10.3: Множте та діліть радикали
- Page ID
- 58401
Коли ми множимо радикали, ми згадуємо правило продукту для радикалів. Поки коріння кожного радикала в продукті однакові, ми можемо застосувати правило продукту, а потім спростити, як зазвичай. Спочатку ми зведемо радикали разом під одним радикалом, потім спростимо радикал, застосувавши правило продукту знову.
Якщо\(a\),\(b\) будь-які два позитивних дійсних числа, то\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\nonumber\]
Загалом, якщо\(a\),\(b\) будь-які два позитивних дійсних числа, то\[\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\nonumber\]
де\(n\) - натуральне число і\(n\geq 2\).
Спростити:\(-5\sqrt{14}\cdot 4\sqrt{6}\)
Рішення
Зверніть увагу, що обидва радикали є квадратними коренями, і тому ми можемо застосувати правило продукту. Перепишемо твір так, щоб коефіцієнти були з коефіцієнтами, а радикали - з радикалами:
\[\begin{array}{rl}-5\sqrt{14}\cdot 4\sqrt{6}&\text{Rewrite} \\ -5\cdot 4\cdot\sqrt{14}\cdot\sqrt{16}&\text{Apply the product rule} \\ -5\cdot 4\cdot\sqrt{14\cdot 6}&\text{Multiply} \\ -20\sqrt{84} &\text{Simplify }\sqrt{84} \\ -20\sqrt{4\cdot 21}&\text{Apply the product rule} \\ -20\cdot 2\sqrt{21}&\text{Multiply coefficients} \\ -40\sqrt{21}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Спростити:\(2\sqrt[3]{18}\cdot 6\sqrt[3]{15}\)
Рішення
Зверніть увагу, що обидва радикали є кубовими корінням, і тому ми можемо застосувати правило продукту. Перепишемо твір так, щоб коефіцієнти були з коефіцієнтами, а радикали - з радикалами:
\[\begin{array}{rl}2\sqrt[3]{18}\cdot 6\sqrt[3]{15}&\text{Rewrite} \\ 2\cdot 6\cdot\sqrt[3]{18}\cdot\sqrt[3]{15}&\text{Apply the product rule} \\ 2\cdot 6\cdot\sqrt[3]{18\cdot 15}&\text{Multiply} \\ 12\sqrt[3]{270}&\text{Simplify }\sqrt[3]{270} \\ 12\sqrt[3]{27\cdot 10}&\text{Apply the product rule} \\ 12\cdot 3\sqrt[3]{10}&\text{Multiply coefficients} \\ 36\sqrt[3]{10}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Помножте радикали за допомогою мономів
Тут ми починаємо множити радикали зі змінними. У цьому розділі ми припускаємо, що всі змінні будуть позитивними.
Спростити:\(\sqrt[5]{8x^2}\cdot\sqrt[5]{4x^3}\)
Рішення
Зверніть увагу, що обидва радикали є п'ятим корінням, і так, ми можемо застосувати правило продукту.
\[\begin{array}{rl}\sqrt[5]{8x^2}\cdot\sqrt[5]{4x^3}&\text{Apply the product rule} \\ \sqrt[5]{8x^2\cdot 4x^3}&\text{Multiply} \\ \sqrt[5]{32x^5}&\text{Simplify} \\ \sqrt[5]{2^5\cdot x^5}&\text{Apply the product rule} \\ 2x&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Спростити:\(\sqrt{60x^4}\cdot\sqrt{6x^7}\)
Рішення
Зверніть увагу, що обидва радикали є квадратними коренями, і тому ми можемо застосувати правило продукту.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{60x^4}\cdot \sqrt{6x^7}&\text{Apply the product rule} \\ \sqrt{60x^4\cdot 6x^7}&\text{Multiply} \\ \sqrt{360x^{11}}&\text{Simplify} \\ \sqrt{36\cdot 10\cdot x^4\cdot x}&\text{Apply the product rule} \\ 6\cdot x^2\cdot\sqrt{10\cdot x}&\text{Rewrite} \\ 6x^2\sqrt{10x}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Розподілити за допомогою радикалів
Коли перед дужками є фактор, ми розподіляємо цей термін для кожного всередині дужок. Цей метод застосовується до радикалів. Нагадаємо, методи ніколи не змінюються, просто проблеми. Візьмемо наступний приклад:
\[\begin{array}{cc}\color{blue}{2x}\color{black}{(}5y+3)&\color{blue}{2\sqrt{7}}\color{black}{(}5\sqrt{3}+3) \\ \color{blue}{2x}\color{black}{\:\cdot\;}5y+\color{blue}{2x}\color{black}{\:\cdot\:}3&\color{blue}{2\sqrt{7}}\color{black}{\:\cdot\:}5\sqrt{3}+\color{blue}{2\sqrt{7}}\color{black}{\:\cdot\:}3 \\ 10xy+6x&10\sqrt{21}+6\sqrt{7}\end{array}\nonumber\]
Зверніть увагу, ми розподіляємо в тому ж сенсі, як якщо б ми були в поліноміальній главі. Давайте розглянемо більше прикладів. Нагадаємо, ми припускаємо, що всі змінні позитивні.
