10.8: Комплексні числа
- Page ID
- 58410
Коли вперше була використана математика, основною метою було підрахунок. Таким чином, спочатку вони не використовували від'ємні числа, нуль, дроби або ірраціональні числа. Однак у стародавніх єгиптян швидко виникла потреба в «частині» і тому вони склали новий тип числа, співвідношення або дріб. Стародавні греки не вірили в ірраціональні числа (людей вбивали за те, що вважали інакше). Майя Центральної Америки пізніше склали число нуль, коли вони знайшли використання для нього як заповнювач. Стародавні китайські математики складали негативні числа, коли знайшли їм користь.
При роботі з радикалами ми часто працюємо з радикандами, які більше або рівні нулю. Як бути з випадком, коли радиканд негативний, особливо з рівними корінням? Раніше ми говорили, що цифри, як не\(\sqrt{-4}\) були дійсними числами, але яке це число? У цьому випадку ми називаємо числа, які містять квадратні корені від'ємних чисел комплексними числами. Перш ніж дістатися до комплексного числа, обговорюємо уявну одиницю.
уявна одиниця
Уявна одиниця, що позначається\(i\), - це число, квадрат якого дорівнює\(−1\), т. Е.\[i^2=-1\text{ or }i=\sqrt{-1}\nonumber\]
Спростити\(\sqrt{-16}\) за допомогою уявної одиниці.
Рішення
\[\begin{array}{rl}\sqrt{-16}&\text{Consider the negative as a factor of }-1 \\ \sqrt{-1\cdot 16}&\text{Apply the product property of square roots} \\ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{16}&\text{Evaluate and rewrite }\sqrt{-1}\text{ as }i \\ 4i&\sqrt{-16}\text{ using the imaginary unit}\end{array}\nonumber\]
Спростити\(\sqrt{-24}\) за допомогою уявної одиниці.
Рішення
Для цього прикладу ми використовуємо прийоми спрощення радикалів на додаток до перезапису радикала з уявною одиницею.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{-24}&\text{Consider the negative as a factor of }-1 \\ \sqrt{-1\cdot 24}&\text{Apply the product property of square roots} \\ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{24}&\text{Simplify }\sqrt{24}\text{ and rewrite }\sqrt{-1}\text{ as }i \\ i\cdot\sqrt{4\cdot 6}&\text{Simplify the radical} \\ 2i\sqrt{6}&\sqrt{-24}\text{ using the imaginary unit}\end{array}\nonumber\]
Спростити\((3i)(7i)\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}(3i)(7i)&\text{Multiply} \\ 21i^2&\text{Apply the definition and rewrite }i^2\text{ as }-1 \\ 21(\color{blue}{-1}\color{black}{)}&\text{Multiply} \\ -21&\text{Result}\end{array}\nonumber\]
Як правило, ми завжди переписуємо\(\sqrt{-1}\) як\(i\), і\(i^2\) як\(-1\).
Комплексні числа
Комплексне число - це число виду\(a + bi\), де\(a\) і\(b\) є дійсними числами, і\(a\) називається дійсною частиною\(a + bi\) і\(bi\) називається уявною частиною\(a + bi\).
\(4+\sqrt{-64}\)Висловіть як комплексне число у вигляді\(a+bi\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}4+\sqrt{-64}&\text{Rewrite }\sqrt{-64}\text{ as factors }64\text{ and }-1 \\ 4+\sqrt{-1\cdot 64}&\text{Apply product property of square roots} \\ 4+\sqrt{-1}\cdot\sqrt{64}&\text{Simplify the radicals} \\ 4+8i&\text{Complex number}\end{array}\nonumber\]
\(4\)Ось, реальна частина і\(8i\) є уявною частиною. Разом вони складають комплексне число.
\(7-\sqrt{-18}\)Висловіть як комплексне число у вигляді\(a+bi\).
Рішення
\[\begin{array}{rl}7-\sqrt{-18}&\text{Rewrite }\sqrt{-18}\text{ as factors }18\text{ and }-1 \\ 7-\sqrt{-1\cdot 18}&\text{Apply product property of square roots} \\ 7-\sqrt{-1}\cdot\sqrt{18}&\text{Simplify }\sqrt{18}\text{ and rewrite }\sqrt{-1}\text{ as }i \\ 7-i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&\text{Simplify the radical} \\ 7-3i\sqrt{2}&\text{Complex number}\end{array}\nonumber\]
\(7\)Ось, реальна частина і\(−3i\sqrt{2}\) є уявною частиною. Разом вони складають комплексне число.
