10.4: Раціоналізувати знаменники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58409

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Визначення: Раціоналізація знаменника

Раціоналізація знаменника - це процес отримання знаменників без радикалів.

Коли дається частка з радикалами, звичайна практика залишати вираз без радикала в знаменнику. Після спрощення виразу, якщо в знаменнику є радикал, ми раціоналізуємо його так, щоб знаменник залишився без будь-яких радикалів. Ми починаємо з раціоналізації знаменників квадратними коренями, а потім поширюємо цю ідею на вищі коріння.

Раціоналізація знаменників з квадратними коренями

Раціоналізація знаменника з квадратними коренями

Щоб раціоналізувати знаменник квадратним коренем, помножте чисельник і знаменник на точний радикал у знаменнику, наприклад,\[\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\nonumber\]

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\)

Рішення

Ми бачимо, що вираз є нескорочуваним і що знаменник містить\(\sqrt{5}\). Раціоналізуємо знаменник так, щоб знаменник залишився без радикалів.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{\sqrt{6}\cdot\color{blue}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}\cdot\color{blue}{\sqrt{5}}}&\color{black}{\text{Apply product rule}} \\ \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{25}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{\sqrt{30}}{5}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Зверніть увагу, вираз спрощено повністю і в знаменнику більше немає радикалів. Це і є мета цих проблем.

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{6\sqrt{14}}{12\sqrt{22}}\)

Рішення

Ми бачимо, що вираз не зменшується. Ми зменшимо дріб, застосувавши правило частки, потім раціоналізуємо знаменник, якщо потрібно.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{6\sqrt{14}}{12\sqrt{22}}&\text{Apply quotient rule} \\ \dfrac{6}{12}\cdot\sqrt{\dfrac{14}{22}}&\text{Reduce fractions} \\ \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{11}}&\text{Rewrite as one fraction} \\ \dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{11}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{11}}\cdot \color{blue}{\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}}&\text{Multiple fractions} \\ \dfrac{\sqrt{7}\cdot\color{blue}{\sqrt{11}}}{2\cdot\sqrt{11}\cdot\color{blue}{\sqrt{11}}}&\text{Apply product rule} \\ \dfrac{\sqrt{77}}{2\cdot\sqrt{121}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{\sqrt{77}}{2\cdot 11}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{\sqrt{77}}{22}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{\sqrt{3}-9}{2\sqrt{6}}\)

Рішення

Ми бачимо, що вираз є нескорочуваним і що знаменник містить\(\sqrt{6}\). Раціоналізуємо знаменник так, щоб знаменник залишився без радикалів.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{\sqrt{3}-9}{2\sqrt{6}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{(\sqrt{3}-9)}{2\sqrt{6}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{\color{blue}{\sqrt{6}}\color{black}{(}\sqrt{3}-9)}{2\sqrt{6}\cdot\color{blue}{\sqrt{6}}}&\color{black}{\text{Distribute and apply product rule}} \\ \dfrac{\sqrt{18}-9\sqrt{6}}{2\cdot\sqrt{36}}&\text{Rewrite the radicand }18 \\ \dfrac{\sqrt{9\cdot 2}-9\sqrt{6}}{12}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{3\sqrt{2}-9\sqrt{6}}{12}&\text{Factor a GCF from the numerator} \\ \dfrac{\cancel{3}(\sqrt{2}-3\sqrt{6})}{\cancelto{4}{12}}&\text{Reduce by a factor of }3 \\ \dfrac{(\sqrt{2}-3\sqrt{6})}{4}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Раціоналізація знаменників з вищими коренями

Радикали з вищими корінням у знаменниках трохи складніші. Зверніть увагу, раціоналізація знаменника з квадратними коренями працює добре, тому що ми лише намагаємося отримати радиканд, який є ідеальним квадратом у знаменнику. Тут ми намагаємося отримати радиканди, які є ідеальними кубами або вище в знаменнику. Спробуємо приклад.

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{4\sqrt[3]{2}}{7\sqrt[3]{25}}\)

Рішення

Ми бачимо, що вираз є нескорочуваним і що знаменник містить\(\sqrt[3]{25}\). Раціоналізуємо знаменник так, щоб знаменник залишився без радикалів. Зверніть увагу, що нам потрібен радиканд, який є ідеальним кубом у знаменнику.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{4\sqrt[3]{2}}{7\sqrt[3]{25}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{2}}{7\sqrt[3]{25}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{4\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\color{blue}{\sqrt[3]{5}}}{7\cdot\sqrt[3]{25}\cdot\color{blue}{\sqrt[3]{5}}}&\color{black}{\text{Apply product rule}} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{10}}{7\sqrt[3]{125}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{10}}{7\cdot 5}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{4\sqrt[3]{10}}{35}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Ми вирішили помножити на\(\sqrt[3]{5}\) тому, що ми помітили\(\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}\), і все, що нам потрібно, - це додатковий коефіцієнт,\(5\) щоб зробити ідеальний куб у знаменнику. Оскільки\(7\) є коефіцієнтом, а не частиною радиканда, ми не включаємо його при раціоналізації

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{3\sqrt[4]{11}}{\sqrt[4]{2}}\)

Рішення

Ми бачимо, що вираз є нескорочуваним і що знаменник містить\(\sqrt[4]{2}\). Раціоналізуємо знаменник так, щоб знаменник залишився без радикалів. Зверніть увагу, що нам потрібен радиканд, який є ідеальною четвертою силою в знаменнику.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{3\sqrt[4]{11}}{\sqrt[4]{2}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{3\sqrt[4]{11}}{\sqrt[4]{2}}\cdot\color{blue}{\dfrac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{8}}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{3\cdot\sqrt[4]{11}\cdot\color{blue}{\sqrt[4]{8}}}{\sqrt[4]{2}\cdot\color{blue}{\sqrt[4]{8}}}&\color{black}{\text{Apply product rule}} \\ \dfrac{3\sqrt[4]{88}}{\sqrt[4]{16}}&\text{Simplify radicals} \\ \dfrac{3\sqrt[4]{88}}{2}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Ми вирішили помножити на\(\sqrt[4]{8}\) тому, що ми помітили\(\sqrt[4]{2}\), і все, що нам потрібно було три додаткові фактори,\(2\) щоб зробити ідеальну четверту владу в знаменнику.

