndex{17}\) -\(\PageIndex{20}\) виконуйте кожне з наступних завдань.

i. намалюйте графік заданого лінійного рівняння на графічному папері і позначте його рівнянням.

II. Визначте нахил даного рівняння, потім за допомогою цього нахилу проведіть другу лінію через задану точку Р, яка паралельна першій лінії.

ііі. Оцініть y-перехоплення другого рядка з вашого графіка.

IV. Використовуйте форму точка-нахил для визначення рівняння другої лінії. Помістіть цей результат у формі перехоплення нахилу y = mx + b, потім вкажіть точне значення перехоплення y. Позначте другий рядок формою ухил-перехоплення його рівняння.

Вправа\(\PageIndex{17}\)

2х+ 3у = 6, Р = (−2, −3)

Відповідь

Покладіть точки Q (0, 2) і R (3, 0) і проведіть через них лінію, як показано в (а) нижче. Можна обчислити нахил цієї лінії з графіка, а можна скористатися формулою нахилу наступним чином.

\[m = \dfrac{\delta y}{\delta x} = \dfrac{0 − 2 }{3 − 0} = −\dfrac{2}{ 3}\]

Друга лінія повинна бути паралельна першій, тому вона повинна мати однаковий ухил; а саме m = −2/3. Друга лінія повинна проходити через точку Р (−2, −3), тому намалюйте точку П. Щоб отримати правильний нахил, почніть з точки Р, потім перемістіть 3 одиниці вправо і 2 одиниці вниз, як показано в (b). Здавалося б, ця лінія перетинає вісь y поблизу (0, −4.3).

Щоб знайти рівняння другої прямої, скористайтеся точковим нахилом форми прямої і m = −2/3 і\((x_{0}, y_{0}) = (−2, −3)\), наступним чином.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − (−3) = −\dfrac{2}{ 3} (x − (−2)) \\ y + 3 = −\dfrac{2}{ 3}(x + 2)\]

Щоб розмістити це у формі перехоплення нахилу y = mx + b, ми повинні вирішити для y.

\[y + 3 = −\dfrac{2}{ 3}x − \dfrac{4}{ 3} \\ y = −\dfrac{2}{ 3} x − \dfrac{4}{ 3} − 3 \\ y = −\dfrac{2}{ 3} x − \dfrac{4}{ 3} −\dfrac{9}{ 3}\\ y = −\dfrac{2}{ 3} x − \dfrac{13}{ 3}\]

Отже, рівняння у формі перехоплення нахилу є y = (−2/3) x − 13/3, що робить точну y-координату перехоплення b = −13/3, яка знаходиться в досить тісній відповідності (перевірте на вашому калькуляторі) з нашою оцінкою −4.3.

Вправа\(\PageIndex{18}\)

3х − 4й = 12, Р = (−3, 4)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

х + 2у = −4, Р = (3, 3)

Відповідь

Покладіть точки Q (−4, 0) та R (0, −2) і проведіть через них лінію, як показано у пункті (a) нижче. Можна обчислити нахил цієї лінії з графіка, а можна скористатися формулою нахилу наступним чином.

\[m = \dfrac{\delta y}{\delta x} = \dfrac{−2 − 0 }{0 − (−4)} = −\dfrac{1}{2}\]

Друга лінія повинна бути паралельна першій, тому вона повинна мати однаковий ухил; а саме m = −1/2. Друга лінія повинна проходити через точку Р (3, 3), тому відкладіть точку П. Щоб отримати правильний нахил, почніть в точці Р, потім перемістіть 1 одиницю вниз і 2 одиниці вправо, як показано в (б). Здавалося б, ця лінія перетинає вісь y поблизу (0, 4.5).

Щоб знайти рівняння другої прямої, скористайтеся точковим нахилом форми прямої і m = −1/2 і\((x_{0}, y_{0}) = (3, 3)\), наступним чином.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − 3 = −\dfrac{1}{ 2} (x − 3) \]

Щоб розмістити це у формі перехоплення нахилу y = mx + b, ми повинні вирішити для y.

\[− 3 = −\dfrac{1}{ 2} x + \dfrac{3}{ 2} \\ y = −\dfrac{1}{ 2} x + \dfrac{3}{ 2} + 3 \\ y = −\dfrac{1}{ 2} x + \dfrac{3}{ 2} + \dfrac{6}{ 2} \\ y = −\dfrac{1}{ 2} x + \dfrac{9}{ 2}\]

Отже, рівняння у формі перехоплення нахилу є y = (−1/2) x + 9/2, що робить точну y-координату перехоплення b = 9/2, яка знаходиться в досить тісній відповідності (перевірте на вашому калькуляторі) з нашою оцінкою 4.5.

Вправа\(\PageIndex{20}\)

5х+ 2у = 10, Р = (−3, −5)

У Вправи\(\PageIndex{21}\) -\(\PageIndex{24}\) виконуйте кожне з наступних завдань.

i. намалюйте графік заданого лінійного рівняння на графічному папері і позначте його рівнянням.

II. Визначте нахил даного рівняння, потім за допомогою цього нахилу проведіть другу лінію через задану точку Р, яка є перпендикулярною перпендикулярній першій лінії.

ііі. Використовуйте форму точка-нахил для визначення рівняння другої лінії. Помістіть цей результат у стандартному вигляді Ax+By = C, де A, B, C - цілі числа, а A > 0. Позначте другий рядок цією стандартною формою його рівняння.

Вправа\(\PageIndex{21}\)

x − 2y = −2, Р = (3, −4)

Відповідь

Нехай x = 0 у x − 2y = −2. Потім −2y = −2 і y = 1. Цей розрахунок дає нам y-перехоплення R (0, 1). Нехай y = 0 у x − 2y = −2 і x = −2. Це дає нам перехоплення X Q (−2, 0). Покладіть точки Q (−2, 0) та R (0, 1) і проведіть через них лінію, як у (a) нижче.