Спрощення виразів за допомогою складних чисел
При спрощенні виразів зі складними числами важливо, щоб ми переписували будь-які радикали, які містять\(\sqrt{-1}\) або\(i^2\), замінюючи їх на\(i\) і\(−1\), відповідно. Потім спрощуємо.
Спростити\(\sqrt{-6}\cdot\sqrt{-3}\).
Рішення
Переписуємо кожен фактор за допомогою уявної одиниці, потім застосовуємо операцію.
\[\begin{array}{rl}\sqrt{-6}\cdot\sqrt{-3}&\text{Rewrite the radicals with }i \\ (i\sqrt{6})(i\sqrt{3})&\text{Multiply} \\ i^2\cdot\sqrt{18}&\text{Rewrite }i^2\text{ as }-1\text{ and simplify the }\sqrt{18} \\ -1\cdot\sqrt{9\cdot 2}&\text{Simplify the radical} \\ -1\cdot 3\sqrt{2}&\text{Simplify the }-1\cdot 3 \\ -3\sqrt{2}&\text{Product}\end{array}\nonumber\]
Зверніть увагу, хоча ми починали з уявних одиниць, наш продукт не містив жодного через\(i^2\) термін. Нагадаємо, кожен раз, коли ми бачимо\(i^2\), ми переписуємо його як\(−1\), який містить ні\(i\).
Спростити\(\dfrac{-15-\sqrt{-200}}{20}\).
Рішення
Кожен термін переписуємо за допомогою уявної одиниці в міру необхідності, потім застосовуємо операцію.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{-15-\sqrt{-200}}{20}&\text{Rewrite the radical with }i\text{ and as a product of factors} \\ \dfrac{-15-\sqrt{-1\cdot 100\cdot 2}}{20}&\text{Simplify the radical} \\ \dfrac{-15-10i\sqrt{2}}{20}&\text{Factor a GCF from the numerator} \\ \dfrac{5(-3-2i\sqrt{2})}{20}&\text{Reduce the fraction by a factor of }5 \\ \dfrac{\color{blue}{\cancel{5}}\color{black}{(}-3-2i\sqrt{2})}{\color{blue}{\cancelto{4}{20}}}&\color{black}{\text{Rewrite}} \\ \dfrac{-3-2i\sqrt{2}}{4}&\text{Quotient}\end{array}\nonumber\]
Відповіді вище буде достатньо, але якби ми хотіли переписати\(\dfrac{-3-2i\sqrt{2}}{4}\) як стандартне комплексне число, то ми б переписали відповідь, як\[-\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\nonumber\] де\(-\dfrac{3}{4}\) реальна частина і\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\) є уявною частиною.
Спростіть вирази за допомогою складних чисел шляхом додавання, віднімання та множення
Ми застосовуємо арифметичні операції до складних чисел таким чином, як ми застосовуємо арифметичні операції з виразами, що містять змінні. Поєднуємо подібні терміни, коли це необхідно. У цьому випадку подібні терміни - це ті, що мають реальні частини, і ті, що мають уявні частини.
Додати:\((2+5i)+(4-7i)\)
Рішення
Ми спрощуємо, комбінуючи подібні терміни: поєднуємо реальні частини і поєднуємо уявні частини.
\[\begin{array}{rl}(2+5i)+(4-7i)&\text{Combine like terms} \\ \underset{\color{blue}{\text{real parts}}}{\color{black}{\underbrace{(2+4)}}}+\underset{\color{blue}{\text{imaginary}}}{\color{black}{\underbrace{(5i-7i)}}}&\text{Simplify} \\ 6-2i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Відніміть:\((4-8i)-(3-5i)\)
Рішення
Ми спрощуємо комбінуванням подібних термінів: об'єднуємо реальні частини і об'єднуємо уявні частини, але, по-перше, розподіляємо віднімання на кожен член в дужках після знака віднімання.
\[\begin{array}{rl}(4-8i)\color{blue}{-}\color{black}{(}3-5i)&\text{Distribute the negative} \\ 4-8i\color{blue}{-3+5i}&\color{black}{\text{Combine like terms}} \\ \underset{\color{blue}{\text{real parts}}}{\color{black}{\underbrace{(4-3)}}} + \underset{\color{blue}{\text{imaginary}}}{\color{black}{\underbrace{(5i-8i)}}}&\text{Simplify} \\ 1-3i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Спростити:\((5i)-(3+8i)+(-4+7i)\)
Рішення
Ми спрощуємо комбінуванням подібних термінів: об'єднуємо реальні частини і об'єднуємо уявні частини, але, по-перше, розподіляємо віднімання на кожен член в дужках після знака віднімання.
