10.5: Радикали зі змішаними індексами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58397

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Знання того, що радикал має ті ж властивості, що і показники (написані як співвідношення), дозволяє нам маніпулювати радикалами по-новому. Одне, що нам дозволено зробити, це зменшити, не тільки радиканд, але і індекс. Давайте розглянемо простий приклад.

Приклад Template:index

Перепишіть\(\sqrt[8]{x^6y^2}\) як зменшений радикал з root\(4\).

Рішення

Ми можемо переписати радикал у його раціональній формі експоненти, а потім зменшити кожну фракцію показника.

\[\begin{array}{rl}\sqrt[8]{x^6y^2}&\text{Rewrite the root }8\text{ as a rational exponent} \\ (x^6y^2)^{\dfrac{1}{8}}&\text{Multiply exponents} \\ x^{\dfrac{6}{8}}y^{\dfrac{2}{8}}&\text{Reduce each exponent fraction} \\ x^{\dfrac{3}{4}}y^{\dfrac{1}{4}}&\text{All exponents have denominator }4,\text{ rewrite in radical form} \\ \sqrt[4]{x^3y}&\text{Radical in reduced form with root }4\end{array}\nonumber\]

Зменшити радикали

Зверніть увагу, що ми зменшили індекс, розділивши індекс і всі показники в радиканді на однакове число, наприклад,\(2\) у прикладі 10.5.1. Якщо ми помітимо загальний фактор між індексом і всіма показниками кожного фактора в радиканді, то ми можемо зменшити радикал, розділивши на цей загальний фактор.

Зменшити радикали

Якщо дано радикал з коренем\(m\cdot n\) і радикандом\(a^{mp}\), то\[\sqrt[mn]{a^{mp}}=\sqrt[\cancel{m}n]{a^{\cancel{m}p}}=\sqrt[n]{a^p}\nonumber\]

Приклад Template:index

Зменшити:\(\sqrt[24]{a^6b^9c^{15}}\)

Рішення

Ми можемо переписати радикал з коренем і експонентами в радикані як добуток із загальним фактором, потім зменшити радикал.

\[\begin{array}{rl}\sqrt[24]{a^6b^9c^{15}}&\text{Rewrite root and each exponent as a product with the common factor }3 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 8}]{a^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}}c^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 5}}}&\text{Reduce by a common factor of }3 \\ \sqrt[\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 8}]{a^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 3}}c^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 5}}}&\text{Simplify} \\ \sqrt[8]{a^2b^3c^5}&\text{Radical in reduced form with root }8\end{array}\nonumber\]

Ми можемо використовувати той же процес, навіть якщо в радиканді є коефіцієнти. Нам просто потрібно переписати коефіцієнт з показником, який включає загальний коефіцієнт показників, а потім зменшити радикал, як зазвичай.

Приклад Template:index

Зменшити:\(\sqrt[9]{8m^6n^3}\)

Рішення

По-перше, нам потрібно буде переписати коефіцієнт\(8\) з показником, який включає загальний коефіцієнт показників. Тоді ми можемо зменшити радикал, як зазвичай.

\[\begin{array}{rl}\sqrt[9]{8m^6n^3}&\text{Rewrite coefficient }8\text{ with an exponent including the common factor }3 \\ \sqrt[9]{2^{\color{blue}{3}}\color{black}{m^6n^3}}&\text{Rewrite root and each exponent as a product with the common factor }3 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}]{2^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}m^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}n^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Reduce by a common factor of }3 \\ \sqrt[\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 3}]{2^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 1}}m^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 2}}n^{\color{blue}{\cancel{3}}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Simplify} \\ \sqrt[3]{2m^2n}&\text{Radical in reduced form with root }3\end{array}\nonumber\]

Множення радикалів з різними індексами

Ми можемо застосувати метод зменшення радикалів для множення радикалів з різними показниками. Розглянемо приклад з використанням раціональних показників, потім виділимо закономірність.

