10.1: Спрощення радикалів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58405

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Не всі радиканди є ідеальними квадратами, де, коли ми беремо квадратний корінь, ми отримуємо додатне ціле число. Наприклад, якщо ми вводимо\(\sqrt{8}\) в калькулятор, калькулятор буде відображати\(2.828427124746190097603377448419\cdots\) і навіть це число є округленим наближенням квадратного кореня. Щоб бути максимально точними, ми залишимо всі відповіді в точному вигляді, тобто відповіді містять цілі числа, а радикали - без десяткових знаків.

Примітка

Коли ми говоримо спростити вираз радикалами, спрощений вираз повинен мати

радикал, якщо радикал не зменшується до цілого числа
радиканд без факторів, що містять ідеальні квадрати
без десяткових знаків

Дотримання цих вказівок гарантує, що вираз знаходиться в найпростішій формі.

Спрощення радикалів

Правило продукту для радикалів

Якщо\(a\),\(b\) є будь-якими двома додатними дійсними числами, то\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\nonumber\] Загалом\(a\), якщо,\(b\) будь-які два натуральних дійсних числа,\(n\) то\[\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\nonumber\] де - натуральне число і\(n\geq 2\).

Приклад Template:index

Спростити:\(\sqrt{75}\)

Рішення

Ми можемо застосувати правило продукту для радикалів, щоб спростити це число. Нам потрібно знайти найбільший коефіцієнт\(75\), який є ідеальним квадратом (оскільки у нас є квадратний корінь) і переписати радиканд як добуток цього ідеального квадрата та іншого його фактора. Найбільшим фактором радикада,\(75\) який є ідеальним квадратом, є\(25\).

\[\begin{array}{rl}\sqrt{75}&\text{Rewrite radicand as a product of }25\text{ and }3 \\ \sqrt{25\cdot 3}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{25}\cdot\sqrt{3}&\text{Simplify each square root} \\ 5\cdot\sqrt{3}&\text{Rewrite} \\ 5\sqrt{3}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Якщо радиканд не є ідеальним квадратом, ми залишаємо як є; отже, ми залишаємо\(\sqrt{3}\) як є.

Приклад Template:index

Спростити:\(\sqrt{72}\)

Рішення

Ми можемо застосувати правило продукту для радикалів, щоб спростити це число. Нам потрібно знайти найбільший коефіцієнт\(72\), який є ідеальним квадратом (оскільки у нас є квадратний корінь) і переписати радиканд як добуток цього ідеального квадрата та іншого його фактора. Найбільшим фактором радикада,\(72\) який є ідеальним квадратом, є\(36\).

\[\begin{array}{rl}\sqrt{72}&\text{Rewrite radicand as a product of }36\text{ and }2 \\ \sqrt{36\cdot 2}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{36}\cdot\sqrt{2}&\text{Simplify each square root} \\ 6\cdot\sqrt{2}&\text{Rewrite} \\ 6\sqrt{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Якщо радиканд не є ідеальним квадратом, ми залишаємо як є; отже, ми залишаємо\(\sqrt{2}\) як є.

Спрощення радикалів з коефіцієнтами

Приклад Template:index

Спростити:\(5\sqrt{63}\)

Рішення

Ми можемо застосувати правило добутку для радикалів, щоб спростити це число та помножити коефіцієнти на останніх кроках. Нам потрібно знайти найбільший коефіцієнт\(63\), який є ідеальним квадратом (оскільки у нас є квадратний корінь) і переписати радиканд як добуток цього ідеального квадрата та іншого його фактора. Найбільшим фактором радикада,\(63\) який є ідеальним квадратом, є\(9\).

\[\begin{array}{rl}5\sqrt{63}&\text{Rewrite radicand as a product of }9\text{ and }7 \\ 5\sqrt{9\cdot 7}&\text{Apply product rule for radicals} \\ 5\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{7}&\text{Simplify each square root} \\ 5\cdot 3\cdot\sqrt{7}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 15\sqrt{7}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Якщо радиканд не є ідеальним квадратом, ми залишаємо як є; отже, ми залишаємо\(\sqrt{7}\) як є.