Ви можете обчислити нахил першої лінії з графіка або отримати його за формулою нахилу наступним чином.

\[m1 = \dfrac{\delta y}{\delta x} = \dfrac{1 − 0}{ 0 − (−2)} = \dfrac{1}{ 2}\]

Друга лінія перпендикулярна цій першій лінії, тому нахил другої лінії повинен бути негативним зворотним нахилу першої лінії; тобто нахил другої лінії повинен бути\(m = −1/m_{2} = −1/(1/2)\), або m = −2. Щоб провести лінію через точку Р (3, −4), яка перпендикулярна лінії в (a), спочатку нанесіть точку Р (3, −4), потім перемістіть вгору на 2 одиниці і вліво на 1 одиницю, як показано в (b). Це дає нам лінію через P (3, −4) з нахилом m = −2, тому ця лінія буде перпендикулярною перпендикулярній першій лінії. Щоб знайти рівняння перпендикулярної прямої, підставляємо m = −2 і\((x_{0}, y_{0}) = (3, −4)\) в формулу точка-нахил, потім поміщаємо отримане рівняння в стандартному вигляді.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − (−4) = −2(x − 3) \\ y + 4 = −2x + 6 \\ 2x + y = 2 \]

Таким чином, рівняння прямої, яка проходить через P (3, −4) і перпендикулярна прямій x − 2y = −2, дорівнює 2x + y = 2.

Вправа\(\PageIndex{22}\)

3х+ у = 3, Р = (−3, −4)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

x − 2y = 4, Р = (−3, 3)

Відповідь

Встановіть x = 0 у x − 2y = 4, щоб отримати −2y = 4. Отже, y = −2, а перехоплення y дорівнює Q (0, −2). Встановіть y = 0 в x − 2y = 4, щоб отримати x = 4. Отже, перехоплення х - R (4, 0). Покладіть Q (0, −2) та R (4, 0) і проведіть через них лінію, як у (a) нижче.

Ви можете обчислити нахил першої лінії з графіка або отримати його за формулою нахилу наступним чином.

\[m_{1} = \dfrac{\delta y}{\delta x} = \dfrac{0 − (−2)}{ 4 − 0 }= \dfrac{1}{2}\]

Друга лінія перпендикулярна цій першій лінії, тому нахил другої лінії повинен бути негативним зворотним нахилу першої лінії; тобто нахил другої лінії повинен бути m = −1/m2 = −1/ (1/2), або m = −2. Щоб провести лінію через точку Р (−3, 3), яка перпендикулярна лінії в (a), спочатку нанесіть точку Р (−3, 3), потім перемістіть вниз на 2 одиниці і вправо на 1 одиницю, як показано в (b). Це дає нам лінію через P (−3, 3) з нахилом m = −2, тому ця лінія буде перпендикулярною перпендикулярній першій лінії. Щоб знайти рівняння перпендикулярної прямої, підставляємо m = −2 і\((x_{0}, y_{0}) = (−3, 3)\) в формулу точка-нахил, потім поміщаємо отримане рівняння в стандартному вигляді.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − 3 = −2(x − (−3)) \\ y − 3 = −2(x + 3) \\ y − 3 = −2x − 6 \\ 2x + y = −3\]

Таким чином, рівняння прямої, яка проходить через P (−3, 3) і перпендикулярна прямій x − 2y = 4, дорівнює 2x + y = −3.

Вправа\(\PageIndex{24}\)

x − 4y = 4, Р = (−3, 4)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Знайти рівняння прямої у формі ухил-перехоплення, яка проходить через точку (7, 8) і паралельна прямій x − 5y = 4.

Відповідь

Спочатку розв'яжіть x − 5y = 4 для y, щоб отримати\(y = \dfrac{1 }{5} x − \dfrac{4}{5} \) нахил цього рядка дорівнює\(\dfrac{1}{5}\). Тому кожна паралельна лінія також має нахил\(\dfrac{1}{5}\).

Тепер, щоб знайти рівняння паралельної прямої, що проходить через точку (7, 8),\(\dfrac{1}{5}\) підставляємо m, 7 for\(x_{1}\), а 8 for\(y_{1}\) в точково-ухильну форму

\[y − y_{1} = m(x − x_{1})\]для отримання

\[y − 8 = \dfrac{1}{5}(x − 7)\]. Тоді вирішуйте для y:

\[y = \dfrac{1}{5} x − \dfrac{7}{5} + 8 \\ y = \dfrac{1}{5}x − \dfrac{7}{5} +\dfrac{40}{5} y = \dfrac{1}{5} x + \dfrac{33}{5}\]

Вправа\(\PageIndex{26}\)

Знайти рівняння прямої у формі ухил-перехоплення, яка проходить через точку (3, −7) і перпендикулярна до прямої 7x − 2y = −8.

Вправа\(\PageIndex{27}\)

Знайти рівняння прямої у формі ухил-перехоплення, яка проходить через точку (1, −2) і перпендикулярна прямій −7x + 5y = 4.

Відповідь

Спочатку розв'яжіть −7x + 5y = 4 для y, щоб отримати

\[y = \dfrac{7}{5} x + 4 5\]

Нахил цієї лінії дорівнює\ dfrac {7} {5}. Отже, кожна перпендикулярна лінія має нахил −\(\dfrac{7}{5}\) (негативний зворотний від\(\dfrac{7}{5}\). Тепер, щоб знайти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку (1, −2), підставити −\ dfrac {5} {7} для m\(x_{1}\), 1 for та −2 for\(y_{1}\) у форму точки-нахилу

\[y − y1 = m(x − x1)\]отримати\[y − (−2) = −\dfrac{5}{7} (x − 1)\]. Тоді вирішуйте для y:

\[y = −\dfrac{5}{7}x +\dfrac{5}{7} − 2 \\ y = −\dfrac{5}{7} x + \dfrac{5}{7} − \dfrac{14}{7} \\ y = −\dfrac{5}{7} x − \dfrac{9}{7}\]

Вправа\(\PageIndex{28}\)

Знайти рівняння прямої у вигляді ухил-перехоплення, яка проходить через точку (4, −9) і паралельна прямій 9x+ 3y = 5.