Спростити:\(7\sqrt{6}(3\sqrt{10}-5\sqrt{15})\)
Рішення
\[\begin{array}{rl}7\sqrt{6}(3\sqrt{10}-5\sqrt{15})&\text{Distribute} \\ \color{blue}{7\sqrt{6}}\color{black}{\:\cdot\:}3\sqrt{10}-\color{blue}{7\sqrt{6}}\color{black}{\:\cdot\:}5\sqrt{15}&\text{Apply the product rule} \\ 21\sqrt{60}-35\sqrt{90}&\text{Simplify each term as usual} \\ 21\sqrt{4\cdot 15}-35\sqrt{9\cdot 10}&\text{Apply the product rule} \\ 21\cdot 2\sqrt{15} - 35\cdot 3\sqrt{10}&\text{Multiply coefficients} \\ 42\sqrt{15}-105\sqrt{10}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Зверніть увагу, якби остаточний вираз мав подібні радикали, то ми б об'єднали як радикали. Незважаючи на те, що це призвело до появи на відміну від радикалів, ми продовжуємо додавати або віднімати радикали, як зазвичай.
Спростити:\(\sqrt{3}(7\sqrt{15x^3}+8x\sqrt{60x})\)
Рішення
\[\begin{array}{rl}\sqrt{3}(7\sqrt{15x^3}+8x\sqrt{60x})&\text{Distribute} \\ \color{blue}{\sqrt{3}}\color{black}{\:\cdot\:}7\sqrt{15x^3}+\color{blue}{\sqrt{3}}\color{black}{\:\cdot\:}8x\sqrt{60x}&\text{Apply the product rule} \\ 7\sqrt{45x^3}+8x\sqrt{180x}&\text{Simplify each term as usual} \\ 7\sqrt{9\cdot 5\cdot x^2\cdot x}+8x\sqrt{36\cdot 5\cdot x}&\text{Apply the product rule} \\ 7\cdot 3x\sqrt{5x}+8x\cdot 6\sqrt{5x}&\text{Multiply coefficients} \\ 21x\color{blue}{\sqrt{5x}}\color{black}{\: +\:}48x\color{blue}{\sqrt{5x}}&\color{black}{\text{Combine like radicals}} \\ 69x\sqrt{5x}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Кілька радикалів за допомогою FOIL
Ми можемо використовувати метод FOIL для множення радикалів, які приймають форму «добутку двох біноміалів». Незважаючи на те, що фактори не є точно двома бічленами, але вираз поділяє цю форму. Нагадаємо, ми використовуємо тільки метод ФОЛЬГА. Знову ж таки, методи ніколи не змінюються, просто проблеми. Продовжуємо вважати, що всі змінні позитивні.
Спростити:\((\sqrt{5}-2\sqrt{3})(4\sqrt{10}+6\sqrt{6})\)
Рішення
\[\begin{array}{rl}(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(4\sqrt{10}+6\sqrt{6})&\text{FOIL} \\ \underset{\text{F}}{\underbrace{\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{10}}} + \underset{\text{O}}{\underbrace{\sqrt{5}\cdot 6\sqrt{6}}}-\underset{\text{I}}{\underbrace{2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{10}}}-\underset{\text{L}}{\underbrace{2\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{6}}}&\text{Simplify and apply the product rule} \\ 4\sqrt{50}+6\sqrt{30}-8\sqrt{30}-12\sqrt{18}&\text{Simplify each term as usual} \\ 4\sqrt{25\cdot 2}+6\sqrt{30}-8\sqrt{30}-12\sqrt{9\cdot 2}&\text{Apply the product rule} \\ 4\cdot 5\sqrt{2}+6\sqrt{30}-8\sqrt{30}-12\cdot 3\sqrt{2}&\text{Multiply coefficients} \\ 20\color{blue}{\sqrt{2}}\color{black}{\:+\:}6\color{red}{\sqrt{30}}\color{black}{\: -\:}8\color{red}{\sqrt{30}}\color{black}{\: -\:}36\color{blue}{\sqrt{2}}&\color{black}{\text{Combine like radicals}} \\ -16\sqrt{2}-2\sqrt{30}&\text{Simplified expression} \end{array}\nonumber\]
Були виявлені глиняні таблетки, що розкривають багато про вавилонську математику, починаючи з 1800 по 1600 рік до н.е. В одній з таблиць є наближення\(\sqrt{2}\) точності до п'яти знаків після коми:\(1.41421\).