Раціональні показники

Коли ми спрощуємо радикали, ми витягуємо коріння факторів з показниками, в яких кратні кореню (індексу). Наприклад\(\sqrt{x^4}=\sqrt[2]{x^4}=x^2\), але зверніть увагу, що ми просто розділили харчування\(x\) на корінь. Давайте розглянемо приклад ще раз, але тепер як поділ показників:

\[\sqrt{x^4}=\color{black}{\sqrt[\color{blue}{3}]{x\color{red}{^4}}=}x^{\dfrac{\color{red}{4}}{\color{blue}{2}}}=x^2\nonumber\]

Ділення з показниками, або експонентами дробу, називають раціональними показниками.

Визначення: Раціональна експонента

\(a\)Дозволяти бути основою,\(m\) і\(n\) бути дійсними дійсними числами. Тоді

\[a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\nonumber\]

Знаменником раціонального показника є корінь на радикалі і навпаки

Приклад Template:index

Перепишіть кожен радикал з відповідним раціональним показником.

\((\sqrt[5]{x})^3\)
\((\sqrt[6]{3x})^5\)
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt[7]{a}\right)^3}\)
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{xy}\right)^2}\)

Рішення

Для виразу\((\sqrt[5]{x})^3\) ми бачимо корінь є\(5\). Це означає, що знаменником раціонального показника є\(5\). Отже, чисельник є показником\(3\):\((\sqrt[5]{x})^3=x^{\dfrac{3}{5}}\).
Для виразу\((\sqrt[6]{3x})^5\) ми бачимо корінь є\(6\). Це означає, що знаменником раціонального показника є\(6\). Отже, чисельник є показником\(5\):\((\sqrt[6]{3x})^5=(3x)^{\dfrac{5}{6}}\).
Для виразу\(\dfrac{1}{(\sqrt[7]{a})^3}\) ми бачимо корінь є\(7\). Це означає, що знаменником раціонального показника є\(7\). Значить, чисельник є показником\(3\). Крім того, оскільки вираз з радикалом знаходиться в знаменнику, ми можемо переписати вираз, використовуючи негативний показник:\(\dfrac{1}{(\sqrt[7]{a})^3}=(a)^{-\dfrac{3}{7}}\).
Для виразу\(\dfrac{1}{(\sqrt[3]{xy})^2}\) ми бачимо корінь є\(3\). Це означає, що знаменником раціонального показника є\(3\). Значить, чисельник є показником\(2\). Крім того, оскільки вираз з радикалом знаходиться в знаменнику, ми можемо переписати вираз, використовуючи негативний показник:\(\dfrac{1}{(\sqrt[3]{xy})^2}=(xy)^{-\dfrac{2}{3}}\).

Приклад Template:index

Перепишіть кожен вираз в його еквівалентну радикальну форму.

\(a^{\dfrac{5}{3}}\)
\((2mn)^{\dfrac{2}{7}}\)
\(x^{-\dfrac{4}{5}}\)
\((xy)^{-\dfrac{2}{9}}\)

Рішення

З визначення ми знаємо, що знаменником раціонального показника є корінь, що робить чисельник степеню:\(a^{\dfrac{5}{3}}=\sqrt[3]{a^5}\) або\((\sqrt[3]{a})^5\).
З визначення ми знаємо, що знаменником раціонального показника є корінь, що робить чисельник степеню:\((2mn)^{\dfrac{2}{7}}=\sqrt[7]{(2mn)^2}\) або\((\sqrt[7]{2mn})^2\).
З визначення ми знаємо, що знаменником раціонального показника є корінь, що робить чисельник степеню:\(x^{−\dfrac{4}{5}} = (\sqrt[5]{x})^{-4}\). Зверніть увагу, що вираз все ще містить негативний показник. Отже, нам потрібно відповісти взаємністю радикалу, щоб переписати вираз лише з позитивними показниками:\[x^{-\dfrac{4}{5}}=\dfrac{1}{(\sqrt[5]{x})^4}\nonumber\]
З визначення ми знаємо, що знаменником раціонального показника є корінь, що робить чисельник степеню:\((xy)^{−\dfrac{2}{9}} = (\sqrt[9]{x})^{−2}\). Зверніть увагу, що вираз все ще містить негативний показник. Отже, нам потрібно відповісти взаємністю радикалу, щоб переписати вираз лише з позитивними показниками:\[(xy)^{-\dfrac{2}{9}}=\dfrac{1}{(\sqrt[9]{xy})^2}\nonumber\]

Примітка

Ніколь Ореме, математик, народжена в Нормандії, першою використала раціональні показники. Він використовував позначення\(\dfrac{1}{3} • 9^{p}\) для представлення\(9^{\dfrac{1}{3}}\). Однак його позначення пройшли багато в чому непоміченими.