\[\begin{array}{rl}(5i)\color{blue}{-}\color{black}{(}3+8i)+(-4+7i)&\text{Distribute the negative} \\ 5i\color{blue}{-3-8i}\color{black}{-}4+7i&\text{Combine like terms} \\ \underset{\color{blue}{\text{real parts}}}{\color{black}{\underbrace{(-3-4)}}}+\underset{\color{blue}{\text{imaginary}}}{\color{black}{\underbrace{(5i-8i+7i)}}} &\text{Simplify} \\ -7+4i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Множення з комплексними числами схоже на множення зі змінними, за винятком того, що ми перепишемо кожне\[\sqrt{-1}\quad\text{as}\quad i\quad\text{and}\quad i^2\quad\text{as}\quad -1\nonumber\]
Спростити:\(5i(3i-7)\)
Рішення
Множимо, як зазвичай, застосовуючи ті ж правила показника.
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{5i}\color{black}{(}3i-7)&\text{Distribute }5i \\ 15\color{blue}{i^2}\color{black}{-}35i&\text{Rewrite }\color{blue}{i^2=-1} \\ 15\color{blue}{(-1)}\color{black}{-}35i&\text{Simplify} \\ -15-35i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Множивши вирази, де множники приймають біноміальну форму, ми можемо застосувати метод FOIL, метод, який ми обговорювали в розділі експонентів та поліномів.
Нагадаємо, метод FOIL:
\[\begin{array}{ll} \textbf{F}\text{irst}&\text{-Multiply the first terms in each parenthesis} \\ \textbf{O}\text{uter}&\text{-Multiply the outer terms in each parenthesis} \\ \textbf{I}\text{nner}&\text{-Multiply the inner terms in each parenthesis} \\ \textbf{L}\text{ast}&\text{-Multiply the last terms in each parenthesis}\end{array}\nonumber\]
Спростити:\((2-4i)(3+5i)\)
Рішення
Перемножуємо цей вираз методом FOIL.
\[\begin{array}{rl}(2-4i)(3+5i)&\text{FOIL} \\ 6+10i-12i-20\color{blue}{i^2}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^2=-1} \\ 6+10i-12i-20\color{blue}{(-1)}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 6+10i-12i+20&\text{Combine like terms} \\ 26-2i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Спростити:\((4-5i)^2\)
Рішення
Ми множимо цей вираз, використовуючи або метод FOIL, або ідеальну квадратну триноміальну формулу, де\((A − B)^2 = A^2 − 2AB + B^2\). Давайте скористаємося ідеальною формулою квадратного триноміалу.
\[\begin{array}{rl}(4-5i)^2&\text{Apply the perfect square trinomial formula} \\ (4)^2-2(4)(5i)+(5i)^2&\text{Simplify} \\ 16-40i+25\color{blue}{i^2}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^2=-1} \\ 16-40i+25\color{blue}{(-1)}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 16-40i-25&\text{Combine like terms} \\ -9-40i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Спростити:\((3i)(6i)(2-3i)\)
Рішення
Множимо цей вираз як зазвичай і з розподілом.
\[\begin{array}{rl}(3i)(6i)(2-3i)&\text{Multiple first two monomials} \\ \color{blue}{18i^2}\color{black}{(}2-3i)&\text{Distribute }\color{blue}{18i^2} \\ 36i^2-54\color{blue}{i^3}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^3=i^2\cdot i} \\ 36\color{blue}{i^2}\color{black}{-}54\color{blue}{i^2}\color{black}{\cdot}i&\text{Rewrite }\color{blue}{i^2=-1} \\ 36\color{blue}{(-1)}\color{black}{-}54\color{blue}{(-1)}\color{black}{i}&\text{Simplify} \\ -36+54i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Спрощення виразів за допомогою комплексних чисел шляхом застосування сполучених
Ділення комплексними числами цікаво, якщо у нас в знаменнику є уявна частина. Що ми робимо з знаком\(i\) в знаменнику? Давайте подумаємо\(i\) і про його поданні:\(i = \sqrt{-1}\). Якщо\(i\) в знаменнику є a, то в знаменнику є квадратний корінь. Отже, ми повинні раціоналізувати знаменник, але тепер використовуючи комплексні числа.