Помножте радикали за допомогою спеціальних формул продукту
Спростити:\((5\sqrt{7}+\sqrt{2})^2\)
Рішення
Це повинно нагадати вам про ідеальний квадратний триноміал:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\nonumber\]
Оскільки цей вираз набуває вигляду ідеального квадратного триноміала, ми можемо застосувати той самий метод, що і при множенні многочленів. Нагадаємо, ми використовуємо тільки метод ідеального квадратного триноміала.
\[\begin{array}{rl}(5\sqrt{7}+\sqrt{2})^2&\text{Apply perfect square trinomial formula} \\ (5\sqrt{7})^2+2(5\sqrt{7})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^2&\text{Simplify each term} \\ 25\cdot \sqrt{7^2}+10\sqrt{14}+\sqrt{2^2}&\text{Notice, }(\sqrt{7})^2=\sqrt{7^2}\text{ and }(\sqrt{2})^2=\sqrt{2^2} \\ 25\cdot 7+10\sqrt{14}+2&\text{Multiply} \\ 175+10\sqrt{14}+2&\text{Combine like terms} \\ 177+10\sqrt{14}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Спростити:\((8-\sqrt{5})(8+\sqrt{5})\)
Рішення
Це повинно нагадати вам про різницю в два квадрати:
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\nonumber\]
Оскільки ці вирази мають форму різниці двох квадратів, ми можемо застосувати той же метод, що і при множенні многочленів. Нагадаємо, ми використовуємо тільки метод різниці двох квадратів.
\[\begin{array}{rl}(8-\sqrt{5})(8+\sqrt{5})&\text{Apply difference of two squares formula} \\ (8)^2-(\sqrt{5})^2&\text{Simplify each term} \\ 64-\sqrt{5^2}&\text{Notice, }(\sqrt{5})^2=\sqrt{5^2} \\ 64-5&\text{Subtract} \\ 59&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Цікаво, що оригінальний вираз містить радикали, а спрощений вираз не містить радикалів. Це показує, що хоча оригінальний вираз може містити радикали, в процесі спрощення ми можемо призвести до зменшення всіх радикалів.
Спрощення частки з радикалами
ls Поділ радикалами дуже схоже на множення. Якщо ми думаємо про поділ як про зменшення дробів, ми можемо зменшити коефіцієнти поза радикалами і зменшити значення всередині радикалів.
Спростити:\(\dfrac{-3+\sqrt{27}}{3}\)
Рішення
Спрощуємо,\(\sqrt{27}\) а потім намагаємося зменшити дріб.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{-3+\sqrt{27}}{3}&\text{Rewrite the radicand} \\ \dfrac{-3+\sqrt{9\cdot 3}}{3}&\text{Apply product rule to the numerator} \\ \dfrac{-3+3\sqrt{3}}{3}&\text{Factor the numerator} \\ \dfrac{3(-1+\sqrt{3})}{3}&\text{Reduce the fraction by a factor of }3 \\ \dfrac{\cancel{3}(-1+\sqrt{3})}{\cancel{3}}&\text{Simplify} \\ -1+\sqrt{3}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Якщо\(a\),\(b\) будь-які два позитивних дійсних числа, то\[\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\nonumber\]
Загалом, якщо\(a\),\(b\) будь-які два натуральних числа,\(n\) то\[\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\nonumber\] де - натуральне число і\(n\geq 2\).