Вправа\(\PageIndex{29}\)

Знайти рівняння прямої у формі ухил-перехоплення, яка проходить через точку (2, −9) і перпендикулярна прямій −8x + 3y = 1.

Відповідь

Спочатку розв'яжіть −8x + 3y = 1 для y, щоб отримати\[y = \dfrac{8}{3} x + \dfrac{1}{3} \]

Ухил цієї лінії є\(\dfrac{8}{3}\). Тому кожна перпендикулярна лінія має нахил\(−\dfrac{3}{8}\) (негативний зворотний\(\dfrac{8}{3}\)). Тепер, щоб знайти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку (2, −9),\(−\dfrac{3}{8}\) замініть m\(x_{1}\), 2 for та −9 для\(y_{1}\) у форму точки-нахилу\[y − y1 = m(x − x1)\]

для отримання\[y − (−9) = −\dfrac{3}{8} (x − 2)\]

Тоді вирішуйте для y:

\[y = −\dfrac{3}{8} x + \dfrac{3}{4} − 9 \\ y = −\dfrac{3}{8} x + \dfrac{3}{4}− \dfrac{36}{4} \\ y = −\dfrac{3}{8} x − \dfrac{33}{4}\]

Вправа\(\PageIndex{30}\)

Знайти рівняння прямої у вигляді ухил-перехоплення, яка проходить через точку (−7, −7) і паралельна прямій 8x+ y = 2.

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Вправа\(\PageIndex{31}\)

Куля кидається вертикально вгору на далеку планету. Через 1 секунду його швидкість становить 100 метрів в секунду. Через 5 секунд швидкість становить 50 метрів в секунду. Припустимо, що швидкість v кулі є лінійною функцією часу t.

а) На графічному папері намалюйте графік швидкості v проти часу t Припустимо, що швидкість є залежною змінною і розмістіть її на вертикальній осі.

б) Визначте нахил лінії, включаючи її одиниці, після чого дайте реальне пояснення значення цього ухилу.

в) Визначити рівняння, яке моделює швидкість v кулі як функцію часу t.

г) Визначте час, який потрібно м'ячу, щоб досягти максимальної висоти.

Відповідь

а) На 1 секунду швидкість становить 100 метрів в секунду. Це точка (1, 100) в сюжеті нижче. На 5 секундах швидкість становить 50 метрів в секунду. Це точка (5, 50) в сюжеті нижче.

б) Ми збережемо одиниці в нашому розрахунку нахилу, щоб забезпечити реальне значення ставки.

\[m = \dfrac{\delta v}{\delta t} = \dfrac{50 m/s − 100 m/s}{ 5 s − 1 s} = −12.5 (m/s)/s.\]

Тобто нахил є\(−12.5 m/s^2\). Це прискорення, швидкість, з якою швидкість змінюється по відношенню до часу. З кожною секундою швидкість знижується на 12,5 метрів в секунду.

в) Використовуємо точково-похилу форму лінії, а саме

\[y − y_{0} = m(x − x_{0})\]

Однак v і t займають місце y і x відповідно, тому рівняння стає\[v − v_{0} = m(t − t_{0})\], Тепер підставляємо нахил m = −12,5 і точку\((t_{0}, v_{0}) = (1, 100)\) для отримання\[v − 100 = −12.5(t − 1)\]. Вирішити це для v, отримання\[v − 100 = −12.5t + 12.5 \\ v = −12.5t + 112.5\]. Рівнозначно, ми могли б використовувати позначення функцій і писати\[v(t) = −12.5t + 112.5\].

г) Коли м'яч досягне максимальної висоти, його швидкість буде дорівнює нулю. Отже, щоб знайти час цієї події, ми повинні вирішити v (t) = 0. Замініть v (t) на −12.5t + 112.5 і розв'яжіть для t\[−12.5t + 112.5 = 0 \\ −12.5t = −112.5 \\ t = 9\]. Отже, потрібно 9 секунд, щоб м'яч досяг максимальної висоти.

Вправа\(\PageIndex{32}\)

Куля кидається вертикально вгору на далеку планету. Через 2 секунди його швидкість становить 320 футів в секунду. Через 8 секунд швидкість становить 200 футів в секунду. Припустимо, що швидкість v кулі є лінійною функцією часу t.

а) На графічному папері намалюйте графік швидкості v проти часу t Припустимо, що швидкість є залежною змінною і розмістіть її на вертикальній осі.

б) Визначте нахил лінії, включаючи її одиниці, після чого дайте реальне пояснення значення цього ухилу.

в) Визначити рівняння, яке моделює швидкість v кулі як функцію часу t.

г) Визначте час, який потрібно м'ячу, щоб досягти максимальної висоти.

Вправа\(\PageIndex{33}\)

Автомобіль їде вниз по автобану і водій застосовує свої гальма. Через 2 секунди швидкість автомобіля становить 60 км/год, через 4 секунди швидкість автомобіля становить 50 км/год.

а) На графічному папері намалюйте графік швидкості v проти часу t Припустимо, що швидкість є залежною змінною і розмістіть її на вертикальній осі.

б) Визначте нахил лінії, включаючи її одиниці, після чого дайте реальне пояснення значення цього ухилу.

в) Визначити рівняння, яке моделює швидкість v автомобіля як функцію часу t. d) Визначте час, який потрібен автомобілю для зупинки.

Відповідь

а) Через 2 секунди швидкість автомобіля дорівнює 60 км/ч Це точка (2, 60). Через 4 секунди швидкість автомобіля становить 50 км/ч Це точка (4, 50). Помістіть ці дві точки і проведіть через них лінію, як показано на графіку нижче.

б) Ми збережемо одиниці в нашому розрахунку нахилу, щоб забезпечити реальне значення ставки.

\[m = \dfrac{\delta v}{\delta t} = \dfrac{50 km/h − 60 km/h}{ 4 s − 2 s }= −5 (km/h)/s\]

Тобто нахил дорівнює −5 (км/ч) /с. це прискорення, швидкість, з якою швидкість змінюється по відношенню до часу. З кожною секундою швидкість знижується на 5 кілометрів на годину.

