10.6: Радикальні рівняння
- Page ID
- 58404
Тут ми розглянемо рівняння з радикалами. Як і слід було очікувати, щоб очистити радикал, ми можемо підняти обидві сторони до показника. Нагадаємо, коріння радикалів можна вважати зворотним показником. Отже, щоб змінити радикал, ми будемо використовувати експоненти.
Якщо\(x\geq 0\) і\(a\geq 0\), то\[\sqrt{x}=a\text{ if and only if }x=a^2\nonumber\]
Загалом, якщо\(x\geq 0\) і\(a\) є дійсним числом, то\[\sqrt[n]{x}=a\text{ if and only if }x=a^n\nonumber\]
Ми припускаємо в цьому розділі, що всі змінні більше або рівні нулю.
Нагадаємо,\(n\) якщо парна, то\(x\) повинна бути більше або дорівнює нулю. Якщо\(n\) непарне, то\(x\) може бути будь-яке дійсне число.
Ми можемо застосувати наступний метод для вирішення рівнянь з радикалами.
Крок 1. Виділяють радикал.
Крок 2. Підняти обидві сторони рівняння до потужності кореня (індексу).
Крок 3. Вирішіть рівняння як зазвичай.
Крок 4. Перевірте рішення (и). (Нагадаємо, будь-які сторонні рішення ми опустимо.)
Радикальні рівняння з квадратними кор
Вирішити для\(x\):\(\sqrt{7x+2}=4\)
Рішення
Крок 1. Виділяють радикал. Зверніть увагу, радикал вже ізольований для нас зліва, без коефіцієнтів:\[\sqrt{7x+2}=4\nonumber\]
Крок 2. Підняти обидві сторони рівняння до потужності кореня (індексу). \[\begin{array}{rl}\sqrt{7x+2}=4&\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{7x+2})^2=4^2 &\text{Evaluate} \\ 7x+2=16\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Вирішіть рівняння як зазвичай. \[\begin{array}{rl}7x+2=16&\text{Isolate the variable term} \\ 7x=14&\text{Solve for }x \\ x=2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Крок 4. Перевірте рішення (и). (Нагадаємо, будь-які сторонні рішення ми опустимо.) \[\begin{aligned}\sqrt{7x+2}&\stackrel{?}{=}4 \\ \sqrt{7\color{blue}{(2)}\color{black}{+2}}&\stackrel{?}{=}4 \\ \sqrt{16}&\stackrel{?}{=}4 \\ 4&=4\end{aligned}\]
Таким чином,\(x=2\) є, по суті, рішенням.
Вирішити для\(x\):\(\sqrt{x+5}=-1\)
Рішення
Крок 1. Виділяють радикал. Зверніть увагу, радикал вже ізольований для нас зліва, без коефіцієнтів:\[\sqrt{x+5}=-1\nonumber\]
Крок 2. Підняти обидві сторони рівняння до потужності кореня (індексу). \[\begin{array}{rl}\sqrt{x+5}=-1 &\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{x+5})^2=(-1)^2&\text{Evaluate} \\ x+5=1\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Вирішіть рівняння як зазвичай. \[\begin{array}{rl}x+5=1&\text{Solve for }x \\ x=-4&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Крок 4. Перевірте рішення (и). (Нагадаємо, будь-які сторонні рішення ми опустимо.) \[\begin{aligned}\sqrt{x+5}&\stackrel{?}{=}-1 \\ \sqrt{\color{blue}{(-4)}\color{black}{+5}}&\stackrel{?}{=}-1 \\ \sqrt{1}&\stackrel{?}{=}-1 \\ 1&\neq -1\end{aligned}\]
О ні! При перевірці рішення ми отримали помилкове твердження. Таким чином, це рівняння не має рішення і\(x = −4\) є стороннім рішенням
Ізолювати радикалу
Вирішити для\(x\):\(x+\sqrt{4x+1}=5\)
Рішення
Крок 1. Виділяють радикал. Давайте виділимо радикал зліва, перемістивши\(x\) в праву сторону. \[\begin{aligned}x+\sqrt{4x+1}&=5 \\ \sqrt{4x+1}&=5-x\end{aligned}\]
Крок 2. Підняти обидві сторони рівняння до потужності кореня (індексу). \[\begin{array}{rl}\sqrt{4x+1}=5-x &\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{4x+1})^2=(5-x)^2&\text{Evaluate} \\ 4x+1=25-10x+x^2\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Вирішіть рівняння як зазвичай. \[\begin{array}{rl} 4x+1=25-10x+x^2&\text{Notice the }x^2\text{ term; solve by factoring} \\ x^2-14x+24=0&\text{Factor} \\ (x-12)(x-2)=0&\text{Apply zero product rule} \\ x-12=0\quad\text{or}\quad x-2=0&\text{Solve} \\ x=12\quad\text{or}\quad x=2&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Крок 4. Перевірте рішення (и). (Нагадаємо, будь-які сторонні рішення ми опустимо.)
