10: Радикали

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.7: Раціональні рівняння та програми - відповіді на домашні вправи
- 10.1: Спрощення радикалів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цієї глави учень повинен вміти

Спрощення радикальних виразів
Раціоналізувати знаменники (мономіальні та біноміальні) радикальних виразів
Додавання, віднімання та множення радикальних виразів зі змінними та без них
Розв'язувати рівняння, що містять радикали та радикаль
Розв'язувати рівняння, що містять раціональні показники

Радикали - загальне поняття в алгебрі. Насправді ми думаємо про радикалів як про зворотне дію експоненти. Значить, замість «квадрата» числа ми беремо «квадратний корінь» число; замість «куба» числа беремо «кубичний корінь» число і так далі. Квадратні корені - найпоширеніший тип радикалу, який використовується в алгебрі.

Примітка

Радикальний знак, коли вперше використовувався, був R з лінією через хвіст,, схожий на наш символ медичного призначення. R походить від латинського «radix», що можна перекласти як «джерело» або «фундамент». Тільки в 1500-х роках наш поточний символ вперше був використаний в Німеччині, але навіть тоді це була просто галочка без бару над цифрами, √.

Визначення

Якщо $a$ є додатним дійсним числом, то основний квадратний корінь числа $a$ визначається як

$\sqrt{a}=b\text{ if and only if }a=b^2,\nonumber$ де

$b > 0$ . The

$\sqrt{\quad}$ є радикальним символом, і

$a$ називається радикандом.

Якщо дано щось подібне $\sqrt[3]{a}$ , то $3$ називається коренем або індексом; отже, $\sqrt[3]{a}$ називається кубічний корінь або третій корінь $a$ . Загалом,

$\sqrt[n]{a}=b\text{ if and only if }a = b^n\nonumber$ якщо

$n$ парний, то

$a$ і

$b$ повинен бути більше або дорівнює нулю. Якщо

$n$ непарне, то

$a$ і

$b$ може бути будь-яке дійсне число.

Приклад Template:index

Ось кілька прикладів квадратних коренів:

$\begin{array}{ll}\sqrt{1}=1 &\sqrt{121}=11 \\ \sqrt{4}=2 &\sqrt{625}=25 \\ \sqrt{9}=3& \sqrt{-81}=\text{ not a real number}\end{array}\nonumber$

Останній приклад, не $\sqrt{−81}$ є дійсним числом. Є майбутній розділ, в якому будуть розглянуті приклади на кшталт $\sqrt{-81}$ . Нагадаємо, якщо корінь парний, то радиканд повинен бути більше або дорівнює нулю і так як $−81 < 0$ , то немає дійсного числа, в якому ми можемо квадрат і призведе до $−81$ , т. Е $?^2 = −81$ . Отже, поки що, коли ми отримуємо радикані, який є негативним, а корінь парний, ми говоримо, що це число не є дійсним числом. Існує тип числа, де ми можемо оцінити ці числа, але тільки не реальні.

10.1: Спрощення радикалів
10.2: Додавання та віднімання радикалів
10.3: Множте та діліть радикали
10.4: Раціоналізувати знаменники
Коли дається частка з радикалами, звичайна практика залишати вираз без радикала в знаменнику. Після спрощення виразу, якщо в знаменнику є радикал, ми раціоналізуємо його так, щоб знаменник залишився без будь-яких радикалів. Ми починаємо з раціоналізації знаменників квадратними коренями, а потім поширюємо цю ідею на вищі коріння.
10.5: Радикали зі змішаними індексами
Знання того, що радикал має ті ж властивості, що і показники (написані як співвідношення), дозволяє нам маніпулювати радикалами по-новому. Одне, що нам дозволено зробити, це зменшити, не тільки радиканд, але і індекс.
10.6: Радикальні рівняння
10.7: Розв'язування з раціональними показниками
10.8: Комплексні числа
10.9: Радикали - відповіді на домашні вправи