в) Використовуємо точку-нахил форми прямої, а саме\[y − y_{0} = m(x − x_{0})\], Однак v і t займають місце y і x відповідно, тому рівняння стає\[v − v_{0} = m(t − t_{0})\], Тепер підставляємо нахил m = −5 і точку\((t_{0}, v_{0}) = (2, 60)\) для отримання\[v − 60 = −5(t − 2)\]. Вирішити це для v, отримання\[v − 60 = −5t + 10 \\ v = −5t + 70\]. Рівнозначно, ми могли б використовувати позначення функцій і писати\[v(t) = −5t + 70\].

г) Щоб знайти час, який потрібен машині для зупинки, ми повинні визначити час t так\[v(t) = 0\]. Замініть v (t) на −5t + 70 і розв'яжіть для t.

\[−5t + 70 = 0\\ −5t = −70 \\ t = 14\]. Отже, це займає 14 секунд для того, щоб гальмувати до зупинки.

Вправа\(\PageIndex{34}\)

Автомобіль їде вниз автобан і його водій кроки на прискорювач. Через 2 секунди швидкість автомобіля становить 30 км/год, а через 4 секунди швидкість автомобіля становить 40 км/год.

а) На графічному папері намалюйте графік швидкості v проти часу t Припустимо, що швидкість є залежною змінною і розмістіть її на вертикальній осі.

б) Визначте нахил лінії, включаючи її одиниці, після чого дайте реальне пояснення значення цього ухилу.

в) Визначити рівняння, яке моделює швидкість v автомобіля як функцію часу t.

г) Визначити швидкість руху транспортного засобу через 8 секунд.

Вправа\(\PageIndex{35}\)

Припустимо, що попит d на ту чи іншу марку чайника є лінійною функцією його ціни за одиницю р Коли ціна одиниці зафіксована на рівні 30 доларів, попит на чайники дорівнює 100. Це означає, що громадськість купує 100 чайників. Якщо ціна одиниці зафіксована на рівні 50 доларів, то попит на чайники становить 60.

а) На графічному папері намалюйте графік попиту d проти ціни одиниці р Припустимо, що попит є залежною змінною і розмістіть його на вертикальній осі.

б) Визначте нахил лінії, включаючи її одиниці, після чого дайте реальне пояснення значення цього ухилу.

в) Визначити рівняння, яке моделює попит d на чайники як функцію ціни за одиницю р.

г) Обчислити попит, якщо ціна одиниці встановлена на рівні 40 доларів.

Відповідь

а) Коли ціна одиниці становить 30 доларів, попит становить 100 чайників. Це точка (30, 100). Коли ціна одиниці становить 50 доларів, попит становить 60 чайників. Це точка (50, 60). Намалюйте точки (30, 100) і (50, 60) і проведіть через них лінію, як показано на графіку нижче.

б) Ми збережемо одиниці в нашому розрахунку нахилу, щоб забезпечити реальне значення ставки.

\[m = \dfrac{\delta d}{\delta p} = \dfrac{60 teakettles − 100 teakettles}{ 50 dollars − 30 dollars } = −2 teakettles/dollar\]

Тобто ухил становить −2 чайники/долар. Це швидкість, з якою попит змінюється щодо ціни за одиницю. За кожне підвищення ціни одиниці в один долар попит знижується на 2 чайника (купується на 2 менше чайників).

в) Використовуємо точково-похилу форму прямої, а саме\[ y − y_{0} = m(x − x_{0})\], Однак d і p займають місце y і x відповідно, тому рівняння стає

\[d − d_{0} = m(p − p_{0})\]

Тепер підставляємо нахил m = −2 і точку, яку\((p_{0}, d_{0}) = (30, 100)\) потрібно отримати\[d − 100 = −2(p − 30)\]. Вирішити це для d, отримавши

\[d − 100 = −2p + 60 \\ d = −2p + 160\]

Аналогічно, ми могли б використовувати позначення функцій і записати d (p) = −2p + 160.

г) Для визначення попиту, якщо ціна одиниці становить 40 доларів, обчислити\[ d(40) = −2(40) + 160 = 80\]

Звідси попит на 80 чайників, якщо ціна за чайник встановлена на рівні 40 доларів.

Вправа\(\PageIndex{36}\)

Це ідеальна погода, що летить повітряних зміїв на узбережжі штату Орегон. Енні хапає її повітряного змія, піднімається на дах свого двоповерхового будинку, і починає грати з кайт-струни. Через 10 секунд повітряний змій Енні знаходиться на висоті 120 футів над землею. Через 20 секунд він знаходиться на висоті 220 футів над землею. Припустимо, що висота h повітряного змія над землею є лінійною функцією кількості часу t, який пройшов з тих пір, як Енні почала відтворювати струну повітряних зміїв.

а) На графічному папері накидайте графік висоти h повітряного змія над землею проти часу t. Припустимо, що висота є залежною змінною і розмістіть її на вертикальній осі.

б) Визначте нахил лінії, включаючи її одиниці, після чого дайте реальне пояснення значення цього ухилу.

в) Визначити рівняння, яке моделює висоту h повітряного змія як функцію часу t.

г) Визначте висоту повітряного змія через 20 секунд.

д) Визначте висоту даху другого поверху Енні над землею.

3.5 Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Наступний набір даних про поновлюваний споживчий кредит (борг) у Сполучених Штатах - від Google.com. Це в першу чергу складається з боргу кредитної картки, але також включає в себе інші споживчі неіпотечні кредити, як ті, які пропонують комерційні банки, кредитні спілки, Саллі Мей, і федеральний уряд.

Рік	років х після 2001	весь відновлюваний кредит C в мільярдах $
2001	0	721.0
2002	1	741.2
2003	2	759.3
2004	3	786.1
2005	4	805,4

а) Налаштуйте систему координат на графічному папері, розмістивши кредит C на вертикальній осі, а роки x після 2001 року на горизонтальній осі. Позначте та масштабуйте кожну вісь відповідним чином. Намалюйте те, що ви відчуваєте, є лінією найкраще підходить. Не забудьте намалювати всі лінії лінійкою.