Приклад Template:index

Помножити:\(\sqrt[3]{ab^2}\cdot\sqrt[4]{a^2b}\)

Рішення

Ми можемо переписати радикали в його раціональній формі експоненти, знайти спільний знаменник, а потім зменшити кожен експонентний дріб.

\[\begin{array}{rl}\sqrt[3]{ab^2}\sqrt[4]{a^2b}&\text{Rewrite as rational exponents} \\ (ab^2)^{\dfrac{1}{3}}(a^2b)^{\dfrac{1}{4}}&\text{Multiply exponents} \\ a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{2}{3}}a^{\dfrac{2}{4}}b^{\dfrac{1}{4}}&\text{Rewrite each exponent with common denominator }12 \\ a^{\dfrac{4}{\color{blue}{12}}}b^{\dfrac{8}{\color{blue}{12}}}a^{\dfrac{6}{\color{blue}{12}}}b^{\dfrac{3}{\color{blue}{12}}}&\text{Rewrite in radical form with index }12 \\ \sqrt[\color{blue}{12}]{\color{red}{a^4}\color{black}{\cdot b^8\cdot }\color{red}{a^6}\color{black}{\cdot b^3}}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[12]{a^{10}b^{11}}&\text{Produce with common root }12\end{array}\nonumber\]

Щоб помножити радикали з різними показниками, нам потрібно знайти спільний знаменник, який є найнижчим спільним кратним (LCM) між коренями. Як тільки ми отримаємо LCM, ми можемо помножити кожен корінь і показник в радиканді, щоб отримати LCM, і переписати як один радикал.

Множення радикалів з різними індексами

\(m\)Дозволяти\(n\)\(p\), бути додатними ненульовими цілими числами, і найнижчим спільним\(m\) кратним бути, тобто\(LCM(n, p) = m\), тоді

\[\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[p]{b}=\sqrt[m]{a^r}\cdot\sqrt[m]{b^t}=\sqrt[m]{a^rb^t},\nonumber\]

де показники\(r=\dfrac{m}{n}\) і\(t=\dfrac{m}{p}\).

Приклад Template:index

Помножити:\(\sqrt[4]{a^2b^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b}\)

Рішення

Давайте знайдемо\(LCM(4, 6)\) і перепишемо кожен радикал з LCM. Потім пишіть як один радикал.

\[\begin{array}{rl}\sqrt[4]{a^2b^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b}&\text{Rewrite radicals with LCM }12 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 4}]{a^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}}}\cdot\sqrt[\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 6}]{a^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 2}}b^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Multiply }3\text{ through first radical and multiply }2\text{ through second radical} \\ \sqrt[12]{a^6b^9}\cdot\sqrt[12]{a^4b^2}&\text{Simplify and write as one radical with root }12 \\ \sqrt[12]{a^6b^9 \cdot a^4b^2}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[12]{a^{10}b^{11}}&\text{Product with common root }12\end{array}\nonumber\]

Приклад Template:index

Помножити:\(\sqrt[5]{x^3y^4}\cdot\sqrt[3]{x^2y}\)

Рішення

Давайте знайдемо\(LCM(3, 5)\) і перепишемо кожен радикал з LCM. Потім пишіть як один радикал.

\[\begin{array}{rl}\sqrt[5]{x^3y^4}\cdot\sqrt[3]{x^2y}&\text{Rewrite radicals with LCM }15 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 5}]{x^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 3}}y^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 4}}}\cdot\sqrt[\color{blue}{5}\color{black}{\cdot 3}]{x^{\color{blue}{5}\color{black}{\cdot 2}}y^{\color{blue}{5}\color{black}{\cdot 1}}}&\text{Multiply }3\text{ through first radical and multiply }5\text{ through second radical} \\ \sqrt[15]{x^9y^{12}}\cdot\sqrt[15]{x^{10}y^5}&\text{Simplify and write as one radical with root }15 \\ \sqrt[15]{x^9y^{12}\cdot x^{10}y^5}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[15]{x^{19}y^{17}}&\text{Simplify by extracting out one factor of }x\text{ and }y \\ xy\sqrt[15]{x^4y^2}&\text{Product with common root }15\text{ and extracted factors }x\text{ and }y\end{array}\nonumber\]