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{12}\color{black}{+}\sqrt{4\color{blue}{(12)}\color{black}{+1}}\stackrel{?}{=}5 &\color{blue}{5}\color{black}{+}\sqrt{4\color{blue}{(2)}\color{black}{+1}}\stackrel{?}{=} 5 \\ 12+\sqrt{49}\stackrel{?}{=}5 &2+\sqrt{9}\stackrel{?}{=}5 \\ 12+7\stackrel{?}{=}5& 2+3\stackrel{?}{=}5 \\ 19\neq 5 &5=5\end{array}\nonumber\]
Так як\(x = 12\) дає помилкове твердження, то\(x = 12\) є стороннім рішенням. Таким чином,\(x = 2\) є, по суті, рішення.
Вавилоняни були першою відомою культурою, яка вирішила квадратику в радикалах ще в 2000 році до н.е.
Радикальні рівняння з двома квадратними корен
Вирішити для\(x\):\(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}=1\)
Рішення
Крок 1. Виділяють радикал. Так як в рівнянні два радикали, виділимо тільки один з них. \[\begin{aligned}\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}&=1 \\ \sqrt{2x+1}&=1+\sqrt{x}\end{aligned}\]
Крок 2. Підняти обидві сторони рівняння до потужності кореня (індексу). \[\begin{array}{rl}\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{x}&\text{Raise each side to the power of }2 \\ (\sqrt{2x+1})^2=(1+\sqrt{x})^2&\text{Evaluate} \\ 2x+1=1+2\sqrt{x}+x\end{array}\nonumber\]Зверніть увагу\(\sqrt{x}\), що все ще залишається в рівнянні навіть після квадратичної кожної сторони. Отже, ми повинні повторити кроки 1 і 2 ще раз, щоб отримати рівняння без радикалів. \[\begin{array}{rl}2x+1=1+2\sqrt{x}+x&\text{Isolate the radical} \\ x=2\sqrt{x} \\ \dfrac{x}{2}=\sqrt{x}&\text{Raise each side to the power of }2 \\ \left(\dfrac{x}{2}\right)^2=(\sqrt{x})^2&\text{Evaluate} \\ \dfrac{x^2}{4}=x\end{array}\nonumber\]
Крок 3. Вирішіть рівняння як зазвичай. \[\begin{array}{rl}\dfrac{x^2}{4}=x&\text{Notice the }x^2\text{ term; solve by factoring} \\ \dfrac{x^2}{4}-x=0&\text{Multiply each term by LCD }4 \\ \color{blue}{4}\color{black}{\cdot}\dfrac{x^2}{4}-\color{blue}{4}\color{black}{\cdot}x=\color{blue}{4}\color{black}{\cdot }0&\text{Simplify}\end{array}\nonumber\]
\[\begin{array}{rl}x^2-4x=0&\text{Factor} \\ x(x-4)=0&\text{Apply zero product rule} \\ x=0\quad\text{or}\quad x-4=0&\text{Solve} \\ x=0\quad\text{or}\quad x=4&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Крок 4. Перевірте рішення (и). (Нагадаємо, будь-які сторонні рішення ми опустимо.) \[\begin{array}{rl}\sqrt{2\color{blue}{(0)}\color{black}{+1}}-\sqrt{\color{blue}{0}}\color{black}{}\stackrel{?}{=}1&\sqrt{2\color{blue}{(4)}\color{black}{+1}}-\sqrt{4}\stackrel{?}{=}1 \\ \sqrt{1}\stackrel{?}{=}1&\sqrt{9}-2\stackrel{?}{=}1 \\ 1=1&3-2\stackrel{?}{=}1 \\ 1=1&1=1\end{array}\nonumber\]
Оскільки\(x = 0\) і те, і\(x = 4\) інше дають правдиві твердження, то\(x = 0\) і\(x = 4\) є, по суті, рішеннями.