б) Виберіть дві точки на вашій лінії найкраще підходять, які не з таблиці даних вище. Використовуйте ці дві точки, щоб визначити нахил лінії. Включіть одиниці з вашою відповіддю. Напишіть речення-два, що пояснюють реальне світове значення нахилу лінії найкращого прилягання.

в) Використовуйте одну з двох точок на лінії та нахилі, щоб визначити рівняння лінії найкращого прилягання у формі точки-нахилу. Використовуйте C і x для залежних і незалежних змінних відповідно. Вирішіть отримане рівняння для C і запишіть свій результат за допомогою позначення функції.

г) Використовуйте рівняння, розроблене в частині (c), для прогнозування відновлюваної кредитної заборгованості в 2008 році.

д) Якщо лінійний тренд, прогнозований лінією best fit, продовжиться, в якому році відновлюваний кредитний борг досягне 1,0 трлн доларів?

Відповідь

а) Масштабуйте та позначте осі, намалюйте точки, потім намалюйте лінію найкращого прилягання.

б) Виберіть дві точки, P (1.4, 750) та Q (2.8, 780), які є точками на лінії, але не точками у вихідній таблиці даних.

Використовуйте ці дві точки, щоб обчислити нахил лінії найкращого прилягання.

\[m = \dfrac{\delta C}{\delta x} = \dfrac{780 − 750}{ 2.8 − 1.4}\]мільярд доларів/рік

За допомогою калькулятора нахил становить приблизно 21,42 мільярда доларів на рік. Це означає, що кредитна заборгованість збільшується зі швидкістю 21,42 мільярда доларів на рік. в) Щоб знайти рівняння лінії, використовуйте точку Р (1,4, 750) і нахил m = 21,42 в точково-нахиленій формі лінії.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − 750 = 21.42(x − 1.4)\]

Замініть y і x на C і x відповідно, а потім вирішити для C в терміні x.

\[C − 750 = 21.42(x − 1.4) \\ C − 750 = 21.42x − 29.988 \\ C = 21.42x + 720.012\]

У позначенні функції C (x) = 21.42x + 720.012. Примітка: Відповіді будуть дещо відрізнятися через суб'єктивну природу малювання лінії найкращого прилягання та вибору точок на лінії.

г) 2008 рік дає х = 2008−2001 = 7 років з 2001 року. Отже, щоб знайти кредитну заборгованість в 2008 році, використовуємо C (x) = 21.42x + 720.012 і оцінюємо

\[C(7) = 21.42(7) + 720.012 = 869.952\]

Значить, кредитна заборгованість в 2008 році складе приблизно 869 мільярдів доларів.

д) Трильйон доларів - це 1000 мільярдів доларів. Отже, щоб знайти, коли кредитний борг становить 1000 мільярдів доларів, ми повинні вирішити C (x) = 1000 для х.

\[C(x) = 1000 \\ 21.42x + 720.012 = 1000 \\ 21.42x = 279.988 \\ x \approx 13.07\]Отже, кредитний борг досягне трильйона доларів приблизно через 13 років після 2001 року, або трохи в 2014 році.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Наступний набір даних про невідновлюваний кредит (борг) у Сполучених Штатах - від Google.com. Найбільшою складовою невідновлювального кредиту є автомобільні кредити, але він також включає в себе студентські кредити та інші визначені строкові споживчі кредити.

Рік	років х після 2001	Необоротний борг D в мільярдах $
2001	0	1121.3
2002	1	1184.1
2003	2	1247.3
2004	3	1305.0
2005	4	1342.3

а) Налаштуйте систему координат на графічному папері, розмістивши невідновлюваний кредитний борг D на вертикальній осі, а роки x після 2001 року на горизонтальній осі. Позначте та масштабуйте кожну вісь відповідним чином. Намалюйте те, що ви відчуваєте, є лінією найкраще підходить. Не забудьте намалювати всі лінії лінійкою.

б) Виберіть дві точки на вашій лінії найкраще підходять, які не з таблиці даних вище. Використовуйте ці дві точки, щоб визначити нахил лінії. Включіть одиниці з вашою відповіддю. Напишіть речення-два, що пояснюють реальне світове значення нахилу лінії найкращого прилягання.

в) Використовуйте одну з двох точок на лінії та нахилі, щоб визначити рівняння лінії найкращого прилягання у формі точки нахилу. Використовуйте D і x для залежних і незалежних змінних відповідно. Вирішіть отримане рівняння для D і запишіть свій результат за допомогою позначення функції.

г) Використовуйте рівняння, розроблене в частині (c), для прогнозування невідновлюваної кредитної заборгованості в 2008. е) Якщо лінійна тенденція, передбачена лінією best fit, продовжиться, в якому році невідновлюваний кредитний борг досягне 2,0 трлн доларів?

Вправа\(\PageIndex{3}\)

За даними Бюро транспорту США (www.bts.gov), роздрібні продажі нових автомобілів щороку скорочувалися з 2000 по 2004 рік, як показано в наступній таблиці.

Рік	років х після 2000	Продажі S в тисячах
2001	0	8847
2002	1	8423
2003	2	8103
2004	3	7610
2005	4	7506

а) Налаштуйте систему координат на графічному папері, розмістивши продажі S на вертикальній осі, а роки x після 2000 - на горизонтальній осі. Позначте та масштабуйте кожну вісь відповідним чином. Намалюйте те, що ви відчуваєте, є лінією найкраще підходить. Не забудьте намалювати всі лінії лінійкою.

б) Виберіть дві точки на вашій лінії найкраще підходять, які не з таблиці даних вище. Використовуйте ці дві точки, щоб визначити нахил лінії. Включіть одиниці з вашою відповіддю. Напишіть речення-два, що пояснюють реальне світове значення нахилу лінії найкращого прилягання.

в) Використовуйте одну з двох точок на лінії та нахилі, щоб визначити рівняння лінії найкращого прилягання у формі точки-нахилу. Використовуйте S і x для залежних і незалежних змінних відповідно. Вирішіть отримане рівняння для S і запишіть свій результат за допомогою позначення функції.