Приклад Template:index

Помножити:\(\sqrt{3x(y+x)}\cdot\sqrt[3]{9x(y+z)^2}\)

Рішення

Давайте знайдемо\(LCM(2, 3)\) і перепишемо кожен радикал з LCM. Потім пишіть як один радикал. Зверніть увагу, хоча в кожному радиканді є біноміали, метод залишається однаковим. Нагадаємо, методи ніколи не змінюються, тільки проблеми.

\[\begin{array}{rl}\sqrt{3x(y+z)}\cdot\sqrt[3]{9x(y+z)^2}&\text{Rewrite radicals with LCM }6 \\ \sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}]{3^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}x^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}(y+z)^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}}\cdot\sqrt[\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 3}]{3^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 2}}x^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 1}}(y+z)^{\color{blue}{2}\color{black}{\cdot 2}}} &\text{Multiply }3\text{ through first radical and multiply }2 \\ &\text{through second radical} \\ \sqrt[6]{3^3x^3(y+z)^3}\cdot\sqrt[6]{3^4x^2(y+z)^4}&\text{Simplify and write as one radical with root }6 \\ \sqrt[6]{3^3x^3(y+z)^3\cdot 3^4x^2(y+z)^4}&\text{Add exponents with same base} \\ \sqrt[6]{3^7x^5(y+z)^7}&\text{Simplify by reducing out one factor of }3\text{ and }(y+z) \\ 3(y+z)\sqrt[6]{3x^5(y+z)}&\text{Product with common root }6\text{ and extracted factors} \\ &3\text{ and }(y+z)\end{array}\nonumber\]

Примітка

Спочатку радикал був просто галочкою з рештою радикального виразу в дужках. У 1637 році Рене Декарт першим поставив лінію над усім радикальним виразом.

Розділіть радикали з різними індексами

На щастя, той самий процес використовується для поділу радикалів зі змішаними індексами, як ми використовували множення радикалів зі змішаними індексами. Оскільки кінцевий вираз не може мати радикалів в знаменнику, то може бути додатковий крок раціоналізації знаменника.

Приклад Template:index

Розділити:\(\dfrac{\sqrt[6]{x^4y^3z^2}}{\sqrt[8]{x^7y^2z}}\)

Рішення

Давайте знайдемо\(LCM(6, 8)\) і перепишемо кожен радикал з LCM. Потім пишіть як один радикал. Зверніть увагу, хоча ми спрощуємо частку, ми все одно раціоналізуємо знаменник, коли це необхідно.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt[6]{x^4y^3z^2}}{\sqrt[8]{x^7y^2z}}&\text{Rewrite radicals with LCM }24 \\ \dfrac{\sqrt[\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 6}]{x^{\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 4}}y^{\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 3}}z^{\color{blue}{4}\color{black}{\cdot 2}}}}{\sqrt[\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 8}]{x^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 7}}y^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 2}}z^{\color{blue}{3}\color{black}{\cdot 1}}}}&\text{Multiply }4\text{ through numerator radical and multiply }3\text{ through denominator radical} \\ \dfrac{\sqrt[24]{x^{16}y^{12}z^8}}{\sqrt[24]{x^{21}y^6z^3}}&\text{Simplify and write as one radical with root }24 \\ \sqrt[24]{\dfrac{x^{16}y^{12}z^{8}}{x^{21}y^6z^3}}&\text{Reduce factors with same base} \\ \sqrt[24]{\dfrac{y^6z^5}{x^5}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{\sqrt[24]{y^6z^5}}{\sqrt[24]{x^5}}\cdot\dfrac{\sqrt[24]{x^{19}}}{\sqrt[24]{x^{19}}}&\text{Multiply numerator and denominator by }\sqrt[24]{x^{19}} \\ \dfrac{\sqrt[24]{x^{19}y^6z^5}}{\sqrt[24]{x^{24}}}&\text{Simplify} \\ \dfrac{\sqrt[24]{x^{19}y^6z^5}}{x}&\text{Quotient with common root }24\text{ and rationalized denominator}\end{array}\nonumber\]

Радикали зі змішаними показниками домашнє

Зменшити наступні радикали.