Можливість зміни між раціональними експоненціальними виразами і радикальними виразами дозволяє оцінювати вирази.

Приклад Template:index

Оцініть\(27^{-\dfrac{4}{3}}\).

Рішення

Спочатку переписуємо вираз тільки з додатними показниками, потім оцінюємо показник експонени

\[\begin{array}{rl}27^{-\dfrac{4}{3}}&\text{Rewrite the expression with positive exponents} \\ \dfrac{1}{27^{\dfrac{4}{3}}}&\text{Rewrite in radical form} \\ \dfrac{1}{(\sqrt[3]{27})^4}&\text{Evaluate radical }\sqrt[3]{27}=3 \\ \dfrac{1}{(3)^4}&\text{Evaluate exponent }3^4=81 \\ \dfrac{1}{81}&\text{Result} \end{array}\nonumber\]

Таким чином,\(27^{−\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{81}\). Цей результат повинен підкреслити той факт, що негативні показники означають зворотні, а не негативні числа.

Спрощення радикалів зі змінними

Зазвичай радиканди можуть містити змінні. Беручи квадратні корені змінних, ми знаємо, що корінь є\(2\); ми не завжди пишемо його, але ми знаємо, що він там. Отже, ми застосовуємо правило добутку радикалів, переписуючи показник змінної та переписуємо показники так, щоб один з експонентів був найбільшим парним числом.

Приклад Template:index

Спростити:\(\sqrt{x^6 y^5}\)

Рішення

Ми можемо застосувати правило продукту для радикалів, щоб спростити, переписуючи показник змінної і переписати показники так, щоб один з експонентів був найбільшим парним числом.

\[\begin{array}{rl}\sqrt{x^6y^5}&\text{Rewrite radicand} \\ \sqrt{x^6\cdot y^4\cdot y^1}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{x^6}\cdot\sqrt{y^4}\cdot\sqrt{y}&\text{Simplify each square root} \\ x^3\cdot y^2\cdot\sqrt{y}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ x^3y^2\sqrt{y}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, що\((x^3)^2\) і\((y^2)^2=y^4\); отже, ми витягуємо ідеальні квадрати змінних і залишити\(\sqrt{y}\) як є.

Примітка

Нагадаємо, при взятті квадратного кореня числа радиканд повинен бути більше або дорівнює нулю. Отже, коли ми застосовуємо квадратний корінь до змінних, змінні також повинні бути більше або дорівнює нулю.

Зверніть увагу, ми по суті ділимо показники на змінних на два і фактор, який залишається в радиканді має показник\(1\).

Приклад Template:index

Спростити:\(-5\sqrt{18x^4y^6z^{10}}\). Припустимо, що всі змінні є позитивними.

Рішення

\[\begin{array}{rl}-5\sqrt{18x^4y^6z^{10}}&\text{Rewrite radicand} \\ -5\cdot\sqrt{9\cdot 2\cdot x^4\cdot y^6\cdot x^{10}}&\text{Apply product rule for radicals} \\ -5\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^4}\cdot\sqrt{y^6}\cdot\sqrt{z^{10}}&\text{Simplify each square root} \\ -5\cdot 3\cdot\sqrt{2}\cdot x^2\cdot y^3\cdot z^5 &\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ -15x^2y^3z^5\sqrt{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Приклад Template:index

Спростити:\(\sqrt{20x^5y^9z^6}\). Припустимо, що всі змінні є позитивними.

Рішення

\[\begin{array}{rl}\sqrt{20x^5y^9z^6}&\text{Rewrite radicand} \\ \sqrt{4\cdot 5\cdot x^4\cdot x\cdot y^8\cdot y\cdot z^6}&\text{Apply product rule for radicals} \\ \sqrt{4}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^4}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{y^8}\cdot\sqrt{y}\cdot\sqrt{z^6}&\text{Simplify each square root} \\ 2\cdot\sqrt{5}\cdot x^2\cdot\sqrt{x}\cdot y^4\cdot\sqrt{y}\cdot z^3&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 2x^2y^4z^3\sqrt{5xy}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Спрощення домашнього завдання радикалів

Спростити. Припустимо, що всі змінні є позитивними.