г) Використовуйте рівняння, розроблене в частині (c), для прогнозування продажів у 2006 році.

д) Якщо лінійний тренд, прогнозований лінією best fit, продовжиться, коли продажі впадуть до 7 мільйонів автомобілів на рік?

Відповідь

а) Масштабуйте та позначте осі, намалюйте точки, потім намалюйте лінію найкращого прилягання.

б) Виберіть дві точки, P (1.4, 8300) та Q (4,0, 7400), які є точками на лінії, але не точками у вихідній таблиці даних.

Використовуйте ці дві точки, щоб обчислити нахил лінії найкращого прилягання.

\[m = \dfrac{\delta C }{\delta x} = \dfrac{8300 − 7400 }{4.0 − 1.4}\]тис. Автомобів/рік За допомогою калькулятора нахил становить приблизно −346,15 тис. Автомобілів на рік. Це означає, що продажі нових автомобілів знижуються приблизними темпами в 346 тисяч автомобілів на рік.

в) Щоб знайти рівняння прямої, використовуйте точку Р (1,4, 8300) і ухил m = −346,15 в точково-ухил формі лінії.

\[y − y_{0} = m(x − x_{0}) \\ y − 8300 = −346.15(x − 1.4)\]

Замініть y і x на S і x відповідно, а потім вирішити для S в терміні x.

\[S − 8300 = −346.15(x − 1.4) \\ S − 8300 = −346.15x + 484.61 \\ S = −346.15x + 8784.61\]

У позначеннях функції S (x) = −346.15x + 8784,61. Примітка: Відповіді будуть дещо відрізнятися через суб'єктивну природу малювання лінії найкращого прилягання та вибору точок на лінії.

г) Щоб визначити обсяг продажів у 2006 році, оцініть S (x) = −346,15x+8784,61 при x = 2006− 2000 = 6.

\[S(6) = −346.15(6) + 8784.61 = 6707.71\]

Таким чином, продажі складуть приблизно 6 707 710 нових автомобілів.

д) Щоб визначити, коли продажі нових автомобілів впадуть до 7 мільйонів, ми повинні вирішити

\[S(x) = 7000. −346.15x + 8784.61 = 7000 \\ −346.15x = −1784.61 \\ x \approx 5.16\]

Значить, продажі досягнуть 7 мільйонів автомобілів десь в 2005-2006 році.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Наступна таблиця показує загальну чисельність населення світу в середині року за даними Бюро перепису населення США (www.census.gov) за останні роки.

Рік	років х після 2000	Населення P в мільярдах
2000	0	6.08
2001	1	6.16
2002	2	6.23
2003	3	6.30
2004	4	6.38
2005	5	6.45
2006	6	6.53

а) Налаштуйте систему координат на графічному папері, розмістивши сукупність P на вертикальній осі, а роки x після 2000 - на горизонтальній осі. Позначте та масштабуйте кожну вісь відповідним чином. Намалюйте те, що ви відчуваєте, є лінією найкраще підходить. Не забудьте намалювати всі лінії лінійкою.

б) Виберіть дві точки на вашій лінії найкраще підходять, які не з таблиці даних вище. Використовуйте ці дві точки, щоб визначити нахил лінії. Включіть одиниці з вашою відповіддю. Напишіть речення-два, що пояснюють реальне світове значення нахилу лінії найкращого прилягання.

в) Використовуйте одну з двох точок на лінії та нахилі, щоб визначити рівняння лінії найкращого прилягання у формі точки-нахилу. Використовуйте P і x для залежних і незалежних змінних відповідно. Вирішіть отримане рівняння для P і запишіть свій результат за допомогою позначення функції.

г) Використовуйте рівняння, розроблене частково (c), для прогнозування чисельності населення в 2010 році.

д) Якщо лінійна тенденція, передбачена лінією найкращого прилягання, продовжиться, коли населення світу досягне 7 мільярдів?

Вправа\(\PageIndex{5}\)

У наступній таблиці наведено уривок з даних Бюро перепису населення США за 2005 рік (www.census.gov) про щорічні продажі нових будинків у Сполучених Штатах.

Діапазон цін (тис. $)	Кількість проданих (тис.)
150 − 199	246
200 − 249	200
250 − 299	152

Ми не можемо використовувати діапазони цін як значення координат (ми повинні мати окремі значення), тому ми замінюємо кожен ціновий діапазон у таблиці єдиною ціною посередині діапазону - середнім значенням будинку в цьому діапазоні. Це дає нам наступну змінену таблицю:

Середня ціна P (тис. $)	Кількість проданих N (тисяч)
175	246
225	200
275	152

Тепер ми можемо побудувати дані на системі координат.

а) Введіть дані в свій калькулятор і зробіть графік розкиду. Скопіюйте його на свій папір, маркуючи відповідним чином.

б) Використовуйте калькулятор, щоб визначити лінію, яка найкраще підходить. Це називається лінійною функцією попиту, оскільки вона дозволяє прогнозувати попит на будинки з певною ціною. Запишіть його за допомогою позначення функції і округляйте до найближчої тисячної. Графік його на калькуляторі і скопіюйте його на свою систему координат.

в) Використовуйте функцію лінійного попиту для прогнозування річних продажів будинків за ціною 200 000 доларів. Спробуйте скористатися функцією ТАБЛИЦЯ на калькуляторі, щоб зробити це прогнозування.

Відповідь

a) Виберіть STAT, потім 1: Редагувати та введіть дані, як показано в (a). Виберіть 2nd STAT PLOT, а потім увімкніть Plot1, як показано в (b). Виберіть розсіювач, виберіть списки, які ви використовували для даних, потім маркер, як показано в (b). Нарешті, виберіть 9: ZoomStat з меню ZOOM, щоб створити графік у (c).

