10.2: Додавання та віднімання радикалів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58408

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Додавання та віднімання радикалів дуже схожі на додавання та віднімання зі змінними. Для того щоб поєднувати терміни, вони повинні бути схожими на терміни. З радикалами у нас є щось подібне, яке називається радикалами. Давайте розглянемо приклад з подібними термінами і подібними радикалами.

\[\begin{array}{cc}2\color{blue}{x}\color{black}{+}5\color{blue}{x}&\color{black}{2}\color{blue}{\sqrt{3}}\color{black}{+}5\color{blue}{\sqrt{3}} \\ (2+5)\color{blue}{x}&\color{black}{(}2+5)\color{blue}{\sqrt{3}} \\ 7\color{blue}{x}&\color{black}{7}\color{blue}{\sqrt{3}}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, що коли ми поєднували терміни з\(\sqrt{3}\), це було схоже на поєднання термінів с\(x\). При додаванні та відніманні з радикалами ми можемо поєднувати як радикали так само, як терміни.

Визначення: Як радикали

Якщо два радикала мають один і той же радикалі і один і той же корінь, то їх називають подібними радикалами. Якщо це так, то\[a\sqrt{x}\pm b\sqrt{x}=(a\pm b)\sqrt{x},\nonumber\] де\(a\),\(b\) є дійсними числами і\(x\) деяким позитивним дійсним числом.

Загалом, для будь-якого кореня\(n\),\[a\sqrt[n]{x}\pm b\sqrt[n]{x}=(a\pm b)\sqrt[n]{x},\nonumber\] де\(a\),\(b\) є дійсними числами і\(x\) є деяким додатним дійсним числом.

Примітка

При спрощенні радикалів з додаванням і відніманням спочатку ми спростимо вираз, потім витягнемо будь-які фактори з радикалу і слідуючи вказівкам в попередньому розділі.

Додавання та віднімання як радикали

Приклад Template:index

Спростити:\(7\sqrt[5]{6}+4\sqrt[5]{3}-9\sqrt[5]{3}+\sqrt[5]{6}\)

Рішення

Зверніть увагу, всі показники однакові, але два радиканди різні. Ми об'єднуємо лише як радикали, де корінь і радиканд однакові.

\[\begin{array}{rl}7\sqrt[5]{6}+4\sqrt[5]{3}-9\sqrt[5]{3}+\sqrt[5]{6}&\text{Combine the like radicals} \\ (7+1)\color{blue}{\sqrt[5]{6}}\color{black}{+}(4-9)\color{blue}{\sqrt[5]{3}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 8\color{blue}{\sqrt[5]{6}}\color{black}{-}5\color{blue}{\sqrt[5]{3}}&\color{black}{\text{Simplified expression}}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, радиканди\(6\) і не\(3\) мають факторів, які є ідеальними\(5^{\text{th}}\) силами. Таким чином, вираз повністю спрощується.

Спростити, потім додати і відняти як радикали

Приклад Template:index

Спростити:\(5\sqrt{45}+6\sqrt{18}-2\sqrt{98}+\sqrt{20}\)

Рішення

Зверніть увагу, всі показники однакові, але жоден з радикандів не однаковий. Однак ми бачимо, що радиканди мають фактори, які є ідеальними квадратами. Ми можемо спочатку спростити радиканди, а потім побачити, чи можемо ми поєднувати як радикали.

\[\begin{array}{rl}5\sqrt{45}+6\sqrt{18}-2\sqrt{98}+\sqrt{20}&\text{Rewrite radicand} \\ 5\cdot\sqrt{9\cdot 5}+6\cdot\sqrt{9\cdot 2}-2\cdot\sqrt{49\cdot 2}+\sqrt{4\cdot 5}&\text{Apply product rule for radicals} \\ 5\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}+6\cdot\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}-2\cdot\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}&\text{Simplify each square root} \\ 5\cdot 3\cdot\sqrt{5}+6\cdot 3\cdot\sqrt{2}-2\cdot 7\cdot\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{5}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 15\sqrt{5}+18\sqrt{2}-14\sqrt{2}+2\sqrt{5}&\text{Combine the like radicals} \\ (15+2)\color{blue}{\sqrt{5}}\color{black}{+}(18-14)\color{blue}{\sqrt{2}}&\color{black}{\text{Simplify}} \\ 17\color{blue}{\sqrt{5}}\color{black}{+}4\color{blue}{\sqrt{2}}&\color{black}{\text{Simplified expression}}\end{array}\nonumber\]

Примітка

Арабські письменники\(16^{\text{th}}\) століття використовували символ, подібний до символу більше, ніж з крапкою під ним\(\stackrel{<}{·}\), для радикалів.

Приклад Template:index

Спростити:\(4\sqrt[3]{54}-9\sqrt[3]{16}+5\sqrt[3]{9}\)

Рішення

Ми застосовуємо той же метод, що і попередні приклади, але корінь є,\(3\) і ми будемо шукати найбільший фактор радикалу, який є ідеальним кубом при спрощенні радикалів.

\[\begin{array}{rl}4\sqrt[3]{54}-9\sqrt[3]{16}+5\sqrt[3]{9}&\text{Rewrite radicand} \\ 4\cdot\sqrt[3]{27\cdot 2}-9\cdot\sqrt[3]{8\cdot 2}+5\cdot\sqrt[3]{9}&\text{Apply product rule for radicals and simplify} \\ 4\cdot 3\sqrt[3]{2}-9\cdot 2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{9}&\text{Rewrite and simplify coefficients} \\ 12\sqrt[3]{2}-18\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{9}&\text{Combine the like radicals} \\ (12-18)\color{blue}{\sqrt[3]{2}}\color{black}{+}5\sqrt[3]{9}&\text{Simplify} \\ -6\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{9}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Додавання та віднімання радикалів Домашнє завдання

Спростити.