Радикальні рівняння з вищими кор
Вирішити для\(n\):\(\sqrt[3]{n-1}=-4\)
Рішення
Крок 1. Виділяють радикал. Зверніть увагу, радикал вже ізольований для нас зліва, без коефіцієнтів:\[\sqrt[3]{n-1}=-4\nonumber\]
Крок 2. Підняти обидві сторони рівняння до потужності кореня (індексу). Зверніть увагу, що корінь тут 3; отже, ми піднімемо кожну сторону до третьої потужності. \[\begin{array}{rl}\sqrt[3]{n-1}=-4&\text{Raise each side to the power of }3 \\ (\sqrt[3]{n-1})^3=(-4)^3&\text{Evaluate} \\ n-1=-64 \end{array}\nonumber\]
Крок 3. Вирішіть рівняння як зазвичай. \[\begin{array}{rl}n-1=-64&\text{Isolate the variable term} \\ n=-63&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Крок 4. Перевірте рішення (и). (Нагадаємо, будь-які сторонні рішення ми опустимо.) \[\begin{aligned} \sqrt[3]{n-1}&\stackrel{?}{=}-4 \\ \sqrt[3]{\color{blue}{-63}\color{black}{-1}}&\stackrel{?}{=}-4 \\ \sqrt[3]{-64}&\stackrel{?}{=}-4 \\ -4&=-4\end{aligned}\]
Таким чином,\(n=-63\) є, по суті, рішенням.
Додатки з радикальними функціями
Індекс маси тіла людини (ІМТ) - це показник жиру в організмі, заснований на зрості та вазі. Якщо ІМТ людини вище\(25\) і нижче\(30\), він/вона класифікується як надмірна вага. Зростання людини з точки зору його/її ваги в фунтах та індексу маси тіла (ІМТ)\(b\), задається\(w\)\[H(w)=\sqrt{\dfrac{703w}{b}}\nonumber\]
- Наскільки висока людина вагою\(250\) кілограмів і має ІМТ\(25\)? Округліть відповідь до одного знака після коми.
- Якщо людина висотою в\(71\) дюйми і має ІМТ\(25\), яка вага людини? Округліть відповідь до одного знака після коми.
Рішення
Застосовуємо формулу, щоб відповісти на обидві частини. Оскільки це функція з квадратним коренем, ми використовуємо прийоми зверху для вирішення.
- Так як людина важить\(250\) кілограми і має ІМТ\(25\), то\(w=250\) і\(b=25\). Давайте plug-n-chug їх, щоб знайти висоту людини в дюймах. \[\begin{aligned}H(w)&=\sqrt{\dfrac{703w}{b}} \\ H(\color{blue}{250}\color{black}{)}&=\sqrt{\dfrac{703(\color{blue}{250}\color{black}{)}}{\color{blue}{25}}} \\ H(250)&=\sqrt{7030} \\ H(250)&\approx 83.5\end{aligned}\]Таким чином, людина, вага якої становить\(250\) фунти з ІМТ,\(25\) становить близько\(83.5\) дюймів заввишки, що майже\(7\) футів заввишки!
- Так як людина висотою в\(71\) дюйми і має ІМТ\(25\), то\(H = 71\) і\(b = 25\). Давайте plug-n-chug це в функцію і вирішити для\(w\), вага людини в фунтах. \[\begin{aligned}H(w)&=\sqrt{\dfrac{703w}{b}} \\ \color{blue}{71}\color{black}{}&=\sqrt{\dfrac{703w}{\color{blue}{25}}} \\ 71^2&=\dfrac{703w}{25} \\ 71^2\cdot 25&=703w \\ \dfrac{71^2\cdot 25}{703}&=w \\ w&\approx 179.3\end{aligned}\]Таким чином, людина, зріст якого дорівнює\(71\) дюймам при ІМТ\(25\), важить близько\(179.3\) кілограмів.
Час, необхідний для того, щоб маятник коливався вперед і назад один раз, може бути представлений функцією,\[S(x)=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}}\nonumber\] де\(S(x)\) час у секундах і\(x\) довжина маятника в футах.