Щоб раціоналізувати знаменник лише уявною частиною в знаменнику, помножте чисельник і знаменник на\(i\), наприклад,\[\dfrac{1}{i}\cdot\dfrac{i}{i}\nonumber\]
Спростити:\(\dfrac{7+3i}{-5i}\)
Рішення
Бачимо, що\(−5i\) в знаменнику є a. Ми можемо помножити чисельник і знаменник на,\(i\) щоб переписати знаменник без\(i\), тобто без квадратного кореня.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{7+3i}{-5i}&\text{Multiply numerator and denominator by }i \\ \dfrac{(7+3i)}{-5i}\cdot\dfrac{i}{i}&\text{Distribute }i\text{ in numerator} \\ \dfrac{7i+3\color{blue}{i^2}}{-5\color{blue}{i^2}}&\color{black}{\text{Rewrite }}i^2=-1 \\ \dfrac{7i+3\color{blue}{(-1)}}{-5\color{blue}{(-1)}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ \dfrac{7i-3}{5}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Бувають випадки, коли даний знаменник - це не просто уявна частина. Найчастіше в знаменнику ми маємо комплексне число. Для того щоб раціоналізувати ці знаменники, використовуємо сполучений.
Раціоналізуємо знаменники комплексними\(a ± bi\) числами типу множенням чисельника та знаменника на їх сполучення, наприклад,\[\dfrac{1}{a+bi}\cdot\dfrac{a-bi}{a-bi}\nonumber\]
Сполучений для
- \(a+bi\)є\(a-bi\)
- \(a-bi\)є\(a+bi\)
Спростити:\(\dfrac{2-6i}{4+8i}\)
Рішення
Бачимо, що\(4+8i\) в знаменнику є a. Ми можемо помножити чисельник і знаменник на,\(4 − 8i\) щоб переписати знаменник без\(i\), тобто без квадратного кореня.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{2-6i}{4+8i}&\text{Multiply numerator and denominator by conjugate} \\ \dfrac{2-6i}{4+8i}\cdot\dfrac{4-8i}{4-8i}&\text{Multiply numerator and denominator} \\ \dfrac{8-16i-24i+48\color{blue}{i^2}}{16-64\color{blue}{i^2}}&\color{black}{\text{Rewrite }}\color{blue}{i^2=-1} \\ \dfrac{8-16i-24i+48\color{blue}{(-1)}}{16-64\color{blue}{(-1)}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ \dfrac{8-16i-24i-48}{16+64}&\text{Combine like terms} \\ \dfrac{-40-40i}{80}&\text{Factor out GCF from numerator} \\ \dfrac{40(-1-i)}{80}&\text{Reduce out GCF from numerator} \\ \dfrac{\color{blue}{\cancel{40}}\color{black}{(}-1-i)}{\color{blue}{\cancelto{2}{80}}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ \dfrac{-1-i}{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
повноваження\(i\)
Давайте подивимося на повноваження\(i\):
\[\begin{array}{lll}i^1=i & i^5=i & i^9=i \\ i^2=-1 & i^6=-1 & i^{10}=-1 \\ i^3=-i & i^7=-i & i^{11}=-i \\ i^4=1 & i^8=1 & i^{12}=1\end{array}\nonumber\]
Зверніть увагу, після кожної четвертої потужності\(i\), цикл починається над тим, де кожна влада, яка кратна чотирьом є\(1\). Отже, для будь-якої сили\(i\), ми можемо спростити легко, переписуючи силу\(i\) як продукт\(i\), що кратне чотирьом і\(i\) піднятий до сили максимум\(3\). Давайте розглянемо приклад.
Спростити:\(i^{35}\)
Рішення
Зверніть увагу на потужність\(35\), яка дорівнює\(32\) плюс\(3\). Ми можемо переписати силу як суму\(3\),\(32\) а потім вираз як добуток.
\[\begin{array}{rl}i^{35}&\text{Rewrite the power as a sum with the largest multiple of four} \\ i^{32+3}&\text{Rewrite as a product using product rule of exponents} \\ i^{32}\cdot i^3&\text{Simplify} \\ 1\cdot -i&\text{Multiply} \\ -i&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Щоб знайти, де розділити силу\(i\), ми могли б розділити владу на чотири. Потім використовуйте залишок для оцінки виразу. Наприклад, у прикладі Template:index ми можемо розділити\(35\) на\(4\):\[35\div 4=8\text{ R}\color{red}{3}\nonumber\]
Потім використовуйте залишок\(3\) для оцінки\(i^{35}\), т. Е.\[i^{35}=i^{\color{red}{3}}\color{black}{=}-i\nonumber\]
Спростити:\(i^{73}\)
Рішення
Використовуючи записку вище, візьмемо потужність\(73\) і розділимо на\(4\):\[73\div 4=18\text{ R}\color{red}{1}\nonumber\]
Ми можемо використовувати залишок, щоб переписати\(i^{73}\) як\[i^{73}=i^{\color{red}{1}}\color{black}{=i}\nonumber\]
Звідси\(i^{73}=i\).