Спростити:\(\dfrac{\sqrt{44y^6a^4}}{\sqrt{9y^2a^8}}\)
Рішення
Застосовуємо часткове правило радикалів, а потім спрощуємо радиканд:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt{44y^6a^4}}{\sqrt{9y^2a^8}}&\text{Apply the quotient rule} \\ \sqrt{\dfrac{44y^6a^4}{9y^2a^8}}&\text{Reduce the radicand} \\ \sqrt{\dfrac{44\color{blue}{y^{\cancelto{4}{6}}}\color{black}{\cancel{a^4}}}{9\cancel{y^2}\color{blue}{a^{\cancelto{4}{8}}}}} &\text{Simplify} \\ \sqrt{\dfrac{44y^4}{9a^4}}&\text{Apply the quotient rule} \\ \dfrac{\sqrt{44y^4}}{\sqrt{9a^4}}&\text{Simplify the radicals} \\ \dfrac{\sqrt{4\cdot 11\cdot y^4}}{3a^2}&\text{Rewrite} \\ \dfrac{2y^2\sqrt{11}}{3a^2}&\text{Simplified expression} \end{array}\nonumber\]
Спростити:\(\dfrac{15\sqrt[3]{108}}{20\sqrt[3]{2}}\)
Рішення
Спочатку спрощуємо коефіцієнти, потім застосовуємо правило частки.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\cancelto{3}{15}\cdot\sqrt[3]{108}}{\cancelto{4}{20}\cdot \sqrt[3]{2}}&\text{Simplify coefficients} \\ \dfrac{3\sqrt[3]{108}}{4\sqrt[3]{2}}&\text{Apply quotient rule} \\ \dfrac{3}{4}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{108}{2}}&\text{Reduce the radicand} \\ \dfrac{3}{4}\cdot\sqrt[3]{54}&\text{Rewrite the radicand} \\ \dfrac{3}{4}\cdot\sqrt[3]{27\cdot 2}&\text{Apply product rule} \\ \dfrac{3}{4}\cdot 3\cdot\sqrt[3]{2}&\text{Rewrite as one fraction} \\ \dfrac{3\cdot 3\sqrt[3]{2}}{4}&\text{Multiply coefficients} \\ \dfrac{9\sqrt[3]{2}}{4}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Домашнє завдання множити і розділити радикалів
Спростити.
\(3\sqrt{5}\cdot -4\sqrt{16}\)
\(\sqrt{12m}\cdot\sqrt{15m}\)
\(\sqrt[3]{4x^3}\cdot\sqrt[3]{2x^4}\)
\(\sqrt{6}(\sqrt{2}+2)\)
\(-5\sqrt{15}(3\sqrt{3}+2)\)
\(5\sqrt{10}(5n+\sqrt{2})\)
\((2+2\sqrt{2})(-3+\sqrt{2})\)
\((\sqrt{5}-5)(2\sqrt{5}-1)\)
\((\sqrt{2a}+2\sqrt{3a})(3\sqrt{2a}+\sqrt{5a})\)
\((-5-4\sqrt{3})(-3-4\sqrt{3})\)
\(\dfrac{\sqrt{12}}{5\sqrt{100}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}}{4\sqrt{125}}\)
\(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{8}}\)
\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{4}}\)
\(\dfrac{5x^2}{4\sqrt{9x^4y^8}}\)
\(\dfrac{\sqrt{12p^2}}{\sqrt{3p}}\)
\(\dfrac{3\sqrt[3]{10}}{5\sqrt[3]{27}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{5}}{4\sqrt[3]{625}}\)
\(\dfrac{5\sqrt[4]{5r^4}}{\sqrt[4]{80r^2}}\)
\(-5\sqrt{10}\cdot\sqrt{15}\)
\(\sqrt{5r^3}\cdot -5\sqrt{10r^2}\)
\(3\sqrt[3]{4a^4}\cdot\sqrt[3]{10a^3}\)
\(\sqrt{10}(\sqrt{5}+\sqrt{2})\)
\(5\sqrt{15}(3\sqrt{3}+2)\)
\(\sqrt{15}(\sqrt{5}-3\sqrt{3v})\)
\((-2+\sqrt{3})(-5+2\sqrt{3})\)
\((2\sqrt{3}+\sqrt{5})(5\sqrt{3}+2\sqrt{4})\)
\((-2\sqrt{2p}+5\sqrt{5})(\sqrt{5p}+\sqrt{5p})\)
\((5\sqrt{2}-1)(-\sqrt{2m}+5)\)
\(\dfrac{\sqrt{15}}{2\sqrt{4}}\)
\(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{32}}\)
\(\dfrac{4\sqrt{30}}{\sqrt{15}}\)
\(\dfrac{4\sqrt{12xy^{10}}}{5\sqrt{3xy^4}}\)
\(\dfrac{\sqrt{8n^2}}{\sqrt{32n}}\)
\(\dfrac{\sqrt[3]{15}}{\sqrt[3]{64}}\)
\(\dfrac{\sqrt[4]{4}}{2\sqrt[4]{64}}\)
\(\dfrac{4m}{\sqrt[4]{81m^4n^4}}\)