б) Натисніть кнопку STAT, стрілку праворуч до меню CALC, потім виберіть 4:LinReg (ax+b), а потім L1, кома, L2, кома і Y1 з меню VARS (виберіть Y-VARS потім 1:Функція підменю). Результат показаний в (а). Натисніть клавішу ENTER, щоб зробити розрахунок, показаний у пункті (b). Це лінійка найкраще підходить. Ця процедура також зберігає лінію найкращої посадки у Y1, тому натискання кнопки GRAPH створює лінію найкращого прилягання, показану у (c).

У пункті b) вище ми бачимо, що продане число N, як функція середньої ціни P задається лінійною функцією N (P) = −0,94P + 410,833.

в) Якщо все пройшло добре в частині (b), то ми можемо натиснути 2nd TBL SET і налаштувати параметри таблиці, як показано в (g). Переконайтеся, що для незалежної змінної встановлено значення ASK. Виберіть 2-у ТАБЛИЦЮ, а потім введіть 200 (що представляє середню ціну p = 200 000 доларів США), як показано в (h).

Так, N (200) = 222,83, тому приблизно 222,83 тисячі або 222 830 будинків продаються за середньою ціною 200 000 доларів.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

У наступній таблиці наведені дані Національної асоціації домобудівників (www.nahb.org) із зазначенням медіанної ціни нових будинків у Сполучених Штатах.

Рік	Медіана ціна (тис. $)
2000	169
2001	175
2002	188
2003	195
2004	221
2005	238

а) Введіть дані в свій калькулятор і зробіть графік розкиду. Скопіюйте його на свій папір, маркуючи відповідним чином.

б) Використовуйте калькулятор, щоб визначити лінію найкраще підходить, яка може бути використана для прогнозування медіанної ціни нових будинків у майбутніх роках. Запишіть його за допомогою позначення функції. Графік його на калькуляторі і скопіюйте його на свою систему координат.

в) Використовуйте функцію лінійного попиту для прогнозування медіанної ціни нового будинку в 2010 році. Спробуйте скористатися функцією ТАБЛИЦЯ на калькуляторі, щоб зробити це прогнозування.

г) Дивлячись на графік, чи вважаєте ви, що функція лінійного попиту добре моделює фактичні точки даних? Якщо ні, то чому б і ні? Що це означає про передбачення, яке ви зробили частково (c)?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Джим висить блоки різної маси на пружині в лабораторії фізики. Він зауважує, що пружина розтягнеться далі, якщо додасть більше маси до кінця весни. Він незабаром переконується, що відстань, на яку розтягнеться пружина, залежить від кількості прикріпленої до неї маси. Він вирішує зробити деякі виміри. Він записує кількість маси, прикріпленої до кінця пружини, а потім вимірює відстань, яку пружина розтягнула. Ось дані Джима.

Маса (грам)	Розтягнута відстань (см)
50	1.2
100	1.9
150	3.1
200	4.0
250	4.8
300	6.2

а) Введіть дані в свій калькулятор і зробіть графік розкиду. Скопіюйте його на свій папір, маркуючи відповідним чином.

б) Використовуйте свій калькулятор, щоб визначити лінію найкращого прилягання, яку можна використовувати для прогнозування відстані, на яку розтягується пружина. Запишіть його за допомогою позначення функції. Графік його на калькуляторі і скопіюйте його на свою систему координат.

в) Використовуйте функцію від частини (c), щоб передбачити відстань, на яку пружина розтягнеться, якщо до пружини прикріплено 175 грам. Спробуйте скористатися функцією ТАБЛИЦЯ на калькуляторі, щоб зробити це прогнозування.

Відповідь

a) Виберіть STAT, потім 1: Редагувати та введіть дані, як показано в (a). Виберіть 2nd STAT PLOT, а потім увімкніть Plot1, як показано в (b). Виберіть розсіювач, виберіть списки, які ви використовували для даних, потім маркер, як показано в (b). Нарешті, виберіть 9: ZoomStat з меню ZOOM, щоб створити графік у (c).

б) Натисніть кнопку STAT, стрілку праворуч до меню CALC, потім виберіть 4:LinReg (ax+b), а потім L1, кома, L2, кома і Y1 з меню VARS (виберіть Y-VARS потім 1:Функція підменю). Результат показаний в (а). Натисніть клавішу ENTER, щоб зробити розрахунок, показаний у пункті (b). Це лінійка найкраще підходить. Ця процедура також зберігає лінію найкращої посадки у Y1, тому натискання кнопки GRAPH створює лінію найкращого прилягання, показану у (c).

У (b) вище ми бачимо, що відстань розтягнутого d, як функція маси m задається лінійною функцією d (m) = 0,01977m + 0,07333.

в) Якщо все пройшло добре в частині (b), то ми можемо натиснути 2nd TBL SET і налаштувати параметри таблиці, як показано в (g). Переконайтеся, що для незалежної змінної встановлено значення ASK. Виберіть 2-у ТАБЛИЦЮ, а потім введіть 175 (що представляє масу 175 грам), як показано в (h).

Таким чином, d (175) = 3,5333, тому пружина розтягується приблизно на 3,53 сантиметра при додаванні маси в 175 грам.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Дейв і Мелоді є партнерами лабораторії в післяобідній хімічній лабораторії Тоні Сарторі. Професор Сарторі підготував експеримент, щоб допомогти їм виявити взаємозв'язок між температурними шкалами Цельсія та Фаренгейта. Експеримент складається з склянки, наповненої льодом, та двох термометрів, один відкалібрований за шкалою Фаренгейта, інший за шкалою Цельсія. Дейв і Мелоді використовують пальник Бунзена, щоб нагріти склянку, врешті-решт доводячи воду в склянці до температури кипіння. Кожні кілька хвилин вони роблять два показання температури, одне за Фаренгейтом, одне за Цельсієм. Дані, які вони фіксують під час лабораторного сеансу, слідують.

Цельсія	Фаренгейт
4.0	39
18	65
30	85
51	122
70	159
85	186
100	210

а) Введіть дані в свій калькулятор і зробіть графік розкиду. Скопіюйте його на свій папір, маркуючи відповідним чином.