Ми можемо використовувати метод залишку або метод, який відображається в прикладі Template:index.
Спростити:\(i^{124}\)
Рішення
Використовуючи метод залишку, візьмемо\(124\) і розділимо на\(4\):\[124\div 4=31\text{ R}\color{red}{0}\nonumber\]
Ми можемо використовувати залишок, щоб переписати\(i^{124}\) як\[i^{124}=i^{\color{red}{0}}\color{black}{=1}\nonumber\]
Звідси\(i^{124} = 1\). Зверніть увагу,\(124\) влада кратна чотирьом, і ми знаємо, що будь-яка сила\(i\), що кратна чотирьом, є одним з циклу для повноважень\(i\).
Домашнє завдання складних чисел
Спростити.
\(\sqrt{-64}\)
\(\sqrt{-9}\)
\(\sqrt{-81}\)
\(\sqrt{-121}\)
\(\sqrt{-100}\)
\(\sqrt{-45}\)
\(\sqrt{-90}\)
\(\sqrt{-420}\)
\(\sqrt{-245}\)
\((6i)(-8i)\)
\((-5i)(8i)\)
\((-8i)(4i)\)
\((-3i)(-4i)\)
\((-9i)(-4i)\)
\((3i)(5i)\)
\((-7i)^2\)
\(\sqrt{-10}\cdot\sqrt{-2}\)
\(\sqrt{-12}\cdot\sqrt{-2}\)
\(-7-\sqrt{-16}\)
\(-3+\sqrt{-121}\)
\(2-\sqrt{-25}\)
\(4+\sqrt{-4}\)
\(\dfrac{3+\sqrt{-27}}{6}\)
\(\dfrac{8-\sqrt{-16}}{4}\)
\(\dfrac{-4-\sqrt{-8}}{-4}\)
\(\dfrac{6+\sqrt{-32}}{4}\)
\(\dfrac{25-\sqrt{-75}}{5}\)
\(\dfrac{-10+\sqrt{-250}}{5}\)
\(\dfrac{15+\sqrt{-108}}{6}\)
\(\dfrac{12+\sqrt{-192}}{8}\)
\(3-(-8+4i)\)
\((7i)-(3-2i)\)
\((-6i)-(3+7i)\)
\((3-3i)+(-7-8i)\)
\((i)-(2+3i)-6\)
\((6+5i)^2\)
\((-7-4i)(-8+6i)\)
\((-4+5i)(2-7i)\)
\((-8-6i)(-4+2i)\)
\((1+5i)(2+i)\)
\(\dfrac{-9+5i}{i}\)
\(\dfrac{-10-9i}{6i}\)
\(\dfrac{-3-6i}{4i}\)
\(\dfrac{10-i}{-i}\)
\(\dfrac{4i}{-10+i}\)
\(\dfrac{8}{7-6i}\)
\(\dfrac{7}{10-7i}\)
\(\dfrac{5i}{-6-i}\)
\((3i)-(7i)\)
\(5+(-6-6i)\)
\((-8i)-(7i)-(5-3i)\)
\((-4-i)+(1-5i)\)
\((5-4i)+(8-4i)\)
\((-i)(7i)(4-3i)\)
\((8i)(-2i)(-2-8i)\)
\((3i)(-3i)(4-4i)\)
\(-8(4-8i)-2(-2-6i)\)
\((-6i)(3-2i)-(7i)(4i)\)
\((-2+i)(3-5i)\)
\(\dfrac{-3+2i}{-3i}\)
\(\dfrac{-4+2i}{3i}\)
\(\dfrac{-5+9i}{9i}\)
\(\dfrac{10}{5i}\)
\(\dfrac{9i}{1-5i}\)
\(\dfrac{4}{4+6i}\)
\(\dfrac{9}{-8-6i}\)
\(\dfrac{8i}{6-7i}\)
\(i^{77}\)
\(i^{48}\)
\(i^{62}\)
\(i^{154}\)
\(i^{251}\)
\(i^{68}\)
\(i^{181}\)
\(i^{51}\)