- Скільки секунд займе маятник\(7\) -фут, щоб колихатися вперед і назад один раз? Округліть відповідь до одного знака після коми.
- Якщо потрібно\(4\) секунди, щоб маятник коливався вперед і назад один раз, яка довжина маятника? Округліть відповідь до одного знака після коми.
Рішення
Застосовуємо формулу, щоб відповісти на обидві частини. Оскільки це функція з квадратним коренем, ми використовуємо прийоми зверху для вирішення.
- Так як дається, що маятник - це\(7\) ноги, то це має на увазі\(x = 7\). Давайте plug-n-chug\(x = 7\) в,\(S\) щоб отримати час, необхідний для того, щоб маятник коливався вперед і назад один раз. \[\begin{aligned} S(x)&=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ S(\color{blue}{7}\color{black}{)}&=2\pi\sqrt{\dfrac{\color{blue}{7}}{\color{black}{32}}} \\ S(7)&\approx 2.9\end{aligned}\]Таким чином, це займе близько\(2.9\) секунд для\(7\) -футовий маятник, щоб коливатися назад і вперед один раз.
- Якщо нам дають, що потрібно\(4\) секунди, щоб маятник колихнувся вперед і назад один раз, то це означає\(S = 4\). Давайте plug-n-chug це в функцію\(x\), щоб знайти, довжина маятника в футах. \[\begin{aligned}S(x)&=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ \color{blue}{4}\color{black}{}&=2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ \dfrac{4}{2\pi}&=\sqrt{\dfrac{x}{32}} \\ \left(\dfrac{4}{2\pi}\right)^2&=\dfrac{x}{32} \\ 32\cdot\dfrac{16}{4\pi ^2}&=x \\ x&\approx 13.0\end{aligned}\]Таким чином, маятник\(13\) -foot займе\(4\) секунди, щоб коливатися вперед і назад один раз.
Радикальні рівняння Домаш
Вирішити. Обов'язково перевіряйте всі рішення.
\(\sqrt{2x+3}-3=0\)
\(\sqrt{6x-5}-x=0\)
\(3+x=\sqrt{6x+13}\)
\(\sqrt{3-3x}-1=2x\)
\(\sqrt{4x+5}-\sqrt{x+4}=2\)
\(\sqrt{2x+4}-\sqrt{x+3}=1\)
\(\sqrt{2x+6}-\sqrt{x+4}=1\)
\(\sqrt{6-2x}-\sqrt{2x+3}=3\)
\(\sqrt{5x+1}-4=0\)
\(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}=2\)
\(x-1=\sqrt{7-x}\)
\(\sqrt{2x+2}=3+\sqrt{2x-1}\)
\(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x+2}=2\)
\(\sqrt{7x+2}-\sqrt{3x+6}=6\)
\(\sqrt{4x-3}-\sqrt{3x+1}=1\)
\(\sqrt{2-3x}-\sqrt{3x+7}=3\)
Індекс маси тіла людини (ІМТ) - це показник жиру в організмі, заснований на зрості та вазі. Якщо ІМТ людини вище\(25\) і нижче\(30\), він/вона класифікується як надмірна вага. Зростання людини з точки зору його/її ваги в фунтах та індексу маси тіла (ІМТ)\(b\), задається\(w\)\[H(w) =\sqrt{\dfrac{703w}{b}}\nonumber\]
- Наскільки висока людина, якщо він/вона важить\(225\) фунти і має ІМТ\(25\)? Округліть відповідь до одного знака після коми.
- Якщо людина має висоту\(64\) дюймів і має ІМТ\(25\), яка його/її вага? Округліть відповідь до одного знака після коми.
Час, необхідний для того, щоб маятник коливався вперед і назад один раз, може бути представлений функцією,\[S(x) = 2\pi\sqrt{\dfrac{x}{32}}\nonumber\] де\(S(x)\) час у секундах і\(x\) довжина маятника в футах.
- Скільки секунд займе маятник\(5\) -фут, щоб колихатися вперед і назад один раз? Округліть відповідь до одного знака після коми.
- Якщо потрібно\(2\) секунди, щоб маятник коливався вперед і назад один раз, яка довжина маятника? Округліть відповідь до одного знака після коми.