б) Використовуйте свій калькулятор, щоб визначити лінію, яка найкраще підходить, яка може бути використана для прогнозування температури за Фаренгейтом як функція температури за Цельсієм. Запишіть його за допомогою позначення функції. Графік його на калькуляторі і скопіюйте його на свою систему координат.

в) Використовуйте функцію з частини (c) для прогнозування температури за Фаренгейтом, якщо температура за Цельсієм дорівнює 40. Спробуйте скористатися функцією ТАБЛИЦЯ на калькуляторі, щоб зробити це прогнозування.

г) Використовуйте функцію з частини (c) для прогнозування температури за Цельсієм, якщо температура Фаренгейта дорівнює 100.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

У наступній таблиці наведені дані про продажі будинків на узбережжі Мендочіно в 2005 році.

Діапазон цін (тис. $)	Кількість проданих (тис.)
200 − 299	14
300 − 399	55
400 − 499	62

Ми не можемо використовувати діапазони цін як значення координат (ми повинні мати окремі значення), тому ми замінюємо кожен ціновий діапазон у таблиці єдиною ціною посередині діапазону - середнім значенням будинку в цьому діапазоні. Це дає нам наступну змінену таблицю:

Середня ціна P (тис. $)	Кількість проданих N (тисяч)
250	14
350	55
450	62

Тепер ми можемо побудувати дані на системі координат.

а) Введіть дані в свій калькулятор і зробіть графік розкиду. Скопіюйте його на свій папір, маркуючи відповідним чином.

б) Використовуйте калькулятор, щоб визначити лінію, яка найкраще підходить. Запишіть його за допомогою позначення функції і округляйте до найближчої тисячної. Графік його на калькуляторі і скопіюйте його на свою систему координат.

в) Використовуйте лінійну функцію для прогнозування продажів для будинків у ціновому діапазоні $500 000− $599 000. Використовуйте середню ціну 550 000 доларів для цієї оцінки.

г) Фактична кількість проданих будинків у ціновому діапазоні $500 000 − $599 000 склала 41. Помістіть це як точку на вашій системі координат і порівняйте її з прогнозом вашої лінійної моделі функцій. Зверніть увагу, що це фактичне значення сильно відрізняється від прогнозу.

д) Що це означає, що лінійна модель не дуже хороша для даних для продажу будинку! Намалюйте просту криву, яка проходить через кожну з точок даних. Зверніть увагу, що вона не дуже нагадує форму лінії! Для моделювання цього прикладу потрібні більш складні функції, такі як квадратичні функції, які ми вивчаємо в наступному розділі. Мораль історії тут полягає в тому, що не кожен набір даних можна моделювати лінійно!

Відповідь

a) Виберіть STAT, потім 1: Редагувати та введіть дані, як показано в (a). Виберіть 2nd STAT PLOT, а потім увімкніть Plot1, як показано в (b). Виберіть розсіювач, виберіть списки, які ви використовували для даних, потім маркер, як показано в (b). Нарешті, виберіть 9: ZoomStat з меню ZOOM, щоб створити графік у (c).

б) Натисніть кнопку STAT, стрілку праворуч до меню CALC, потім виберіть 4:LinReg (ax+b), а потім L1, кома, L2, кома і Y1 з меню VARS (виберіть Y-VARS потім 1:Функція підменю). Результат показаний в (а). Натисніть клавішу ENTER, щоб зробити розрахунок, показаний у пункті (b). Це лінійка найкраще підходить. Ця процедура також зберігає лінію найкращої посадки у Y1, тому натискання кнопки GRAPH створює лінію найкращого прилягання, показану у (c).

У пункті b) вище ми бачимо, що продане число N, як функція середньої ціни P задається лінійною функцією N (P) = 0,24P − 40,33.

в) Якщо все пройшло добре в частині (b), то ми можемо натиснути 2nd TBL SET і налаштувати параметри таблиці, як показано в (g). Переконайтеся, що для незалежної змінної встановлено значення ASK. Виберіть 2-у ТАБЛИЦЮ, а потім введіть 550 (що представляє середню ціну P = 550 000 доларів США), як показано в (h).

Таким чином, N (550) = 91.667, тому приблизно 91,667 тис. Або 91 667 будинків продаються за середньою ціною 550 000$. d) Натисніть кнопку STAT, виберіть 1: Редагувати і додайте точку (550, 41) до таблиці, як показано в (i). Виберіть 9: ZoomStat в меню ZOOM, щоб створити зображення в (j). Зверніть увагу, що дані більше не відображають лінійний тренд, а щось більше нелінійного (пишного) характеру

д) У (k) ми намалювали плавну криву найкращого прилягання.

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Наступне з 14 липня 2006 року видання газети Being Today показує, як високі підбори впливають на м'яч стопи. У таблиці показано збільшення відсотків тиску на м'яч стопи при заданих висотах п'ят.

Висота каблука h (дюйми)	% підвищення тиску
1	22
2	57

а) Введіть дані в свій калькулятор і зробіть графік розкиду. Скопіюйте його на свій папір, маркуючи відповідним чином.

б) Зверніть увагу, що, оскільки у нас є рівно дві точки даних, лінія найкращого прилягання - це лінія, яка проходить через обидві точки. Щоб почати пошук рівняння, скористайтеся формулою нахилу для обчислення нахилу.

в) Використовуйте форму точки-нахилу, щоб знайти рівняння для прямої. Напишіть його у вигляді ухил-перехоплення.

г) Використовуйте лінійну функцію, щоб передбачити відсоток збільшення напруги для 3-дюймового каблука.

д) Фактичний відсоток підвищення тиску для 3-дюймового каблука становить 76%. Помістіть це як точку на вашій системі координат і порівняйте її з прогнозом вашої лінійної моделі функцій. Зверніть увагу, що це фактичне значення сильно відрізняється від прогнозу.

f) Це означає, що лінійна модель не дуже хороша для даних! Намалюйте просту криву, яка проходить через кожну з точок даних. Зверніть увагу, що вона не дуже нагадує форму лінії! Для моделювання цього прикладу потрібні більш складні функції. Не кожен набір даних повинен бути модельований лінійно!