Раціоналізувати знаменники за допомогою сполучених

Бувають випадки, коли даний знаменник - це не просто один термін. Часто в знаменнику ми маємо різницю або суму двох членів, в яких один або обидва члени є квадратними коренями. Для того щоб раціоналізувати ці знаменники, скористаємося ідеєю з різниці двох квадратів:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\nonumber\]

Зверніть увагу, при різниці двох квадратів ми залишаємося без будь-яких зовнішніх або внутрішніх добуток термінів - тільки квадрати першого і останнього членів. Оскільки ці знаменники приймають форму біноміалу, у нас є спеціальна назва фактора, який ми використовуємо при раціоналізації знаменника. Фактор називається сполученим.

Раціоналізувати знаменники за допомогою сполучених

Раціоналізуємо знаменники типу\(a\pm\sqrt{b}\) множенням чисельника та знаменника на їх сполучення, наприклад,

\[\dfrac{1}{a+\sqrt{b}}\cdot\dfrac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}\nonumber\]

Сполучений для

\(a+\sqrt{b}\)є\(a-\sqrt{b}\)
\(a-\sqrt{b}\)є\(a+\sqrt{b}\)

Випадок схожий на те, коли\(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\) в знаменнику є щось подібне.

Зібравши всі ці ідеї воєдино, спробуємо приклад.

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{2}{\sqrt{3}-5}\)

Рішення

Ми помічаємо різницю в знаменнику і тому знаємо, що будемо використовувати сполучений для раціоналізації знаменника.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{2}{\sqrt{3}-5}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{2}{(\sqrt{3}-5)}\cdot\color{blue}{\dfrac{(\sqrt{3}+5)}{(\sqrt{3}+5)}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{2\color{blue}{(\sqrt{3}+5)}}{(\sqrt{3}-5)\color{blue}{(\sqrt{3}+5)}}&\color{black}{\text{Distribute and FOIL}} \\ \dfrac{2\sqrt{3}+10}{\sqrt{9}+\cancel{5\sqrt{3}}-\cancel{5\sqrt{3}}-25}&\text{Simplify} \\ \dfrac{2\sqrt{3}+10}{3-25}&\text{Subtract} \\ \dfrac{2\sqrt{3}+10}{-22}&\text{Factor a GCF from the numerator} \\ \dfrac{2(\sqrt{3}+5)}{-22}&\text{Reduce by a factor of }2 \\ \dfrac{\sqrt{3}+5}{-11}&\text{Rewrite} \\ -\dfrac{\sqrt{3}+5}{11}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2-\sqrt{3}}\)

Рішення

\[\begin{array}{rl}\dfrac{3-\sqrt{5}}{2-\sqrt{3}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{(3-\sqrt{5})}{(2-\sqrt{3})}\cdot\color{blue}{\dfrac{(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{(3-\sqrt{5})\color{blue}{(2+\sqrt{3})}}{(2-\sqrt{3})\color{blue}{(2+\sqrt{3})}}&\color{black}{\text{FOIL}} \\ \dfrac{6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{4+\cancel{2\sqrt{3}}-\cancel{2\sqrt{3}}-\sqrt{9}}&\text{Simplify} \\ \dfrac{6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{4-3}&\text{Subtract} \\ \dfrac{6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{1}&\text{Rewrite} \\ 6+3\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Примітка

Протягом\(5^{\text{th}}\) століття до нашої ери в Індії Арьябхата опублікував трактат про астрономію. Його робота включала метод знаходження квадратного кореня чисел, які мають багато цифр.

Приклад Template:index

Спростити:\(\dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{7}}{5\sqrt{6}+4\sqrt{2}}\)

Рішення

Ми помічаємо суму в знаменнику, і тому ми знаємо, що будемо використовувати сполучений для раціоналізації знаменника.

\[\begin{array}{rl}\dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{7}}{5\sqrt{6}+4\sqrt{2}}&\text{Rationalize the denominator} \\ \dfrac{(2\sqrt{5}-3\sqrt{7})}{(5\sqrt{6}+4\sqrt{2})}\cdot\color{blue}{\dfrac{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}}&\color{black}{\text{Multiply fractions}} \\ \dfrac{(2\sqrt{5}-3\sqrt{7})\color{blue}{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}}{(5\sqrt{6}+4\sqrt{2})\color{blue}{(5\sqrt{6}-4\sqrt{2})}}&\color{black}{\text{FOIL}} \\ \dfrac{10\sqrt{30}-8\sqrt{10}-15\sqrt{42}-12\sqrt{14}}{25\sqrt{36}-\cancel{20\sqrt{12}}+\cancel{20\sqrt{12}}-16\sqrt{4}}&\text{Simplify} \\ \dfrac{10\sqrt{30}-8\sqrt{10}-15\sqrt{42}-12\sqrt{14}}{25\cdot 6-16\cdot 2}&\text{Subtract} \\ \dfrac{10\sqrt{30}-8\sqrt{10}-15\sqrt{42}-12\sqrt{14}}{118}&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]

Раціоналізувати знаменники Домашнє завдання

Спростити.